Просмотр кода страницы Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители

{{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}}

В этой главе будет рассмотрен формальный аппарат, используемый в линейной алгебре, — алгебра матриц. При таком «предварительном» введении понятий матричной алгебры определения могут выглядеть недостаточно мотивированными. Однако их смысл проясняется в
дальнейшем изложении курса.

== Действия над матрицами ==
=== Определение матрицы ===
''Определение''
Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных). Эти числа<ref>Иногда рассматривают матрицы, составленные не из чисел, а из элементов другой природы.</ref> называют элементами матрицы.
Матрицу будем записывать следующим способом:
{{metka|1}}<center><math>A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}.</math></center>
Элементы <math>a_{ij}</math> нумеруются двумя индексами; первый из них есть номер строки и меняется вдоль столбца, второй — номер столбца, который меняется вдоль строки. Для матрицы
(1) употребляется также краткое обозначение, которое явно указывает на её размеры:
{{metka|2}}<center><math>A=\{ a_{ij}\}_{i=1,\cdots ,m}^{j=1,\cdots ,n}.</math></center>
Матрица, составленная из m строк и n столбцов, называется (m х n)-матрицей. Такая матрица возникнет, например, при последовательном выписывании коэффициентов при неизвестных в системе из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Множество всех (m х n)-матриц будем обозначать через <math>M^{m,n}</math>. В некоторых случаях будем обозначать элемент <math>a_{ij}</math> матрицы А, как <math>[A]_{i,j}</math>

=== Линейные действия над матрицами ===
Введем линейные действия над матрицами — сложение матриц и умножение
матрицы на число.
''Сложение матриц'' определяется только для матриц совпадающих размеров: если <math>A\in M^{m,n},\ B\in M^{m,n}</math>, то <math>A+B \in M^{m,n}</math>, где
{{metka|3}}<center><math>[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}, \ \ \ \ i=1,\cdots ,m; j=1,\cdots ,n.</math></center>
Таким образом, сложение матриц состоит в поэлементном сложении.
''Умножение матрицы'' на число состоит в умножении на это число каждого элемента матрицы. Для произведения матрицы А на число <math>\alpha</math> используется как обозначение <math>\alpha </math>A, так и обозначение A<math>\alpha</math>. Таким образом,
{{metka|4}}<center><math>[\alpha A]_{ij}=[A\alpha]_{ij}=\alpha [A]_{ij}, \ \ \ \ i=1,\cdots ,m; j=1,\cdots ,n.</math></center>
Ясно, что <math>[\alpha A]_{ij}\in M^{m,n}</math>, если <math>A\in M^{m,n}</math>.
При этом предполагается, что в случае вещественных матриц их можно умножать на вещественные множители. В классе комплексных матриц подразумевается умножение на комплексные числа.
Перечислим ''свойства линейных операций'' в классе матриц <math>M^{m,n}</math>

=== Действия транспонирования и сопряжения ===

http://www.pm298.ru/matr3.php

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Линейная алгебра и аналитическая геометрия|Матрицы и определители]]