Просмотр кода страницы Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства

{{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}}
Центральными понятиями линейной алгебры является [[w:вектор|вектор]] и [[w:векторное пространство|векторное пространство]]. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель: «Забудьте, что вектор — это палка со стрелкой!!!» ☺) — ''примечание автора [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]].'') Для того, чтобы '''понять, что такое вектор''', воспользуемся так называемым '''аксиоматическим методом'''. Вместо того, чтобы прямо дать определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать, и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию. При таком подходе вектор как направленный отрезок — лишь частный случай, пример (модель — как говорят математики) этого понятия.

Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае — «вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые, в свою очередь, описываются в предложениях, именуемых аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством'''. Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале «Квант»,1976 г., № 4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», [http://kvant.mccme.ru/1976/04/chto_takoe_vektor.htm].)

== Аксиомы векторного пространства ==
Пусть '''V''' — [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> … и т. д. Пусть на '''V''' заданы и определены́ каким-либо образом две операции. '''Первая операция''' — [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря — операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем, необязательно, чтобы на все 100 % эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: <math>\oplus </math> (<math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент <math>\alpha</math> такого множества, которое является [[w:поле (алгебра)|полем]], в результате которой получается новый вектор (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел).

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
# a)сумма любых двух элементов из '''V''' и б)произведение скаляра и произвольного элемента из '''V''' являются некоторыми элементами из '''V''' (векторами).
# сложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно): <math>\vec x+  (\vec y + \vec z) = (\vec x+  \vec y) + \vec z</math>
# сложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> .
# существует такой элемент <math>\vec 0</math> из '''V''' (нулевой вектор), что для любого <math>\vec x \quad \vec x+ \vec  0= \vec x</math>.
# для любого элемента из '''V''' существует такой элемент из '''V''', сумма которого с исходным элементом равна <math>\vec  0</math>, то есть (<math>\forall \vec x \in V) \quad (\exists (-\vec x)) \quad  \vec x + (-\vec x) = \vec 0</math>.
Для любых скаляров (чисел) <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> и для любых двух векторов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V'''

6.<math>(\alpha \beta)\vec x = \alpha(\beta \vec x) </math>

7.<math>(\alpha + \beta)\vec x = \alpha\vec x+ \beta\vec x</math>

8.<math>\alpha(\vec x+\vec y) = \alpha\vec x+\alpha\vec y</math>

9.<math>1\vec x=\vec x</math>

Замечание: аксиомы 1а,2,3,4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].

=== Примеры векторных пространств ===
* '''Конечномерное арифметическое пространство'''
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R''' — множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, a числа <math>a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n</math> называют ещё первой, второй и т. д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''R<sup>n</sup>'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a</math>=(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub>,… a<sub>n</sub>), а вектор <math>\vec b</math>=(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>, b<sub>4</sub>,… b<sub>n</sub>). Тогда <math>\vec a + \vec b =(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3, a_4+b_4, ... a_n+b_n)</math>.</center>
a yмножение на скаляр α (то есть на действительное число) по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>. Тогда вектор <math>\alpha\vec a =(\alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3, \alpha a_4 ...\alpha  a_n)</math>,</center> то есть сложение и умножение векторов осуществляется покоординатно. Нетрудно видеть, что на множестве '''R<sup>n</sup>''' с только что определёнными выше операциями выполняются все 8 аксиом, то есть '''R<sup>n</sup>'''-векторное пространство.
 
Действительно, пусть <math>\vec a </math> =(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… a<sub>n</sub>), <math>\vec b</math> =(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>,… b<sub>n</sub>),<math>\vec c</math> =(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>,… c<sub>n</sub>)- произвольные векторы из '''R<sup>n</sup>''', а α и β-произвольные числа (скаляры). Тогда
# <math>\vec a +\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>,… a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)<math>\in</math>'''V'''; <math>\alpha\vec a=</math>(αa<sub>1</sub>, αa<sub>2</sub>, αa<sub>3</sub>,…αa<sub>n</sub>) <math>\in</math>'''V'''.
# <math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>)+c<sub>1</sub>, (a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>)+c<sub>2</sub>,…(a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)+c<sub>n</sub><big>)</big>=<big>(</big>a<sub>1</sub>+(b<sub>1</sub>+c<sub>1</sub>), a<sub>2</sub>+(b<sub>2</sub>+c<sub>2</sub>),…a<sub>n</sub>+(b<sub>n</sub>+c<sub>n</sub>)<big>)</big>=<math>\vec a+ (\vec b+\vec c)</math>
# <math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>,…a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)=(b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>+a<sub>2</sub>,…b<sub>n</sub>+a<sub>n</sub>)=<math>\vec b+\vec a</math>.
# Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,…0). Тогда <math>\vec a+\vec 0</math>=(a<sub>1</sub>+0, a<sub>2</sub>+0, a<sub>3</sub>+0,… a<sub>n</sub>+0)=<math>\vec 0+\vec a</math>
# Найдём для вектора <math>\vec a (a_1, a_2,... a_n)</math> обратный ему вектор<math>\vec x(x_1,x_2,...x_n)</math> такой, что <math>\vec a+\vec x=\vec 0</math>. Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно, то <math>(a_1, a_2,... a_n)+(x_1,x_2,...x_n)=(a_1+x_1, a_2+x_2,...a_n+x_n)=(0,0,...0)</math>. Отсюда <math>x_1=-a_1, x_2=-a_2, x_n=-a_n</math>, и вектор <math>\vec x=(-a_1, -a_2,...-a_n)=-\vec a</math>.
# Пусть α и β-произвольные числа. Тогда <center><math>(\alpha\beta)\cdot\vec a=(\alpha\beta)\cdot(a_1, a_2,... a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center><center>α<math>(\beta \vec a)=\alpha\cdot(\beta a_1, \beta a_2,...\beta a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center>, то есть <math>(\alpha\beta)\vec a=\alpha(\beta \vec a).</math><p>Аксиомы 7, 8, 9 проверьте самостоятельно в виде несложного упражнения.
* '''Бесконечномерное арифметическое пространство'''
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, то есть <math>\vec a=</math><math>(a_1, a_2, a_3,...a_n...)</math>. Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>.
* '''Пространство матриц'''
Пусть m и n-два каких-то фиксированных натуральных числа. Можно также показать, что множество всех матриц совпадающих размеров относительно их сложения и умножения на число (см. [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители|здесь]]) образуют векторное пространство. Проверьте, например, что матрица, у которой все элементы равны 0 играет роль нулевого вектора, а для матрицы A роль противоположного элемента играет матрица -A, у которой все соответствующие элементы из A взяты с противоположным знаком.
* '''Ещё примеры'''
Вводя понятие конечно- или бесконечномерного вектора, мы говорили что координаты и скаляры- действительные числа. Но нетрудно видеть, что упорядоченные последовательности из n комплексных чисел, (то есть координаты вектора будут комплексными числами), относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр, являющегося тоже комплексным числом, тоже образуют векторное пространство (обозначим его '''C<sup>n</sup>''') и при этом '''R<sup>n</sup>'''<math>\subset </math>'''C<sup>n</sup>.'''

Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.

=== Упражнения ===
# Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
# Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
# Покажите, что множество всех функций, заданных на'''R''' проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих через точку (0,5) векторное пространство не образует.

== Свойства векторных пространств ==
Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах, которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, но существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения:
'''1''' <math>(\forall \vec x \in V)\quad 0\cdot\vec x=\vec 0</math><center>Доказательство</center>Согласно акс.4<math>\vec x+\vec 0=\vec x</math>. С другой стороны <math>\vec x+0\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+0\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+0)\vec x=\vec x</math>. То есть <math>\vec x+\vec 0=\vec x+0\vec x</math>. Согласно [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Предварительные понятия|свойству 2 в группах]] последнее равенство равносильно <math>\vec 0=0\vec x</math>, ч.т.д.
'''2''' <math>(\forall  \alpha \in P)\quad \alpha\cdot\vec 0=\vec 0</math>
'''3''' <math>(\forall  \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha\vec x=\vec 0 \Rightarrow \alpha=0 \vee \vec x=\vec 0</math>
'''4''' <math>(\forall \vec x \in V)\quad (-1)\vec x=-\vec x</math><center>Доказательство</center><math>\vec x +(-1)\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+(-1)\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+(-1))\vec x=0\vec x=</math>(по св-ву 2 вект. пространства)<math>\vec 0</math> Т.о. с одной стороны <math>\vec x +(-1)\vec x=\vec 0</math>, с другой стороны по акс.4 <math>\vec x+(-\vec x )=\vec 0</math>. Отсюда, как и в свойстве 1, сокращая на <math>\vec x</math>, получаем <math>(-1)\vec x=-\vec x</math>
'''5''' <math>(\forall  \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha(-\vec x)=(-\alpha)\vec x=-(\alpha\vec x)</math>

Свойства 2, 3, 5 докажите самостоятельно.

[[Категория:Линейная алгебра и аналитическая геометрия|Определение векторного пространства]]