Просмотр кода страницы Логико-математический анализ (ЛМА) понятия

[[Категория:Методика обучения математике]]
Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это
== Образцы ЛМА понятий ==
=== Алгебра ===
==== ''Неправильная дробь'' ====
==== ''Модуль числа'' ====
Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya
==== ''Арифметическая прогрессия'' ====
<ol type="I" start="1">
<li>Термин: арифметическая прогрессия.</li>
<li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li>
<li>Род: числовая последовательность.</li>
<li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li>
<li>Свойства:
<ol type="a">
<li>характеристическое свойство;</li>
<li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li>
<li>комплементарное свойство сумм;</li>
<li>характер монотонности;</li>
<li>число членов прогрессии.</li>
</ol></li>
<li></li>
<li>Контрпримеры:
{| class="wikitable"
|+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости
|-
! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref>
|-
| '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3''
|-
| '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3''
|-
| '''3''' || 
* <math>\dfrac{x}{10}</math>
* <math>5+y=30</math>
|| отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1''
|-
| '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3''
|-
| '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math>
есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>.

Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел.
 || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>.
 || ''2''
|-
| '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || 	нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3''
|}
</li>
<li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li>
{{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul>
<li>''Построение графика функции'';</li>
<li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li>
</ul> Однако выбрать надо только одно!}}
<li>Алгоритм исследования функции:
<ol>
<li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li>
<li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность.
<ol type="a">
<li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная.
<br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li>
<li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная.
<br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li>
</ol></li>
<li>Пример 3</li>
<li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li>
</ пр>
Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её.
	Находим точки пересечения графика с осями координат.
	Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX.
	Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0.
	Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0.
	Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
	Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции.
Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX.
	Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции.
	Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует.

</li>
<li>Область применения понятия «функция»:</li>
</ol>
==== ''Функция'' ====
<ol type="I" start="1">
<li>Термин: функция.</li>
<li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li>
<li>Род: зависимость (соответствие).</li>
<li>Функция — это
# соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>;
# между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>);
# каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li>
<li>Свойства:
<ol type="a">
<li>область определения и множество значений функции;</li>
<li>наибольшее и наименьшее значения;</li>
<li>нули функции;</li>
<li>периодичность функции;</li>
<li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li>
<li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li>
<li>чётность и нечётность функции;</li>
<li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li>
<li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li>
<li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li>
<li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li>
</ol></li>
<li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li>
<li>Контрпримеры:
{| class="wikitable"
|+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости
|-
! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref>
|-
| '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3''
|-
| '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3''
|-
| '''3''' || 
* <math>\dfrac{x}{10}</math>
* <math>5+y=30</math>
|| отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1''
|-
| '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3''
|-
| '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math>
есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>.

Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел.
 || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>.
 || ''2''
|-
| '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || 	нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3''
|}
</li>
<li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li>
{{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul>
<li>''Построение графика функции'';</li>
<li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li>
</ul> Однако выбрать надо только одно!}}
<li>Алгоритм исследования функции:
<ol>
<li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li>
<li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность.
<ol type="a">
<li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная.
<br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li>
<li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная.
<br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li>
</ol></li>
<li>Пример 3</li>
<li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li>
</ пр>
Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её.
	Находим точки пересечения графика с осями координат.
	Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX.
	Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0.
	Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0.
	Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
	Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции.
Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX.
	Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции.
	Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует.

</li>
<li>Область применения понятия «функция»:</li>
</ol>

==== ''Уравнение'' ====

=== Геометрия ===
==== ''Угол'' ====
==== ''Треугольник'' ====
==== ''Медиана треугольника'' ====
==== ''Параллелограмм'' ====

=== Математический анализ ===