Просмотр кода страницы Логико-математический анализ теоремы

[[Категория:Методика обучения математике]]
Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это
== Образцы ЛМА теоремы ==
=== Алгебра ===
==== Логарифм ====
==== Прогрессии ====
====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ======
<ol type="I" start="1">
<li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''.
</li>
<li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''».

'''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li>
<li>Структура теоремы.
# Разъяснительная часть: "".
# Условие: "".
# Требование: "".</li>
<li>Доказательство.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ'''
|-
|

{| class="wikitable"
|+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>.
<br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>.
|-
! Шаг !! Утверждение !! Обоснование
|-
| '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии.
|-
| '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу.
|-
| '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых.
|-
| '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>.
|-
| '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых.
|-
| '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии.
|}
|}
</li>
<li>Формулировки утверждений:
<ol type="a">
<li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li>
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ'''
|-
|
{| class="wikitable"
|+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>.
<br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>.
|-
! Шаг !! Утверждение !! Обоснование
|-
| '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии.
|-
| '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>.
 || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения.
|-
| '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения.
|-
| '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения.
|}
|}
<li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li>
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''':
''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>.
<br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>.
|-
|
# Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>.
# Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать.
|}
<li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li>
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''':
''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>.
<br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>.
|-
|
# Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>.
# Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать.
|}
</ol></li>
<li> Математические и общенаучные методы.
* Математические: метод тождественных преобразований.
* Общенаучные: анализ и синтез.</li>
<li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li>
</ol>

=== Геометрия ===
==== Планиметрия ====
===== Треугольник =====
====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ======

===== Трапеция =====
====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>======
# Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то";
# Вид суждения: сложное (есть 2 заключения)

===== Многоугольник =====
====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ======