Просмотр кода страницы Математический задачник/Новые задачи

#REDIRECT [[Задачник/Новые задачи]]

== Задача ==

=== Условие ===
Доказать, что при любом натуральном ''n'' и положительном ''a'' справедливо неравенство:
<math>(1+a)^n \ge 1+na</math>

=== Решение ===
==== Через бином Ньютона ====
<math>(1+a)^n = 1+na+\ldots</math>, 

поскольку <math>C_n^1=n</math> (один элемент из ''n'' можно выбрать ''n'' способами). 

==== С помощью [[метод математической индукции|математической индукции]] ====
1. '''База индукции.''' При n=1 утверждение очевидно верно.

2. '''Индукционный переход.''' 
<math>(1+a)^n=(1+a)^{n-1}\cdot(1+a)\ge (1+(n-1)\cdot a)\cdot(1+a)=1+(n-1)\cdot a+a+(n-1)\cdot a^2\ge1+na</math>

=== Комментарии ===
Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.

=== Дополнительные данные ===
* Сложность: 4
* Класс: 7
* Предмет: математика
* Темы: математическая индукция, бином Ньютона