Просмотр кода страницы Трапеция

'''Трапе́ция''' (от {{lang-grc|τραπέζιον}} — «''столик''» от {{lang-grc2|τράπεζα}} — «''стол''») — [[w:Выпуклый многоугольник|выпуклый]] [[w:четырёхугольник|четырёхугольник]], у которого только две противолежащие стороны [[w:Параллельность|параллельны]].
[[Файл:Trapezoid.svg|right]]
.

== Варианты определения ==
Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны<ref>{{Cite web |url=http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo8.htm |title=Вся элементарная математика |access-date=2015-07-06 |archive-date=2015-07-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150709034559/http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo8.htm |deadlink=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html |title=Wolfram MathWorld |access-date=2015-07-06 |archive-date=2015-04-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150419163343/http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html |deadlink=no }}</ref>. Согласно этому определению, [[параллелограмм]] и [[прямоугольник]] — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе [[#Общие свойства|Общие свойства]] формулы верны для обоих определений трапеции.

== Связанные определения ==

=== Элементы трапеции ===
[[Файл:Трапеция и диагонали.png|thumb|300px|right|Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой]]

* Параллельные противоположные стороны называются '''основаниями''' трапеции.
* Две другие стороны называются '''боковыми сторонами'''.
* Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется '''[[Средняя линия трапеции|средней линией]]''' трапеции.
* '''Углом при основании''' трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

=== Виды трапеций ===
* Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется '''равнобедренной''' трапецией (реже '''равнобокой'''<ref>{{Книга|автор=Коллектив авторов|заглавие=Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы|ссылка=https://books.google.com/books?id=YRmFAQAAQBAJ|издательство=Litres|год=2015-09-03|страницы=82|страниц=482|столбцы=|isbn=9785457410022}}</ref> или '''равнобочной'''<ref>{{Книга|автор=М. И. Сканави|заглавие=Элементарная математика|ссылка=https://books.google.com/books?id=6EX6AgAAQBAJ&pg=PA437|издательство=|год=2013|страницы=437|страниц=611|isbn=9785458254489}}</ref> трапецией).
* Трапеция, имеющая [[Прямой угол|прямые]] углы при боковой стороне, называется '''прямоугольной'''.
<gallery>
Trapezoid2 1.png|Равнобедренная трапеция
Trapezoid1.png|Прямоугольная трапеция
</gallery>

== Свойства ==
{{Mainref|<ref>{{книга | заглавие = Четырёхугольники | ссылка = http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html }} {{Wayback|url=http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html |date=20150916001428 }}</ref>}}
* Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.<ref>[https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву] {{Wayback|url=https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf |date=20210301053034 }}, § 99.</ref>
* Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
* Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен <math>\frac{2xy}{x+y}</math> [[Среднее гармоническое|среднему гармоническому]] длин оснований трапеции.
* В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
* Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
* Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен [[wikt:полуразность|полуразности]] оснований.
* Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
* Если отношение оснований равно <math>K</math>, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно <math>K^2</math>.
* Высота трапеции определяется формулой:
:: <math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>
: где <math> b </math> — большее основание, <math> a </math> — меньшее основание, <math> c </math> и <math> d </math> — боковые стороны.
* Диагонали трапеции <math> d_1</math> и <math> d_2 </math> связаны со сторонами соотношением:
:: <math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>
: Их можно выразить в явном виде:
:: <math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
:: <math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
: Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
:: <math>a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}</math>
:: <math>b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2)^2-(d^2-d_1^2)^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}}</math>
:: а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
:: <math>c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}</math>
:: <math>d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}</math>
: Если же известна высота <math> h </math>, то
:: <math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>
:: <math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>
* [[Прямая Ньютона]] для трапеции совпадает с её [[средняя линия|средней линией]].

=== Равнобедренная трапеция ===
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
* прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
* высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
* углы при любом основании равны;
* сумма противоположных углов равна 180°;
* длины диагоналей равны;
* вокруг этой трапеции можно описать окружность;
* вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого [[антипараллелограмм]]а.

Кроме того
* если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

=== Вписанная и описанная окружность ===
{{Нет ссылок|В этом разделе|дата=6 июля 2015}}
* Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно [[Вписанная окружность|вписать]] [[окружность]]. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
* В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
* Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
* Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:{{нет АИ|6|07|2015}}
:: <math>R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}}</math>
: где <math>p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \,   c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math> d_1=d_2 </math> — диагонали равнобедренной трапеции.
* Если <math>a+b=2c </math>, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
:: <math>r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}</math>
* Если в трапецию [[Вписанная окружность|вписана]] [[окружность]] с радиусом <math>r</math>, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — <math>v</math> и <math>w</math> — то <math>r = \sqrt{vw}</math>.

=== Площадь ===
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].''
* В случае, если <math>a</math> и <math>b</math> — основания и <math>h</math> — высота, формула [[Площадь фигуры|площади]]:
:: <math>S= \frac{(a+b)}{2}h</math>
* В случае, если <math>m</math> — средняя линия и <math>h</math> — высота, формула [[Площадь фигуры|площади]]:
:: <math>S= \displaystyle m h</math>
''Примечание:'' Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
:: <math>m= \frac{ (a+b) }{2}</math>
* Формула, где <math>a<b</math> — основания, <math>c</math> и <math>d</math> — боковые стороны трапеции:
:: <math>S=\frac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.</math>
: или
:: <math>S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>
* Средняя линия <math>m</math> разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как<ref>Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1974. — 592 с.</ref>
:: <math>\frac{S_1}{S_2}=\frac{3a+b}{a+3b}</math>

* Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным <math>r</math>, и углом при основании <math>\alpha</math>:
:: <math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}</math>
* Площадь равнобедренной трапеции:
:: <math>S=(b-c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}=(a+c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}</math>
: где <math>c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math>\gamma</math> — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной<ref>Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184</ref>.
* Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
:: <math>S=\frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\frac 14 (b-a)^2}</math>


* Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

== История ==
Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).

{{Навигация
|Викисловарь=трапеция
}}

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Многоугольники}}

[[Категория:Четырёхугольники]]