Просмотр кода страницы Scilab/Практикум. Часть 1

В данном разделе будут представлены конкретные примеры и способы их решения в среде Scilab. Целью данного раздела является закрепление уже накопленных вами знаний, а также попутное изучение возможностей среды.

Практически для всех тривиальных задач в системе заготовлены стандартные функции. Перед тем, как мы начнем их разбирать, возьмите за правило:
<blockquote>
Если в системе существует функция, которая реализует по крайней мере часть задачи, которую вы решаете, всегда используйте эту функцию и не прибегайте к программированию.
</blockquote>
Дело в том, что все функции, входящие в стандартную комплектацию, тестируются разработчиками и оптимизированы под среду. В этом случае любой ваш программируемый алгоритм будет всегда менее эффективен по скорости, чем уже готовый. Хотя возможно это и не всегда так, но поверьте, что затраты времени на «придумывание велосипеда» в большинстве случаев не окупаются.

== Простые выражения ==
Для начала попробуем повычислять простые выражения.

'''Пример 1'''
<br>Вычислить</br>
<center><math> \sin{\left( \frac{5 \cdot 6\sqrt{94-56}+6\sqrt{291+2}}{6 \cdot 41,25^2\cdot\sqrt{25 \cdot 26 +1}}\right)}^{\lg{36,25}+\ln{34,25}} .</math></center>

Данное выражение является сложным и требует предварительного разбора. Конечно, можно ввести данное выражение одной строкой в командное окно, но в данном примере мы вычислим его по частям для лучшего понимания материала.

Для начала необходимо определиться с очередностью выполняемых действий. При несложном разборе очередность такова:
# Рассчитать числитель дроби функции синуса;
# Рассчитать знаменатель дроби функции синуса;
# Числитель поделить на знаменатель;
# Найти синус от результата 3;
# Рассчитать выражение ''степени'';
# Возвести результат 4 в степень результата 5.

Описанный алгоритм отражает следующий листинг
<syntaxhighlight lang=Scilab>
-->5*6*sqrt(94-56)+6*sqrt(291+2); // Вычисляем числитель
-->ans/(6*41.25^2*sqrt(25*26+1)); //Вычисляем знаменатель
-->sin(ans); // Вычисляем синус
-->ans^(log10(36.25)+log(34.25)) // Возводим в степень
 ans  =
    8.715D-16 
</syntaxhighlight>
Обратите внимание на то, что мы используем для хранения промежуточных результатов переменную ''ans''. В этом примере исходный алгоритм немного облегчен, так, в 4 строке листинга мы объединили пункты 4 и 5.

В этом примере мы использовали две новые функции:
* '''log10()''' — вычисляет десятичный логарифм;
* '''log()''' — вычисляет натуральный логарифм.
В среде нет функции, которая реализует логарифм по произвольному основанию, но это не является проблемой. По свойству логарифма<br/>
<center><math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a} ,</math></center>тогда, например, логарифм 4 по основанию 2 можно вычислить так
<syntaxhighlight lang=Scilab>
-->log10(4)/log10(2) // через десятичный логарифм
 ans  =
    2.  
-->log(4)/log(2) // через натуральный логарифм
 ans  =
    2.  
</syntaxhighlight>
Стоит упомянуть, что в среде есть также встроенная функция для вычисления логарифмов по основанию 2 — '''log2()'''.

'''Пример 2'''<br\>
Вычислить<br\>
<center><math>\frac{log_6 4+log_7 9}{log_{4^{-1}} 32 \cdot log_5 500} .</math></center>

В примере мы вновь возвращаемся к проблеме вычисления логарифма по произвольному основанию, однако применение свойства в данном случае напрямую серьезно усложнит само выражение. В данном случае рациональнее всего объявить собственную функцию, которая бы вычисляла логарифмы при любом основании.

Воспользуемся свойством логарифма и объявим функцию '''logn()'''.
<syntaxhighlight lang=Scilab>
-->deff('out=logn(m,n)','out=log10(m)/log10(n)')
// Имея теперь функцию, легко записать исходное выражение
-->(logn(4,6)+logn(9,7))/(logn(32,4^-1)*logn(500,5))
 ans  =
  - 0.1971180  
</syntaxhighlight>

== Алгебра ==
В рамках данного раздела мы рассмотрим способы решения самых распространенных задач алгебры.

=== Решение алгебраических уравнений ===
Найти корни уравнения<br />
<center><math>2x^3-8x^2-7x+21=0.</math></center>

Ранее мы решали подобную задачу. Напомним, что для решения линейных уравнений в среде имеется функция '''roots()''', которая принимает в качестве аргумента объект ''полином''. Практически все действия выполняет за вас среда, необходимо только объявить полином. Напомним, что полином объявляется функцией '''poly()'''. В нашем случае полином составляется из коэффициентов, которые нужно переписать в обратном порядке.

<syntaxhighlight lang=Scilab>
-->p=poly([21 -7 -8 2],'x','c')
 p  =
                2    3  
    21 - 7x - 8x + 2x   
-->roots(p)
 ans  =
    4.2415355  
  - 1.6987739  
    1.4572384  
</syntaxhighlight>

Функция '''roots()''' имеет флаг, определеяющий используемый алгоритм:
* 'f' — расчет по алгоритму Дженкинса-Трауба (RPOLY-алгоритм); используется по умолчанию;
* 'e' — расчет через собственные вектора сопровождающих матриц.
RPOLY-алгоритм используется главным образом для поиска действительных и комплексных корней с порядком полинома, не превышающем 100. Второй алгоритм существует как альтернатива ему. В большинстве случаев RPOLY-алгоритма достаточно для решения многих задач, поэтому пользоваться флагом приходится редко.

Для примера, найдем корни следующего полинома по второму алгоритму
<center><math>x^3+0,4 x^2+0,6 x - 1 = 0 .</math></center>

<syntaxhighlight lang=Scilab>
-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],'x','c'),'e')
 ans  =
  - 0.5576818 + 1.0425361i  
  - 0.5576818 - 1.0425361i  
    0.7153636    
</syntaxhighlight>

=== Решение систем уравнений ===

=== Решение трансцендентных уравнений ===
Трансцендентные уравнения решаются преимущественно численными методами. Обычно этот процесс заключается в выборе интервала, в который попадает по крайней мере один корень уравнения, а затем производится численное приближение к этому корню.

В Scilab определена всего одна функция для решения трансцендентных уравнений '''fsolve()'''. Если возможности этой функции по какой-либо причине не устраивают, то обычно пишут собственную функцию, реализующую некоторый численный метод.

Найти корни<br />
<center><math>e^x/10-2(x-1)^2-\sqrt[3]{x^2}=0 .</math></center>

<syntaxhighlight lang=Scilab>
// Объявляем функцию
-->deff('y=f(x)','y=exp(x)/10-2*(x-1)^2-x^(2/3)')
//Вызываем функцию
-->fsolve(6,f)
 ans  =
    6.4401965  
</syntaxhighlight>

Для решения трансцендентных уравнений необходимо правильно выбирать приближение, для чего требуется представлять левую часть уравнения как функцию и строить график. Если начальное приближение очень далеко от корня, то нет гарантии, что функция '''fsolve()''' найдет решение.

=== Матричная алгебра ===

== Функциональный анализ ==

== Интегральное и дифференциальное исчисления ==

== Статистика ==

== Работа с текстовыми строками ==

{{BookCat}}