54 Национальная олимпиада Болгарии по математике

Подробнее об олимпиаде читайте в №6, 2005 журнала Потенциал, а также по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200506261939PH7C03J6

Первый день

1. Найдите все тройки натуральных чисел $\left(x,y,z\right)$, для которых $\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}$ – натуральное число.

2. Окружности $k_1$ и $k_2$ касаются внешним образом в точке Т. Некоторая прямая пересекает $k_1$ в точках А и В и касается $k_2$ в точке Х. Прямая ХТ пересекает $k_1$ в точке S, и на дуге TS, не содержащей А и В, выбрана точка С. Пусть СY – такая касательная к окружности $k_2\left(Y\in k_2\right)$ , что отрезок CY не пересекает отрезка ST. Докажите, что если I – точка пересечения прямых XY и SC , то

а) точки С, T, Y и I лежат на одной окружности;

б) точка I является центром вневписанной окружности $\mathrm{\Delta }ABC,$ касающейся стороны ВС.

3. Пусть M – множество всех рациональных чисел из интервала (0;1). Существует ли подмножество A множества M такое, что любое число из M может быть представлено единственным образом в виде суммы нескольких различных (возможно и одного) чисел из A ?

Второй день

4. Пусть $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ получен из $\mathrm{\Delta }ABC$ поворотом вокруг точки С. Обозначим через М, Е и F середины отрезков $B{A}^{\prime },AC,B^{\prime }C$ соответственно. Найдите $\mathrm{\angle }EMF$, если $AC\ne BC$ и EM = FM.

5. Для натуральных чисел t, a и b назовём (t,a,b) ? игрой игру двух соперников, при которой числа a и b остаются неизменными, а первое число тройки своим ходом игрок может уменьшить либо на a, либо на b. Ходят по очереди. Проигрывает тот, кто первый получит отрицательное число. Докажите, что существует бесконечно много t таких, что у первого игрока есть выигрышная стратегия (t,a,b) игре при любых a и b , сумма которых равна 2005.

6. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что $c\left(c^2-c+1\right)$ делится на ab и a + b делится на $c^2+1.$ Докажите, что одно из чисел a и b равно c, а другое равно $c^2-c+1.$

Ответы и указания

1. Одно из чисел равно $2\cdot 2005,$ два других равны $14\cdot 2005.$ Докажите, что каждое слагаемое – число, обратное натуральному.

2. а) Покажите, например, что S – середина дуги АВ. Тогда $\mathrm{\angle }TCI=\mathrm{\angle }TAS=\mathrm{\angle }BXT=\mathrm{\angle }TYX=\mathrm{\angle }TYI.$

б) Из подобия $\mathrm{\Delta }AXC\sim \mathrm{\Delta }TAS$ с учётом а) следует $\mathrm{\Delta }SXI\sim \mathrm{\Delta }SIT$, откуда SA = SI. Выведите отсюда подсчётом углов, что BI и CI – биссектрисы внешних углов $\mathrm{\Delta }ABC.$

3. Не существует. Покажите, что для такого множества из $a\in \mathrm{A}$ следует $\mathrm{A}\cap \left(\frac{a}{2};a\right)=\mathrm{\varnothing }.$ Тогда множество A бесконечно и для любого i $a_{i+1}=\frac{a_1}{2^i}.$ Но рациональное число с нечётным знаменателем, взаимно-простым со знаменателем $a_1$, не представимо в указанном виде.

4. $60^0$. Докажите вначале, что $\mathrm{\Delta }A{A}^{\prime }C$ – равносторонний.

5. Выигрышными являются игры с $t=2004+2005\cdot n,n\in N.$

6. Докажите вначале, что если для натуральных чисел x, y, n выполнено неравенство $\frac{xy}{x+y}>n,$ то $\frac{xy}{x+y}\ge n+\frac{1}{n^2+2n+2}$ причём равенство выполняется при $\left\{x,y\right\}=\left\{n+1,n^2+n+1\right\}.$ По условию $c\left(c^2-c+1\right)=pab,$ $a+b=q\left(c^2+1\right).$ Для $x=pqa,$ $y=pqb$ $\frac{xy}{x+y}>c-1,$ следовательно, $\frac{xy}{x+y}\ge c-1+\frac{1}{c^2+1}.$