Математический задачник/Новые задачи

Перенаправление на:

• Задачник/Новые задачи

Задача

Условие

Доказать, что при любом натуральном n и положительном a справедливо неравенство: $(1+a{)}^n\ge 1+na$

Решение

Через бином Ньютона

$(1+a{)}^n=1+na+\dots$,

поскольку $C_n^1=n$ (один элемент из n можно выбрать n способами).

С помощью математической индукции

1. База индукции. При n=1 утверждение очевидно верно.

2. Индукционный переход. $(1+a{)}^n=(1+a{)}^{n-1}\cdot (1+a)\ge (1+(n-1)\cdot a)\cdot (1+a)=1+(n-1)\cdot a+a+(n-1)\cdot a^2\ge 1+na$

Комментарии

Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.

Дополнительные данные

• Сложность: 4
• Класс: 7
• Предмет: математика
• Темы: математическая индукция, бином Ньютона