Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы

Некоторые часто используемые формулы | Краткие сведения о комплексных числах →

---

В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и т. п.

Основные законы алгебры

Справедливы следующие тождества:

• Переместительный (коммутативный) закон сложения:

• Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:

• Переместительный (коммутативный) закон умножения:

• Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:

• Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

Дроби

Здесь предполагается, что знаменатели дробей не обращаются в 0.

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула

В частности,

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула

Пропорции

Из отношения, называемого пропорцией, Шаблон:Формула следует, что Шаблон:Формула Производные пропорции: Шаблон:Формула где $m,n$ такие, что $ma+nb\ne 0,mc+nd\ne 0$.

В частности, Шаблон:Формула Шаблон:Формула (Для правой и левой частей берутся либо только верхние знаки, либо только нижние.)

В общем: Шаблон:Формула В частности, Шаблон:Формула (Знаки в знаменателе должны повторять соответствующие знаки в числителе.)

Правила обращения со степенями

Предполагается, что операции допустимы.

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула

Считается, что Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Тождества сокращённого умножения

Бином Ньютона: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула

Рисунок Д1.1. Первые 5 строк треугольника Паскаля.

где $C_n^m=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ — количество сочетаний из $n$ элементов по $m$ в каждом, или биномиальные коэффициенты; $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$ — факториал числа $n$. По определению, $0!=1$.

Для степени разности будем иметь: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула

Числа $C_n^m$ образуют, так называемый треугольник Паскаля. Как видно из рисунка Д1.1, каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.

Частные случаи формул (Д1.28) и (Д1.29):

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула

Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых мультиномов: Шаблон:Формула где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты, или мультиномиальные коэффициенты.

В частности, Шаблон:Формула При $n=3$ мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «триномиальные») образуют пирамиду Паскаля.

Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:

• Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула

В частности,

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула

Средние величины

• Среднее арифметическое:

• Среднее взвешенное:

Шаблон:Формула где $a_1+a_2+\dots +a_n\ne 0$.

Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при $a_1=a_2=\dots =a_n=1$.

• Среднее геометрическое:

Шаблон:Формула где $x_1⩾0,x_2⩾0,\dots ,x_n⩾0$.

• Среднее взвешенное геометрическое:

Шаблон:Формула где $x_1⩾0,x_2⩾0,\dots ,x_n⩾0$, $s=a_1+a_2+\dots +a_n$.

Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при $a_1=a_2=\dots =a_n=1$.

• Среднее гармоническое:

• Среднее квадратичное:

Шаблон:Формула Имеет место следующее неравенство (неравенство Коши): Шаблон:Формула

Абсолютная величина

Рисунок Д1.2. График функции $y=|x|$.

Абсолютной величиной, или модулем $|x|$ называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что Шаблон:Формула Альтернативное определение: Шаблон:Формула Модулем комплексного числа $z=x+yi$ называется выражение вида: Шаблон:Формула

Рисунок Д1.3. Геометрическая интерпретация модуля.

Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа $|x_1-x_2|$ равен расстоянию между точками $x_1$ и $x_2$, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, $|x|$ — это расстояние от точки вещественной прямой с координатами $x$ до начала координат $O$.

Свойства

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Если существует $x^{\alpha }$, то

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула

Имеет место и более общее свойство:

• Шаблон:Формула

Методы уничтожения иррациональности

В некоторых задачах часто возникает потребность избавится от иррациональности в числителе или знаменателе в выражении вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и/или $Q$ содержит радикалы.

Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.

Сопряжённым множителем относительно выражения $S$, содержащего радикалы, называется такое выражение $K\equiv ̸0$, что выражение $S\cdot K$ не содержит радикалов.

• Для выражения вида

Шаблон:Формула где $p,q,\dots ,l,n\in \mathbb{N}$ и $p,q,\dots ,l<n$, сопряжённый множитель будет иметь вид: Шаблон:Формула Действительно, домножив $S$ на $K$, получим: Шаблон:Формула

• Для выражения вида

Шаблон:Формула сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).

Для выражения Шаблон:Формула сопряжённый множитель Шаблон:Формула Для выражения Шаблон:Формула сопряжённый множитель Шаблон:Формула Для выражения Шаблон:Формула сопряжённый множитель Шаблон:Формула В частности, для выражения Шаблон:Формула сопряжённый множитель равен: Шаблон:Формула а для выражения Шаблон:Формула имеет вид: Шаблон:Формула Сопряжённый множитель для выражений вида Шаблон:Формула где $n\ne m$, можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как: Шаблон:Формула где $k$ — наименьшее общее кратное (НОК) чисел $m$ и $n$; $p=\frac{k}{n},s=\frac{k}{m}$.

Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала: Шаблон:Формула где $A⩾0,B⩾0,A^2⩾B$.

При преобразовании радикалов важно помнить, что:

• Шаблон:Формула
• Шаблон:Формула