Основы алгебры/Формулы сокращённого умножения

Ниже приведённые формулы применяются в обе стороны. По понятным причинам ценность формул выше при их применении из раскрытого состояния, из закрытого ускоряют решение. Существуют для любой натуральной степени (выводятся общей порождающей формулой). Под a и b подразумеваются выражения любой степени сложности, а n - натуральное число. Являются тождествами, поэтому принадлежат к алгебре.

Для квадратов:

1. $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
2. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
3. ${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
4. $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$

Для кубов:

1. $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$
2. $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
3. ${(a+b+c)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3a{b}^2+3a{c}^2+3b^{2}c+3b{c}^2+6abc$

Для четвёртой степени:

1. $(a\pm b{)}^4=a^4\pm 4a^{3}b+6a^2{b}^2\pm 4a{b}^3+b^4$
2. $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (выводится из $a^2-b^2$)
3. $a^4+a^2+1=(a^2+a+1)(a^2-a+1)$
4. $a^4+b^4=(a^2+b^2-\sqrt{2}ab)(a^2+b^2+\sqrt{2}ab)$

Для n-ой степени:

1. $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
2. $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}{b}^2-...-a^2{b}^{2n-3}+a{b}^{2n-2}-b^{2n-1})$, где $n\in N$
3. $a^{2n}-b^{2n}=(a^n+b^n)(a^n-b^n)$
4. $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}{b}^2-...+a^2{b}^{2n-2}-a{b}^{2n-1}+b^{2n})$, где $n\in N$

Некоторые свойства формул

1. $(a-b{)}^{2n}=(b-a{)}^{2n}$, где $n\in N$
2. $(a-b{)}^{2n+1}=-(b-a{)}^{2n+1}$, где $n\in N$

Доказательство

$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$

$(a\pm b{)}^2=(a\pm b)(a\pm b)=a^2\pm ab\pm ba+b^2=a^2\pm ab\pm ab+b^2=a^2\pm 2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

${(a+b+c)}^2=(a+b+c)(a+b+c)=a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Расширение

n - действительное число.