Основы теоретической физики/Момент импульса

2.3.7. Момент импульса

Момент импульса в Лагранжевой механике сохраняется благодаря тому, что функция Лагранжа не изменяется при любых трехмерных поворотах системы координат, то есть из-за изотропии пространства. Для релятивистского момента импульса можно вывести аналогичный закон.

Пусть Xⁱ – это 4-вектор координат частицы. Если сделать бесконечно малый поворот системы координат в четырехмерном пространстве, то координаты частицы поменяются на X'ⁱ. Изменение координат при повороте можно представить как сумму изменений координат при поворотах вокруг каждой оси: Шаблон:ОТФ

Длина 4-вектора не изменяется при поворотах, так как это интервал: Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Раскрывая в Шаблон:ОТФ скобки и опуская члены второго порядка малости, получим: Шаблон:ОТФ

Полученное выражение Шаблон:ОТФ, представляет собой произведение двух тензоров второго ранга. Такое произведение может быть равно нулю лишь в том случае, если один тензор симметричный, а второй – антисимметричный. Значит, поскольку тензор XⁱX^k - симметричный, тензор $d{\mathrm{\Omega }}_{ik}$ - должен быть антисимметричным. То есть: Шаблон:ОТФ

Рассмотрим теперь вариацию действия в формуле Шаблон:ОТФ при повороте системы координат: Шаблон:ОТФ

При бесконечно малом повороте, вариация координаты в Шаблон:ОТФ это разность координат в разных системах отсчета, из Шаблон:ОТФ получим: Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Рассмотрим теперь два вспомогательных тензора: антисимметричный и симметричный тензоры A_ik и B_ik, сумма которых даст тензор P_iX_k: Шаблон:ОТФ

Сделаем замену Шаблон:ОТФ в формуле Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Во втором слагаемом в Шаблон:ОТФ, стоит произведение симметричного и антисимметричного тензора, значит это слагаемое равно нулю.

Таким образом, учитывая, что вариация действия должна равняться нулю, из Шаблон:ОТФ получаем: Шаблон:ОТФ

Формула Шаблон:ОТФ определяет антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого сохраняется при повороте системы координат в четырехмерном пространстве. Этот тензор и называют 4-тензором момента импульса частицы: Шаблон:ОТФ

Легко заметить, что ненулевые, чисто пространственные компоненты тензора Шаблон:ОТФ, совпадают с «классическим» трехмерным моментом импульса: Шаблон:ОТФ

Три смешанные компоненты тензора Шаблон:ОТФ, представляют собой вектор: Шаблон:ОТФ

Можно объединить Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ, тогда тензор момента импульса можно записать в виде матрицы из двух векторов: Шаблон:ОТФ

Формула Шаблон:ОТФ определяет четырехмерный момент импульса одной частицы. Так как момент импульса — это аддитивный интеграл движения, то для множества частиц формула Шаблон:ОТФ примет вид: Шаблон:ОТФ

В левой части Шаблон:ОТФ компоненты 4-момента сохраняются, а в правой части трехмерный момент импульса сохраняется, значит сохраняется и вектор Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Можно преобразовать Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

В формуле Шаблон:ОТФ вектор $\overrightarrow{R}$ — это релятивистское определение радиус-вектора центра инерции системы. Скорость $\overrightarrow{V}$ — это скорость системы частиц как целого.

Можно заметить, что если скорости всех частиц много меньше скорости света, то энергия покоя будет много больше кинетической энергии и для центра инерции получится «классическое» выражение: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление