Основы теоретической физики/Канонические преобразования
1.3.7. Канонические преобразования
В некоторых задачах механики бывает удобно переходить от одних обобщенных координат и импульсов к другим. Формулы перехода в общем виде: Шаблон:ОТФ
Если после замены переменных Шаблон:ОТФ уравнения Гамильтона не меняют свой вид, то такие преобразования называются «каноническими преобразованиями». То есть при канонических преобразованиях, для функций Шаблон:ОТФ будет выполняться: Шаблон:ОТФ
Где — это некоторая новая функция Гамильтона для новых обобщенных координат и импульсов.
Чтобы вывести формулы для канонических преобразований, нужно воспользоваться принципом наименьшего действия Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ
Оба выражения Шаблон:ОТФ будут эквивалентны, если подынтегральные функции будут отличаться на полный дифференциал от произвольной функции координат импульсов и времени: Шаблон:ОТФ
Функцию F – называют «производящей функцией» канонического преобразования. Сами эти преобразования получаются как следствие из Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ
Канонические преобразования Шаблон:ОТФ , при заданной функции F(q,Q,t) дают связь между старыми переменными (q,p) и новыми (Q,P). Новая функция Гамильтона в результате таких преобразований удовлетворяет уравнениям Гамильтона.
Производящая функция может зависеть не только от координат, но и от импульсов. Соответствующую этому случаю формулу можно получить из Шаблон:ОТФ с помощью преобразований Лежандра: Шаблон:ОТФ