Основы теоретической физики/Принцип наименьшего действия в релятивистской механике

2.3.4. Принцип наименьшего действия в релятивистской механике

Принцип наименьшего действия является основополагающим постулатом не только в классической, но и в релятивистской механике. Общая формулировка этого принципа не изменяется: для всякой механической системы существует интеграл, называемый действием, траектория движения системы должна быть такой, чтобы вариация действия равнялась нулю.

Чтобы принцип наименьшего действия согласовался с принципом относительности Эйнштейна, действие не должно зависеть от выбора системы отсчета. Поэтому естественно предположить, что действие S, в релятивистской механике пропорционально интервалу s: Шаблон:ОТФ

Если говорить о действии свободной частицы, то интеграл Шаблон:ОТФ берется по мировой линии между двумя событиями a и b в моменты времени t₁ и t₂. Коэффициент пропорциональности α – это постоянная которая является внутренней характеристикой частицы.

С другой стороны, действие в общем случае, выражается через функцию Лагранжа как интеграл по времени: Шаблон:ОТФ

Можно приравнять Шаблон:ОТФ к Шаблон:ОТФ и воспользовавшись определением интервала получить функцию Лагранжа в релятивистской механике: Шаблон:ОТФ

При малых скоростях ($V\ll c$) выражение Шаблон:ОТФ можно разложить в ряд Тейлора: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в Шаблон:ОТФ – это константа, которую в функции Лагранжа можно не учитывать, значит для малых скоростей имеем: Шаблон:ОТФ

Можно найти теперь коэффициент α если сравнить формулу Шаблон:ОТФ с «классической» функцией Лагранжа свободной частицы: Шаблон:ОТФ

Подставив Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и в Шаблон:ОТФ, получим окончательный вид действия и функции Лагранжа для релятивистской свободной частицы: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление