Аффинные преобразования

Исходная версия статьи была написана Ворожцовым А. В. как методическое пособие для Физтех-колледжа, Журнал Потенциал

Определение аффинных преобразований

Давайте поговорим о растяжениях и сжатиях плоских фигур.

Если растянуть вдоль какого-то направления круг, то получится лекальная кривая — эллипс.

Если растянуть квадрат в направлении, параллельном одной паре сторон, то получится прямоугольник. Если же квадрат растянуть или сжать в направлении его диагонали, то получится параллелограмм.

Но что такое растяжение и сжатие? Как их строго определить?

Растяжения и сжатия, о которых мы будем говорить, в определенном смысле, равномерные.

Эта равномерность означает, что все кусочки плоскости будут растягиваться (сжиматься) одинаково.

Кроме того, когда мы растягиваем (сжимаем) квадрат, его стороны — отрезки остаются отрезками.

Такие равномерные растяжения (сжатия) называются аффинными преобразованиями.

Шаблон:Рамка Определение 1. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая. Преобразование называется взаимно однозначным, если оно разные точки переводит в разные, и в каждую точку переходит какая-то точка. Шаблон:Акмар

Напомним, что преобразование — это отображение множества на само себя. Отображение называется взаимооднозначным (биективным), если разные элементы переходят в разные, и в каждый элемент, какой-то элемент переходит.

Частным случаем аффинных преобразований являются просто движения (без какого-либо сжатия или растяжения). Движения — это такие преобразования, которые сохраняют расстояние между любыми двумя точками неизменным, а именно параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации.

Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой.

На рисунке 1 показаны различные движения плоскости с нарисованным на ней домиком. А на рисунке 2 показаны различные аффинные преобразования этой плоскости.

Файл:Motexamples.jpg

Рисунок 1. Примеры движений.

Файл:Affexamples.jpg

Рисунок 2. Примеры аффинных преобразований.

Обозначим множество движений плоскости как $Mot$, а множество аффинных преобразований как $Aff$. Тогда верно следующее утверждение.

Определение 2. Шаблон:Рамка Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.

$Mot\subset Aff.$

Доказательство.

Это кажется очевидным. Давайте поймем, что нам собственно нужно доказать. Для этого нужно ещё раз посмотреть на определения движения и аффинных преобразований. Нужно доказать, что любое движение является аффинным. То есть нужно показать, что при движении разные точки переходят в разные, и образ любой прямой есть прямая.

Это интуитивно ясно — при движении фигуры вообще не меняют своей формы и размеров, а меняют лишь своё положение на плоскости. Также и прямые будут сохранять свою форму — оставаться прямыми. Движение можно представлять как перемещение листка бумаги с рисунком по парте. При движении разные точки остаются разными, поскольку расстояния сохраняются. Если точки были «разделены» некоторым расстоянием, то и после движения они будут «разделены» этим же расстоянием.

Конец доказательства.

Растяжения и сжатия

Шаблон:Рамка Определение 3. Растяжением плоскости относительно прямой $l$ с коэффициентом $k\ne 0$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M^{\prime }$, что расстояние от прямой $l$ до $M^{\prime }$ в $k$ раз больше, чем до точки $M$, и проекция точек $M$ и $M^{\prime }$ на прямую $l$ совпадают. Если коэффициент $k$ положительный, то точки $M$ и $M^{\prime }$ лежат по одну сторону от прямой $l$, если отрицательный — то по разные. Шаблон:Акмар

Рисунок 3. Сжатия и растяжения относительно прямой.

Давайте докажем, что растяжение (сжатие) относительно прямой является аффинным преобразованием. Во-первых, эти преобразование взаимно однозначно. Чтобы доказать это заметим, что для каждого сжатия есть растяжение, которое все точки возвращает на свои места, и наоборот, для каждого растяжения есть возвращающее всё на свои места сжатие. А сейчас воспользуемся теоремой:

Теорема 1

Если преобразование $g$ обратно преобразованию $f$, а преобразование $f$ обратно преобразованию $g$, то $f$ и $g$ взаимно однозначные преобразования.

Шаблон:Рамка Определение 4. Преобразование $g$ называется обратным к преобразованию $f$, если преобразование $g$, применённое после преобразования $f$, все точки возвращает на свои места. Если преобразование $f$ точку $A$ переводит в точку $B$, то обратное преобразование точку $B$ переводит в точку $A$. Шаблон:Акмар

Утверждение 2.

Растяжение (сжатие) относительно прямой есть аффинное преобразования.

Доказательство.

Нам осталось показать, что сжатие и растяжение прямые переводят в прямые. Пусть растяжение осуществляется относительно прямой $l$. Направим вдоль неё ось $X$. Рассмотрим любую прямую $m$. Возможны два случая.

1) Если она пересекается с $l$, то проведем через точку пересечения ось $Y$, перпендикулярную $X$. Тогда уравнение прямой $m$ будет иметь вид:

$y=ax.$

При растяжении относительно прямой $l$ (оси $X$) с коэффициентом $k$ точка $(x,y)$ переходит в точку $(x,ky)$:

растяжение относительно оси 'X' : $(x,y)\to (x,ky)$

Точка $(x,y)=(x,ax)$ прямой $m$ перейдёт в точку с координатами $(x^{\prime },y^{\prime })=(x,ky)=(x,kax)$. А значит, координаты новых точек будут удовлетворять уравнению

$y^{\prime }=ka{x}^{\prime }$

— это уравнение прямой. Итак образы точек прямой $y=ax$ лежат на прямой $y=kax$.

2) Если она не пересекается с $l$.

Задача 13.1[9] Случай, когда $m$ не пересекается с $l$, рассмотрите самостоятельно.

Решение.

Если $m$ не пересекается с $l$, то все точки $m$ удалены от прямой $l$ на определенное расстояние $d$. После сжатия или растяжения относительно $l$ они станут точками, удалёнными от прямой на расстояние $|kd|$ и по прежнему будут лежать по одну сторону от прямой $l$. А значит, они будут лежать на прямой.

Конец решения.

Конец доказательства.

Итак, кроме движений плоскости аффинные преобразования содержат еще сжатия и растяжения относительно прямой. Если мы применим растяжение относительно одной прямой, а потом относительно другой прямой, то снова получим аффинное преобразование, так как и первое, и второе растяжение сохраняло прямые и разные точки переводило в разные. Вообще верно

Утверждение 3

Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:

$f,g\in Aff\Rightarrow (f\circ g)\in Aff$

Мы здесь использовали значок «$\circ$» композиции. Выражение $(f\circ g)$ следует понимать как преобразование плоскости, которое получается после применения преобразования $g$ и последующего применения преобразования $f$. Значок «$\in$» следует читать как «принадлежит», то есть «содержатся внутри как элемент».

Файл:Parprojection.jpg

Рисунок 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на другую фигура подвергается растяжению (сжатию) относительно прямой пересечения плоскостей.

Задача 2[10]

Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй
1) совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;
2) является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости, относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.

Гомотетия

Есть еще важный класс аффинных преобразований — это сжатия и растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия или гомотетиями.

Определение 5. Шаблон:Рамка Гомотетия относительно точки $O$ с коэффициентом $k$ точку $M$ переводит в точку $M^{\prime }$, которая удалена от точки $O$ в $k$ раз сильнее чем точка $M$ и лежит на прямой $OM$ c той же стороны от точки $O$, что и точка $M$, если $k>0$. Если $k<0$, то $M$ и $M^{\prime }$ лежат по разные стороны от точки $O$. Другими словами,

$\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{OM}.$

Задача 3[8]

Что такое гомотетия с коэффициентом

a) $k=1$; б) $k=-1$?

Решение

а) Тождественное преобразование (преобразование, которое ничего не преобразует, а все оставляет на своих местах);

б) поворот на $180^{\circ }$ вокруг центра гомотетии.

Конец решения

Как вы узнали из задачи 2(ссылка), растяжение (сжатие) относительно прямой можно реализовать как проекцию фигуры с помощью параллельного пучка лучей с одной плоскости на другую плоскость, не параллельную ей. А гомотетия получается при проекции с помощью центрального пучка лучей с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость (рис.5).

Задача 4[8]

Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом

а) $k=10$; б) $k=-1/2$?

Решение

Гомотетия с коэффициентом а)$k=1/10$ б)$k=-2$ и тем же центром.

Конец решения

Рисунок 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость с помощью центрального пучка лучей.

Обозначения 1

Обозначим как $H_l^k$ растяжение относительно прямой $l$ с коэффициентом $k$ (если $|k|<1$, то это сжатие). И, в то же время, $H_O^k$ будет обозначать гомотетию относительно точки $O$ с коэффициентом $k$.

Мы уже выяснили, что

$H_l^k\in Aff.$

'Задача 5[8]

Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:

$H_O^k\in Aff.$

Подсказка Это можно сделать, решив следующую задачу. Кроме того, есть простой путь для тех, кто освоился с декартовой системой координат. Поместите начало системы координат в центр гомотетии и определите, что происходит при гомотетии с координатами точки. Как выглядит общее уравнение прямой? Почему прямые при гомотетии остаются прямыми?

задача 6[8]

Докажите, что гомотетию относительно точки $O$ можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно перпендикулярных прямых $l_1$ и $l_2$, пересекающихся в точке $O$:

$H_O^k=H_{l_1}^k\circ H_{l_2}^k$. Точнее $\mathrm{\forall }k\in \mathrm{\Re }(k\ne 0\Rightarrow \mathrm{\forall }{l}_1,l_2((l_1\perp l_2,l_1\cap l_2=O)\Rightarrow H_O^k=H_{l_1}^k\circ H_{l_2}^k)).$

(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа $k\ne 0$ и двух перпендикулярных прямых $l_1$ и $l_2$, пересекающихся в точке $O$, верно равенство $H_O^k=H_{l_1}^k\circ H_{l_2}^k$».)

Подсказка Смотрите рисунок 6.

Файл:Hom2.jpg

Рисунок 6. Из двух растяжений вдоль перпендикулярных направлений получается гомотетия.

Задача 7[9]

Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются (уменьшаются)

Задача 8[9]

Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники — в правильные треугольники.

Решение

Следует из предыдущей задачи. Отношение расстояний не меняется, потому множество равноудаленных от $O$ переходит в множество равноудаленных от $O^{\prime }$ точек. Аналогичные рассуждения для двух вершин правильного треугольника, которые равноудалены от третьей.

Задача 9[10]

Докажите, что композиция двух гомотетий есть снова гомотетия, причем центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.

Задача 10[10]

Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом $k\ne 1$ и параллельного переноса есть снова гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.

Что аффинные преобразования сохраняют?

Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют прямые и свойство различия двух точек:

$A\ne B,f\in Aff\Rightarrow f(A)\ne f(B),$ $l$ — прямая, $f\in Aff\Rightarrow f(l)$— прямая.

Эти два свойства можно обозначить так:

Файл:Aff1.jpg

Эти два свойства являются определяющими свойствами аффинных преобразований. Непосредственно из этих свойств следуют, как мы уже показали ранее, следующие два важных свойства

Шаблон:Рамка $3^{\circ }$ Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование.

$4^{\circ }$ Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.

Эти свойства можно обозначить так:

$3^{\circ }f,g\in Aff\Rightarrow (f\circ g)\in Aff.$
$4^{\circ }f\in Aff\Rightarrow f^{-1}\in Aff.$

Следующие свойства относятся к классу «законов сохранения», то есть они говорят, какие свойства фигур аффинные преобразования сохраняют (не изменяют).

Примечание Преобразование инверсии сохраняет свойство окружности и углы между кривыми. Другой тип преобразований — движения, они сохраняют расстояния. Движения, аффинные преобразования и инверсию можно грубо определить так:

1. Движения сохраняют расстояние.
2. Аффинные преобразования сохраняют «прямоту» линий.
3. Инверсии сохраняют свойство «круглоты».

Задача 11[9]

Докажите, что при аффинном преобразовании

$5^{\circ }$ пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,

$6^{\circ }$ параллельные переходят в параллельные.

Эти свойства можно обозначить так:

Решение

Действительно, прямые переходят в прямые. Предположим, что две прямые пересекаются. Значит, у них есть общая точка $A$. Если после аффинного преобразования они стали параллельными, значит у них не стало общей точки. Получается, что образ точки $A$ (точка в которую она перешла при преобразовании) должен лежать как на первой, так и на второй прямой. Но этого быть не может, так как точка $A$ имеет только один образ. Точка не может перейти в две разные точки. Значит, пересекающиеся прямые не могли перейти в параллельные. То, что параллельные не могут перейти в пересекающиеся, докажите самостоятельно.

Задача 12[9] На основе предыдущих свойств, докажите следующие два свойства:

$7^{\circ }$ параллелограмм переходит в параллелограмм,

$8^{\circ }$ трапеция переходит в трапецию:

Файл:Aff3.jpg

Файл:Spreserve.jpg

Рисунок 7. Отношение площадей сохраняется.

Следующее важное свойство касается площади. Посмотрите на рисунок 7. Там нарисована прямоугольная сетка и две фигуры. Площади этих фигур примерно равны (пропорциональна) количеству квадратиков. А отношение площадей двух фигур примерно равно отношению квадратиков внутри этих фигур.

При аффинном преобразовании квадратики переходят в одинаковые параллелограммы, прямоугольная сетка переходит в скособоченную сетку. Но важно, что отношение площадей примерно равно отношению числа этих параллелограммчиков, то есть тому же, чему было равно это отношение до аффинного преобразования. Если нарисовать сетку очень-очень мелкой, точнее сколь угодно мелкой, тогда площадь будет точно выражаться через число квадратиков и параллелограммчиков и наши рассуждения станут строгими.

Таким образом, мы доказали еще одно свойство:

Шаблон:Рамка Пусть ${F^{\prime }}_1$ и ${F^{\prime }}_2$ — образы фигур $F_1$ и $F_2$ при некотором аффинном преобразованиии, тогда отношения их площадей одинаковы, то есть

$S_{F_1}:S_{F_2}=S_{{F^{\prime }}_1}:S_{{F^{\prime }}_2}$

Это свойство можно записать так:

$9^{\circ }f\in Aff,{F^{\prime }}_1=f(F_1),{F^{\prime }}_2=f(F_2)\Rightarrow \frac{S_{F_1}}{S_{F_2}}=\frac{S_{{F^{\prime }}_1}}{S_{{F^{\prime }}_2}}$

Файл:Equalintervals.jpg

Рисунок 8. Отношение длин отрезков на прямой сохраняется.

Задача 13[9]

Докажите, что отношение длин отрезков на одной и то же прямой при аффинном преобразовании сохраняется.

Подсказка На рисунке 8(а) показано два равных отрезка $AB$ и $CD$ на прямой $l$. Докажем, что после любого аффинного преобразования образы этих отрезков будут иметь равную длину. Для этого сделаем дополнительные построения: параллельно прямой $l$ построим еще один отрезок $KM$, равный $AB$ и $CD$. Заметим, что $AKMB$ и $CKMD$ параллелограммы, так как две их противоположные стороны равны и параллельны. После любого аффинного преобразования они останутся параллелограммами, а значит, для образов будут верны равенства $A^{\prime }{B}^{\prime }=K^{\prime }{M}^{\prime }$ и $K^{\prime }{M}^{\prime }=C^{\prime }{D}^{\prime }$.

Итак, мы показали, что два равных отрезка на одной прямой после преобразования останутся равными. Теперь предположим, что их длины не равны. Например, первый, $AB$, имеет длину $7$, а второй $CD=5$. Но тогда первый мы сможем разделить на $7$ единичных отрезков, а второй на $5$ единичных отрезков. Все $12$ отрезков, как мы только что показали, будут равны друг другу до и после аффинного преобразования. Значит, отношение длин образов отрезков $AB$ и $CD$ будет прежним, то есть $7$ к $5$.

Заметьте, что любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом. Это свойство математики обозначают так: «множество рациональных чисел всюду плотно». В сколь угодно маленькой окрестности любого числа найдется рациональное число.

Задача 14[9]

Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых при аффинном преобразовании сохраняется:

$10^{\circ }f\in Aff,AB\Vert CD\Rightarrow AB:CD=A^{\prime }{B}^{\prime }:C^{\prime }{D}^{\prime }.$

Подсказка Используйте подсказку к предыдущей задаче.

При строгом доказательстве свойств $9^{\circ }$ и $10^{\circ }$ используется предельный переход и свойство непрерывности аффинных преобразований. Про непрерывность и предельные переходы рассказывают на на первом курсе института. Мы с вами использовали предельный переход на интуитивном уровне.

Задача 15[9]

Докажите, что при аффинном преобразовании выпуклой фигуры получается выпуклая фигура. Фигура называется выпуклой, если любыми двумя точками она содержит и отрезок, их соединяющий. Другими словами, аффинные преобразования сохраняют свойство выпуклости.

Что могут аффинные преобразования?

Итак, мы выяснили, что сохраняют аффинные преобразования. Теперь посмотрим, на что они способны. Можно ли с помощью аффинного преобразования из трапеции сделать квадрат? Или из параллелограмма — квадрат? Из любого ли треугольника можно сделать правильный треугольник? Постараемся выяснить, какими деформирующими способностями обладают аффинные преобразования.

Основываясь на рисунке 9, решите следующие задачи.

Задача 16[8]

Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно одной из сторон из любого треугольника можно сделать равнобедренный.

Задача 17[8]

Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно основания из равнобедренного треугольника можно сделать правильный.

Задача 18[8]

Покажите, что с помощью гомотетии относительно центра правильного треугольника из него можно получить правильный треугольник с единичной стороной.

Файл:Afftr.jpg

Рисунок 9. Превращение треугольника в правильный.

Задача 19[9]

Основываясь на трех предыдущих задачах, докажите, что с помощью аффинного преобразования из любого треугольника можно сделать любой другой. То есть если нам даны два треугольника $ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, то существует аффинное преобразование, которое переводит первый треугольник во второй.

Подсказка Обратите внимание на свойство $4^{\circ }$ — «обратное к аффинному аффинно», и если мы смогли сделать из $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ равносторонний треугольник, то и из равностороннего можно с помощью аффинного преобразования получить обратно $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Теперь из $ABC$ сделаем равносторонний, а из равностороннего — $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ и вспомним про свойство $3^{\circ }$.

Заметьте также, что нам важно следить только за положением вершин. Если вершины $ABC$ перейдут в вершины $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, то стороны совпадут автоматически, так как аффинные преобразования сохраняют «свойство прямоты».

Задача 20[8]

Докажите, что не из всякого четырехугольника можно сделать квадрат.

Решение. Возьмите четырехугольник с непараллельными сторонами. Они останутся непараллельными.

Задача 21[8]

Докажите, что не из всякого пятиугольника (шестиугольника) можно сделать правильный пятиугольник(шестиугольник).

Задача 22[8]

Докажите, что из круга нельзя сделать квадрат, а из квадрата нельзя сделать треугольник.

Задача 23[11]

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно

Определение 6. Шаблон:Рамка Эллипс — это фигура на плоскости, которая в подходящих декартовых координатах задается уравнением

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a\ne 0,b\ne 0.$

Определение 7. Шаблон:Рамка Эллипс — это фигура, которую можно получить из круга, применяя аффинное преобразование. Шаблон:Акмар

Задача 24[10]

Докажите, что эти два определения эллипса равносильны.

Подсказка Эта задача включает в себя две задачи. Сначала нужно показать, что из первого определения следует утверждение второго определения, потом наоборот. Вторая часть сложнее, так как для неё необходимо иметь представление о всех возможных аффинных преобразованиях.

Задача 25[10]

Докажите, что применяя движения, растяжения и сжатия относительно прямых, можно получить любое аффинное преобразование.

Подсказка Решите сначала следующие три задачи.

Задача 26[10]

Пусть дана прямая $l$ и точка $A$ на ней. Преобразование $f$ — произвольное аффинное преобразование. Докажите, что после аффинного преобразования $f$ можно применить движение (параллельный перенос и поворот) так, что в итоге получится преобразование, которое точку $A$ оставляет неподвижной и переводит прямую $l$ в себя. \end{task}

Задача 27[10]

Пусть даны две пересекающиеся в точке $A$ прямые $l$ и $m$. Докажите, что после произвольного аффинного преобразования $f$ можно применить движение и сжатие (или растяжение) относительно прямой так, что в итоге получится преобразование, которое эти прямые переводит в себя.

Подсказка Первым делом, совместите биссектрисы углов между прямыми $l$, $m$ и прямыми $l^{\prime }$, $m^{\prime }$, а также точки их пересечения. Применяйте сжатие (растяжение) вдоль этих биссектрис.

Задача 28[10]

Пусть даны две перпендикулярные прямые $l$ и $m$, пересекающиеся в точке $A$. Докажите, что после произвольного аффинного преобразования $f$ можно применить движение и несколько сжатий или растяжений относительно прямых так, что в итоге получится преобразование, которое все точки на этих прямых переводит в себя.

Задача 29[10]

Докажите, что если аффинное преобразование сохраняет неподвижными все точки на двух пересекающихся прямых, то это преобразование все остальные точки плоскости тоже оставляет неподвижными.

Задача 30[8]

Докажите, что из любой трапеции афинными преобразованиями можно сделать равнобокую трапецию.

Задача 31[8]

Докажите, что из любого прямоугольника можно сделать квадрат.

Задача 32[8]

Докажите, что из любого треугольника можно сделать прямоугольный треугольник.

Задача 33[8]

Докажите, что из любого параллелограмма можно сделать квадрат.

Определение 8. Шаблон:Рамка Парабола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение

$y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0.$

Задача 34[11]

Докажите, что множество всех парабол — это множество всех фигур, которые можно получить из параболы $y=x^2$ при помощи аффинных преобразований.

Определение 9. Шаблон:Рамка Гипербола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение

$yx=a,a\ne 0,$ или $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a\ne 0,b\ne 0.$

Задача 35[11]

Докажите, что множество всех гипербол — это множество все фигур, которые можно получить из гиперболы $yx=1$ при помощи аффинных преобразований.

Методы решения задач с помощью аффинных преобразований

Задача 36[9]

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Из любого треугольника можно сделать равносторонний. Давайте сделаем. Заметим, что середины сторон перешли в середины сторон и медианы перешли в медианы. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке в силу симметрии. Значит, в исходном треугольнике они тоже пересекались в одной точке.

Попробуйте обобщить результат задачи 36 на случай не обязательно медиан и не обязательно треугольников.

Следующая задача решается аналогичным образом.

Задача 37[9]

Докажите, что три медианы делят треугольник на $6$ равновеликих треугольников.

Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, или отношение площадей, или доказать параллельность. Причем в условии задачи не должно быть дано ничего такого, что не сохраняется при аффинных преобразованиях. Например, если в задаче дано точное значение какого-то угла, то, скорее всего, эта задача не решается методом аффинных преобразований.

Задача 38[9]

На сторонах треугольника $ABC$ поставлены точки, которые делят эти стороны в отношении $1:3$. А именно, на стороне $AB$ поставлена точка $C_1$, на $BC$ — точка $A_1$, на $CA$ — точка $B_1$, и $A{C}_1=3\cdot C_{1}B$, $B{A}_1=3\cdot A_{1}C$, $C{B}_1=3B_{1}A$. Площадь треугольника $ABC$ равна $1$. Чему равна площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$?

Задача 39[10]

Докажите, что медианы треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ из предыдущей задачи пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника $ABC$.

Подсказка Превратите треугольник $ABC$ в правильный и используйте поворот вокруг центра $ABC$ на $60^{\circ }$.

Задача 40[10]

Докажите, что медианы треугольника, образованного прямыми $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$ из предыдущей задачи, пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника $ABC$.

Задача 41[10]

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Задача 42[11]

На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ параллелограмма $ABCD$ взяты точки $K$, $L$, $M$ соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть $b$, $c$, $d$ — прямые, проходящие через $B$, $C$, $D$ параллельно прямым $KL$, $KM$, $ML$ соответственно. Докажите, что прямые $b$, $c$, $d$ проходят через одну точку.