Математическая биофизика взаимодействующих популяций

Книга является справочником по математическим моделям взаимодействующих экологических систем

Модели одной изолированной популяции

Модель Фибоначчи

Краткое описание

Автор: Фибоначчи

Модель:

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Решение: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Описание

В 1202 году итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпустил книгу «Liber abacci» (Книга абакка). В этой книге он описал решение следующей задачи: « Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?» В результате Фибоначчи получил следующую последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, которая описывает количество кроликов каждый месяц.
Одним из существенных недостатков этой модели является, то что она не учитывает смертность. Кроме того, модель имеет узкое приложение и при ее переносе на другую популяцию может оказаться неверной.
Эту модель можно назвать одну из первых известных моделей, описывающих динамику популяции биологических существ.

Дополнительная литература

• Числа Фибоначчи на Wikipedia
• Воробьёв Н. Н. «Числа Фибоначчи» Серия «Популярные лекции по математике»

Модель Мальтуса

Краткое описание

Автор: Мальтус, Томас Роберт
Модель:

$\dot{x}=ax$

Решение:

$x(t)=x_0{e}^{at}$

Файл:Malthus Model.jpg

Модель Мальтуса динамики популяции

Алгоритмы:

• MathLab: malthus_model.m
• Java: malthus_model.java
• C++: malthus_model.cpp

Описание

Модель введена английским ученым Мальтусом в работе «Опыт закона о народонаселении». Эта модель довольно проста и обладает рядом недостатков. В частности, численность популяции никак не ограничивается сверху, например, количеством ресурсов, необходимых для роста популяции.

Дополнительные материалы

• Мальтус «Опыт закона о народонаселения» Книга 1. (англ. яз.)
• Мальтус «Опыт закона о народонаселения» Книга 1-4. (англ. яз.)

Модель Ферхюльста

Краткое описание

Автор: Ферхюльст, Пьер Франсуа

Модель:

$\dot{x}=ax(K-x)/K$

Алгоритмы:

Описание

Ферхюльст улучшил модель Мальтуса добавив в нее ограничение на рост популяции. В роли ограничивающего фактора служила площадь занимаемой популяцией поверхность.

Обобщенная модель

Краткое описание

Модель:

$\dot{x}=x(B(x)-D(x))$

Алгоритмы:

Дополнительные материалы

• Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. Наука, М., 1978
• Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.:Наука, 1985.

Модели 2-х изолированных популяций

Модель Лотка-Вольтерра

Краткое описание

Авторы: Альфред Джеймс Лотка, Вито Вольтерра
Модель:

$\{\begin{array}{c}{\dot{u}}_1=a{u}_1-b{u}_1{u}_2,\\ {\dot{u}}_2=-c{u}_2+d{u}_1{u}_2\end{array}$, где

$u_1$ — биомасса (численность) популяции «жертв»;
$u_2$ — биомасса (численность) популяции «хищников»;
a — коэффициент естественного прироста популяции «жертв», «рождаемость»;
b — коэффициент влияния популяции «хищников» на численность популяции «жертв», («поедание»);
c — коэффициент естественной смертности популяции «хищников»;
d — коэффициент усвоения биомассы «жертв» популяцией «хищников».
Решение:

Описание

Модель получена практически одновременно двумя учёными, Альфредом Лотка (/год/, /работа/) и Вито Волтерра (/год/, /работа/). Эта модель получила огромную популярность и иногда называется классической моделью взаимодействия популяций хищника и жертвы или просто моделью «хищник-жертва».

Для системы с постоянными коэффициентами модель имеет точное аналитическое решение.

Дополнительные материалы

• Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. 1931 / Пер. с французского под ред. Ю. М. Свирежева. — М.: Наука, 1976.
• Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins. 1925. 460 p.

Литература

• Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.:Наука, 1985.
• Одум Ю. Основы экологии. М.:Мир, 1975.
• www.elementy.ru
• Рубин А. Б. Биофизика в 2-х тт. М.,1999,2002
• А. Т. Терехин Модели конкуренции: динамика численности и эволюция фенотипа (пособие по компьютерному практикуму)
• Мальтус «Опыт закона о народонаселения» Книга 1. (англ. яз.)
• Мальтус «Опыт закона о народонаселения» Книга 1-4. (англ. яз.)