Высшая математика. Первый семестр/Пределы

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $y$, зависящая от переменного $x$. Предположим, что это переменное $x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ℬ$: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $y$ каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу $L$. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины $y$ при данном условии $ℬ$ для $x$ и обозначается

$\underset{ℬ}{\lim }y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Предел функции при x→x₀

Файл:Limit1.png

Предел при $x\to x_0$

Пусть $y=f(x)$ — это функция вещественного переменного $x$, определённая во всех точках интервала $(a;b)$, кроме, быть может, точки $x_0\in (a;b)$. Дадим определение предела величины $y$ при условии, что $x$ стремится к точке $x_0$. Это условие кратко обозначается $x\to x_0$. Стремление $x$ к $x_0$ означает, что при своём изменении $x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $x_0$, но не совпадает с $x_0$, то есть значение $|x-x_0|$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $x$ значения $y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $y_0$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $y_0$ можно указать, насколько близко $x$ должен подойти к $x_0$, чтобы значения $y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $y_0$. Тогда число $y_0$ есть предел функции $f(x)$ при условии $x\to x_0$, что записывается так:

$y_0=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x).$

Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $y_0$ (симметричная относительно $y_0$) характеризуется её полушириной $\epsilon >0$, то есть имеет вид интервала $(y_0-\epsilon ;y_0+\epsilon )$. Если значение $y$ попало в такую $\epsilon$-окрестность, то это означает, что $|y-y_0|<\epsilon$. Любая окрестность точки $x_0$, не содержащая самой точки $x_0$ (и симметричная относительно $x_0$), — это объединение двух смежных интервалов3 $(x_0-\delta ;x_0)\cup (x_0;x_0+\delta )=(x_0-\delta ;x_0+\delta )╲\{x_0\}$. Попадание точки $x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $|x-x_0|<\delta$ и $x\ne x_0$. Равенство $y_0=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $\epsilon >0$ можно найти такое число $\delta >0$ (зависящее от $\epsilon$), что при $|x-x_0|<\delta ,x\ne x_0$ будет $|f(x)-y_0|<\epsilon$.

При этом число $y_0$ называется пределом функции $f(x)$ при условии $x\to x_0$. Тот факт, что $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$f(x)\stackrel{x\to x_0}{\to }{y}_0.$

Файл:Limit2.png

График $y=2\sin x+1$

Пример 1: Пусть $x_0=0$ и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что $\underset{x\to 0}{\lim }(2\sin x+1)=1.$

Для этого фиксируем произвольное число $\epsilon >0$, задающее окрестность $(1-\epsilon ;1+\epsilon )$, и выясним, при каких $x$ значения функции $f(x)$ будут попадать в эту окрестность точки 1.

Попадание значений $f(x)$ в окрестность $(1-\epsilon ;1+\epsilon )$ означает, что выполняется неравенство $|(2\sin x+1)-1|<\epsilon$, то есть $|\sin x|<\frac{\epsilon }{2}$. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки $x_0=0$. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при $|x|<\arcsin \frac{\epsilon }{2}$. Таким образом, если взять $\delta =\arcsin \frac{\epsilon }{2}$ (это число больше 0), то при $x\in (-\delta ;0)\cup (0;\delta )$ будет выполнено неравенство $|f(x)-1|<\epsilon$, что и означает, что предел равен числу 1: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}(2\sin x+1)=1$, или $2\sin x+1\stackrel{x\to 0}{\to }1$.

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

Предел последовательности при n→∞

Файл:Limit3.png

Последовательность и её предел

Пусть дана бесконечная последовательность $\{y_n\}$ чисел, занумерованных по порядку:

$y_1,y_2,y_3,\dots ,y_n,\dots .$

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию $f(n)=y_n$, определённую при всех натуральных значениях аргумента $n$.) Дадим определение предела последовательности $\{y_n\}$ при условии, что номер $n$ неограниченно растёт (это условие обозначается $n\to \mathrm{\infty }$). Стремление $n$ к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа $N\in \mathbb{N}$, то есть начинает выполняться неравенство $n>N$. Если при этом числа $y_n$ становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу $L$, то это число — предел последовательности, что записывается так:

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n.$

Формализуем сказанное. Множества чисел $n$, заданные условиями $n>N$, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство $L=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{y}_n$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $\epsilon >0$ можно найти такое число $N$ (зависящее от $\epsilon$), что при $n>N$ (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство $|y_n-L|<\epsilon$.

При этом число $L$ называется пределом последовательности $\{y_n\}$ при условии $n\to \mathrm{\infty }$. Тот факт, что $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{y}_n=L$, записывают также в виде

$y_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }L.$

Файл:Limit4.png

Последовательность $\frac{1}{n^2}$

Пример 2: Покажем, что предел последовательности $y_n=\frac{1}{n^2}$ равен 0.

Фиксируем произвольное число $\epsilon >0$ и подберём число $N$ в зависимости от $\epsilon$ так, чтобы при $n>N$ выполнялось неравенство $|y_n-0|<\epsilon$, то есть $\frac{1}{n^2}<\epsilon$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $N$ натуральное число, ближайшее к $\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$ справа на вещественной оси4, то есть $N=\lceil \frac{1}{\sqrt{\epsilon }}\rceil$, и тогда при любом $n>N$ неравенство $\frac{1}{n^2}<\epsilon$ будет верным. Это означает, что

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2}=0,$

или $\frac{1}{n^2}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$.

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

Предел функции f(x) при условии x→+∞

Файл:Limit5.png

Предел при $x\to +\mathrm{\infty }$

Определим окрестности бесконечности как множества точек $x$, заданные неравенствами $x>a$, то есть лучи $(a;+\mathrm{\infty })$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $(y_0-\epsilon ;y_0+\epsilon )$ точки $y_0$ можно было найти такую окрестность бесконечности $(a_{\epsilon };+\mathrm{\infty })$, что при попадании $x$ в эту окрестность, то есть при $x>a_{\epsilon }$, соответствующее значение $y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $y_0$, то есть выполняется неравенство $|f(x)-y_0|<\epsilon$. Выполнение этого требования будет означать, что $y_0$ — предел функции $f(x)$ при условии $x\to +\mathrm{\infty }$, то есть

$y_0=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x).$

Тот факт, что $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$f(x)\stackrel{x\to +\mathrm{\infty }}{\to }{y}_0.$

Файл:Limit6.png

График функции $y=\frac{3x-2}{x+1}$

Пример 3: Покажем, что предел функции $f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$ при $x\to +\mathrm{\infty }$ равен числу 3.

Фиксируем $\epsilon >0$ и подберём по этому числу $\epsilon$ такое число $a$, что при любом $x>a$ выполняется неравенство

$|\frac{3x-2}{x+1}-3|<\epsilon .$

Сразу будем считать, что $a$ — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $|-\frac{5}{x+1}|<\epsilon$ или $|x+1|>\frac{5}{\epsilon }$. Так как $x>a⩾0$, то $x+1>0$ и неравенство имеет вид $x+1>\frac{5}{\epsilon }$, откуда $x>\frac{5}{\epsilon }-1$. Если теперь взять число $a_{\epsilon }$ равным $\frac{5}{\epsilon }-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $x>a_{\epsilon }$ будет выполняться неравенство $|\frac{3x-2}{x+1}-3|<\epsilon$; это означает, что

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=3,$

или $\frac{3x-2}{x+1}\stackrel{x\to +\mathrm{\infty }}{\to }3$.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, который называют Первым замечательным пределом

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы $\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ и $\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ и докажем, что они равны 1.

Пусть $x\in (0;\frac{\pi }{2})$. Отложим этот угол на единичной окружности ($R=1$).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке $(1;0)$. Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

$S_{\mathrm{△}OKA}<S_{sectOKA}<S_{\mathrm{△}OAL}$ (1)

(где $S_{sectOKA}$ — площадь сектора $OKA$)

$S_{\mathrm{△}OKA}=\frac{1}{2}\cdot |OA|\cdot |KH|=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x=\frac{\sin x}{2}$

$S_{sectOKA}=\frac{1}{2}{R}^{2}x=\frac{x}{2}$

$S_{\mathrm{△}OAL}=\frac{1}{2}\cdot |OA|\cdot |LA|=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}x}{2}$

(из $\mathrm{△}OAL$: $|LA|=\mathrm{t}\mathrm{g}x$)

Подставляя в (1), получим:

$\frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}x}{2}$

Так как при $x\to 0+:\sin x>0,x>0,\mathrm{t}\mathrm{g}x>0$:

$\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{g}x}<\frac{1}{x}<\frac{1}{\sin x}$

Умножаем на $\sin x$:

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

Перейдём к пределу:

$\underset{x\to 0+}{\lim }\cos x⩽\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sin x}{x}⩽1$

$1⩽\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sin x}{x}⩽1$

$\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

Найдём левый односторонний предел:

$\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\left[\begin{array}{c}u=-x\\ x=-u\\ u\to 0+\\ x\to 0-\end{array}\right]=\underset{u\to 0+}{\lim }\frac{\sin (-u)}{-u}=\underset{u\to 0+}{\lim }\frac{-\sin (u)}{-u}=\underset{u\to 0+}{\lim }\frac{\sin (u)}{u}=1$

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}=1$

Применение:

Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо.

Пример:

Найти $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{3x}$ Шаблон:Hider

Пример:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$

Второй замечательный предел

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$ или $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{1/x}=e$

Доказательство второго замечательного предела:

Докажем вначале теорему для случая последовательности $x_n={(1+\frac{1}{n})}^n;n2\mathbb{N}$

По формуле бинома Ньютона: $(a+b{)}^n=a^n+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2+...+\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\cdot b^n;n2\mathbb{N}$

Полагая $a=1;b=\frac{1}{n}$, получим:

${(1+\frac{1}{n})}^n=1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^3}+...+\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n}=$

$=1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\cdot (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n})+...+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n})\cdot ...\cdot (1-\frac{n-1}{n})$       (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число $\frac{1}{n}$ убывает, поэтому величины $(1-\frac{1}{n}),(1-\frac{2}{n}),...$ возрастают. Поэтому последовательность $\{x_n\}=\left\{{(1+\frac{1}{n})}^n\right\};n2\mathrm{N}$ — возрастающая, при этом

${(1+\frac{1}{n})}^n>2$      (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

${(1+\frac{1}{n})}^n<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+...+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}$

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

${(1+\frac{1}{n})}^n<1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}})$.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1\cdot (1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot (1-\frac{1}{2^n})<2$.

Поэтому ${(1+\frac{1}{n})}^n<1+2=3$      (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом $8n2\mathbb{N}$ выполняются неравенства (2) и (3):   $2<{(1+\frac{1}{n})}^n<3$.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность $x_n={(1+\frac{1}{n})}^n,n2\mathbb{N}$ монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e$ }}

${\displaystyle }$   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e;x2ℝ$. Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x\to +1$. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: $n⩽x<n+1$, где $n=[x]$ — это целая часть x.

Отсюда следует: $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}⩽\frac{1}{n}⟺1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}⩽1+\frac{1}{n}$, поэтому

${(1+\frac{1}{n+1})}^n<{(1+\frac{1}{x})}^x⩽{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$.

Если $x\to +1$, то $n\to 1$. Поэтому, согласно пределу $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e$, имеем:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n+1})}^n=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n+1})}=\frac{e}{1}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n})=e\cdot 1=e$.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$.

2. Пусть $x\to -\mathrm{\infty }$. Сделаем подстановку $-x=t$, тогда

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{t})}^{-t}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{t}{t-1}\right)}^t=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{t-1})}^t=$

$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{t-1})}^{t-1}\cdot \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{t-1})}^1=e\cdot 1=e$.

Из двух этих случаев вытекает, что $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$ для вещественного x.   

Следствия

1. $\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^x=e^k$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
5. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x\ln a}=1$ для $a>0$, $a\ne 1$
6. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{\alpha x}=1$

Доказательства следствий

1. $\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=\left[\begin{array}{c}u=1/x\\ x\to \mathrm{\infty }\end{array}\right]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^x=\left[\begin{array}{c}u=x/k\\ x=ku\\ u\to \mathrm{\infty }\\ x\to \mathrm{\infty }\end{array}\right]=\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{u})}^{ku}={\left(\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{u})}^u\right)}^k=e^k$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\ln (1+x)=\underset{x\to 0}{\lim }\ln ((1+x{)}^{\frac{1}{x}})=\ln e=1$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\left[\begin{array}{c}u=e^x-1\\ x=\ln (1+u)\\ x\to 0\\ u\to 0\end{array}\right]=\underset{u\to 0}{\lim }\frac{u}{\ln (1+u)}=1$
5. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x\ln a}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\ln (a^x)}-1}{x\ln a}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}=\left[\begin{array}{c}u=x\ln a\\ u\to 0\\ x\to 0\end{array}\right]=\underset{u\to 0}{\lim }\frac{e^u-1}{u}=1$
6. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{\alpha x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\alpha \ln (1+x)}-1}{\alpha x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\alpha \ln (1+x)}-1}{\alpha \ln (1+x)}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\alpha \ln (1+x)}-1}{\alpha \ln (1+x)}\cdot 1=\left[\begin{array}{c}u=\alpha \ln (1+x)\\ x\to 0\\ u\to 0\end{array}\right]=\underset{u\to 0}{\lim }\frac{e^u-1}{u}=1$

Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: $S*(1+p/12{)}^{12}$. При неприрывной капитазизации получим: $S*\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{p}{x})}^x=S*e^p$

Пример

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x+5}{x-3}\right)}^{2x}=|1^{\mathrm{\infty }}|=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x+5}{x-3}-1)}^{2x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{8}{x-3})}^{2x}=$$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}})}^{2x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}})}^{\frac{x-3}{8}\cdot \frac{8}{x-3}\cdot 2x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{\frac{16x}{x-3}}=e^{16}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(\ln (x+1)-\ln (x))=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(\ln \frac{x+1}{x})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(\ln (1+\frac{1}{x}))=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (1+\frac{1}{x}{)}^x=\ln e=1$ ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x