Теория музыки для математиков/Лад

Следующим краеугольным камнем музыкальной теории является лад. Ладом (mode, modus) называется последовательность (конечная) натуральных чисел, дающих в сумме 12. Пример: $M=(2,3,2,2,3)$ – один из ладов пентатоники. Такое немудреное определение нуждается в дальнейшей конкретизации, поскольку в таком виде будет неузнаваемо для музыкантов. Для начала интерпретация лада. Пусть M = ($m_i$), i=1,...,n, а $[s]$ – произвольный звук. Тогда мы можем построить такую тональную последовательность:

$S=(s_i)$, где $s_1=s$, $s_i=s_{i-1}+m_{i-1}$, $i=2,..,n$     (7)

Будем называть S – последовательностью, порожденной ладом M, а отдельные $s_i$ - ступенями этой последовательности (или самого лада). Ступени обычно обозначаются римскими цифрами: I, II, III, IV, .... Поскольку $s_i-s_{i-1}=m_{i-1}$, видно, что $m_i$ задают интервалы между соседними звуками последовательности.

Легко заметить, что частичная сумма $m_1+...+m_i$ лада M равна $s_i-s_1$, обозначим ее $S_i(M)$. (Очевидно $S_1(M)=0$.) По определению лада $S_{n+1}(M)=12$. Если мы воспользуемся (7) для нахождения n+1-го члена последовательности, то получим $s_{n+1}-s_1=S_{n+1}(M)=12$. А значит $[s_{n+1}]=[s_1]=[s]$, т.е. эти звуки в нашем тональном множестве совпадают. Таким образом, лад порождает «замкнутую» последовательность из n элементов.

Пример. Возьмем такой лад: M = (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1). (Позже мы назовем этот лад мажором.) Возьмем за начальный звук s=7 (G по нашим обозначениям). Рассмотрим последовательность, порождаемую мажором с началом в звуке G: (7=G, 7+2=9=A, 9+2=11=H, 11+1=12=0=C, 0+2=2=D, 2+2=4=E, 4+2=6=#F) = (G, A, H, C, D, E, #F)

Шагом лада $M=(m_i),i=1..n$ называется $\underset{i=1..n}{\max }(m_i)$. В основном нас будут интересовать лады с шагом 2 (такие лады содержат только единицы и двойки, соответственно – тоны и полутоны, и носят название диатонических), иногда – также с шагом 3.

Лемма 4

Существует ровно 21 семиступенных ладов с шагом 2.

Доказательство. Обобщим на случай лада с количеством элементов равным n. Обозначим через x – количество полутоновых элементов лада, а через y – количество тоновых. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Сумма же всех элементов составляет по определению лада 12: x + 2y = 12. Получаем такую систему уравнений:

$x+2y=12$

$x+y=n$     (4)

Решая систему относительно x и y, получаем

$x=2n-12$

$y=12-n$     (5)

При $n=7$ имеем $x=2$, $y=5$. Т.е. в семиступенном ладу с шагом 2 всегда два полутона и пять целых тонов. Те места в последовательности, где встречаются x полутонов, можно выбрать таким количеством способов: $C_n^x$ (на остальных местах стоят, соответственно, целые тоны). Подставляя найденный выше x, получаем: $C_n^2$ (Симметрично можно прийти к этому выводу отталкиваясь от y, а не от x). Для n=7 получаем 21, что и требовалось доказать.

Поскольку x и y в предыдущем доказательстве, очевидно, неотрицательны, получаем такое

Следствие. Для диатонического лада мощности n справедливо: $6\le n\le 12.$

Среди всех ладов нас будут больше всего интересовать семиступенные (т.е. с n=7). Возьмем теперь семиступенный лад с шагом 2, и пусть k – место, на котором в ладу стоит первая единица, а l – вторая (всего их по доказанному в точности две). Представим себе также, что лад зациклен, т.е. после 7-го элемента снова стоит первый. Кратчайшее расстояние между k и l назовем диаметром лада. (Иначе можно определить диаметр как разность между k и l по модулю 7.)

Лемма 5

Диаметр семиступенного лада с шагом 2 может принимать лишь значения 1, 2 или 3.

Доказательство. Если представить себе, что от k до l расстояние 4 или больше, то двигаясь от l к k по кругу получим расстояние 3 или меньше. Таким образом все 21 семиступенных лада с шагом 2 можно разбить на три класса по диаметру, в каждом классе по 7 ладов. Эти лады получаются друг из друга циклическим сдвигом.

Популярные лады

Наиболее интересны лады с диаметром 3 – они все имеют собственные имена. Для полноты картины приведем другие два класса в приложении. Лады диаметра 3:

Имя	1	2	3	4	5	6	7
ионийский	2	2	1	2	2	2	1
дорийский	2	1	2	2	2	1	2
фригийский	1	2	2	2	1	2	2
лидийский	2	2	2	1	2	2	1
миксолидийский	2	2	1	2	2	1	2
эолийский	2	1	2	2	1	2	2
локрийский	1	2	2	1	2	2	2

Наклонение

Важной харакетеристикой семиступенного ряда является его наклонение. Наклонением лада называется свойство, определяемое расстоянием между I и III ступенями (т.е. $m_1+m_2$). Лад, имеющий между I и III ступенью 2 тона (=4) называется мажорным, имеющий 1,5 тона (=3) – минорным. Примеры мажорных ладов: ионийский, лидийский, миксолидийский. Примеры минорных ладов: дорийский, фригийский, эолийский, локрийский. В западно-европейской музыке в свое время стала доминировать мажорно-минорная ладовая система, в которой особую роль стали играть лады мажор (major) – ионийский лад из таблицы выше и минор (minor) – эолийский лад. Кроме классических мажора и минора используются еще такие вариации:

Имя	1	2	3	4	5	6	7
мелодический минор (при движении вверх)	2	1	2	2	2	2	1
мелодический минор (при движении вниз)	2	1	2	2	1	2	2
гармонический минор	2	1	2	2	1	3	1
мелодический мажор	2	2	1	1	2	3	1
гармонический мажор	3	2	1	2	1	3	1

к содержанию