Основы алгебры/Уравнения, сводящиеся к квадратным

Большинство уравнений, сводящихся к [[../Квадратные уравнения|квадратным]], решаются при помощи замены переменной. Ниже приведены несколько примеров в действительных числах.

Уравнения, содержащие модуль

Пример О.1

$x^2+2|x|-3=0$. Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x{|}^2=x^2$, и сделать замену $|x|=t,t⩾0$.

Получим $t^2+2t-3=0$.

По формулам Виета, получим:

$t_1=1\to |x|=1\to x=\pm 1$

$t_2=-3\to |x|=-3\to$ решений нет

Ответ

$x_{1,2}=\pm 1$

Пример О.2

$x^2+4x+|x+2|+5=0$. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат:

$x^2+4x+4+|x+2|-4+5=0$

$(x+2{)}^2+|x+2|+1$

Замена: $|x+2|=t,t⩾0$

$t^2+t+1=0$

$D<0$ решений нет

Ответ

Решений нет

Биквадратное уравнение

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $a{x}^4+b{x}^2+c,a,b,c\in ℝ,a=0$

Такое уравнение сводится к квадратному заменой $x^2=t,t⩾0$.

Пример

$x^4-3x^2+1=0$

Сделаем замену $x^2=t,t⩾0$. Получим:

$t^2-3t+1=0$

$t_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>0\to x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ и

$t_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0\to x_{3,4}=\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

Ответ

$x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ и $x_{3,4}=\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

Симметрическое уравнение четвёртой степени

Симметрическим уравнением называют уравнение вида $\pm a{x}^4\pm b{x}^3+c{x}^2\pm bx\pm a=0,$ где $a,b,c\in ℝ,a\ne 0$.

Очевидно, $x=0$ не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на $x^2\ne 0$. Получим:

$\pm a{x}^2\pm bx+c\pm \frac{b}{x}\pm \frac{a}{x^2}=0$.

Перегруппируем слагаемые: $\pm a(x^2+\frac{1}{x^2})\pm b(x+\frac{1}{x})+c=0$.

Заметим, что $(x+\frac{1}{x}{)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$.

Сделаем замену: $t=x+\frac{1}{x}$. Тогда $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$.

Получим квадратное уравнение относительно t: $\pm a(t^2-2)\pm bt+c=0$.

Чтобы найти x, необходимо подставить найденные значения t в уравнение: $x^2-tx+1=0$.