Размер и размерность

Исходный вариант статьи (М. Г. Иванов, «Размер и размерность») опубликован в августовском номере 2006 года журнала «Потенциал».

Шаблон:Эпиграф

Чем отличаются друг от друга длина, площадь и объём?

Все мы знаем, что складывать между собой величины, измеренные в разных единицах нельзя. Не все, впрочем, понимают почему. Вроде бы и длина, и площадь, и объём измеряются в метрах, вот только в одном случае метр линейный, в другом квадратный, а в третьем кубический. А какая нам собственно разница?

Разница проявляется, если мы захотим перейти от метров к сантиметрам.

1 м = 100 см = 100¹ см¹,

1 кв. м. = 1 м² = 1 м × 1 м = 100 см × 100 см = 10 000 см × см = 100² см²,

1 куб. м. = 1 м³ = 1 м × 1 м × 1 м = 100 см × 100 см × 100 см = 1 000 000 см × см × см = 100³ см³.

Если мы сложим квадратные метры с линейными, то будет не ясно, в чём будет измеряться результат, а значит, будет не ясно на какое число умножать ответ при переходе от метров к сантиметрам. Значит, складывать длину и площадь нельзя.

Не обязательно изменять единицу длины именно в сто раз.

Файл:123D.jpg

При изменении единицы длины в 3 раза единица площади изменится в $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$ раз, а единица объёма в $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ раз. Таким образом, мы можем «разобрать» большой отрезок на $3^{1}$ отрезков в 3 раза меньшей длины, большой квадрат на $3^{2}$ квадратов в 3 раза меньших по линейным размерам, большой куб на $3^{3}$ кубиков в 3 раза меньших по линейным размерам. Во всех перечисленных случаях мы «разбираем» фигуру на набор равных между собой по размеру меньших фигурок, подобных большой фигуре. Степень, в которую возводится изменение линейного масштаба, называется размерностью. Таким образом, отрезок — одномерен, квадрат — двумерен, куб — трёхмерен.

Уже не длина, но ещё не площадь

Существуют ли фигуры, размерность которых не является целой, то есть может ли оказаться, что большая фигура разбирается на $n$ одинаковых фигурок поменьше, каждая их которых подобна исходной и отличается от неё по линейным размерам в $k$ раз, причём $n = k^{d}$ , где число $d$ не является целым? Оказывается, что такие фигуры существуют и называются самоподобными фракталами.

Например, следующую фигуру мы можем «разобрать» на 8 подобных, каждая из которых меньше по линейным размерам в 3 раза. Эта фигура называется «салфетка Серпинского».

Таким образом, $8 = 3^{d}$ , или (вспомнив определение логарифма) $d = \log_{3} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1, 89 \dots$

Как строится такая салфетка Серпинского? Квадрат разбивается на 9 маленьких квадратиков, после чего выкидывается средний квадратик, потом аналогичная процедура проделывается для каждого из 8 оставшихся квадратиков (в 3 раза меньших размеров), потом для каждого из 64 квадратиков (в 9 раз меньших размеров) и так далее (бесконечное число раз).

Файл:4serp.jpg

На каждом шаге площадь фигуры уменьшается на $\frac{1}{9}$ , то есть, если мы начали с единичного квадрата, площадь фигуры на шаге номер $N$ равна $S = {(\frac{8}{9})}^{N}$ . А площадь получающегося в результате фрактала равна $S = \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \dots \frac{8}{9} \dots = 0$ . Может быть, там вовсе нет никакой фигуры, раз площадь оказалась нулевой? Нет, мы можем доказать, что выкинуты оказались не все точки квадрата (докажите это в качестве упражнения, при этом удобно использовать троичную систему счисления, для записи координат точек квадрата). Для такой фигуры нетривиальное (конечное) значение будет иметь не длина периметра (бесконечная), и не площадь (нулевая), а некая мера («мера Минковского»), измеряющееся в единицах 1 см^d Если принять, что мера Минковского для квадрата $a \cdot a$ равна $a^{d}$ , то мера салфетки Серпинского оказывается равна 1 (на шаге номер $N$ мы имеем $8^{N}$ квадратиков со стороной ${(\frac{1}{3})}^{N}$ и мера $S_{M i n k . N} = 8^{N} {({(\frac{1}{3})}^{N})}^{d} = 1$ ).

По некоторому размышлению полезно обобщить приведённое выше определение самоподобного фрактала и позволить ему иметь целые размерности, например процедура, изображённая на следующей серии рисунков, приводит к построению фигуры с размерностью 1 (Почему?), но естественно считать эту фигуру фракталом (данный пример принадлежит Магди Мохамеду). (Попутно во фракталы попадают и обычные отрезки, квадраты, треугольники.)

Файл:Frac.jpg

В заключение приведём (в качестве иллюстрации и упражнения по вычислению размерности самоподобных фракталов) ещё три фигуры.

Треугольник Серпинского.

Файл:TregSerp.jpg

Ещё один вариант салфетки Серпинского.

Файл:Salf.jpg

Кривая Коха.

Файл:Krivayakoha.jpg

Строится кривая Коха так:

Файл:Postr.jpg