Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство

Пусть $f_1$ и $f_2$ — линейные функционалы на некотором линейном пространстве $E$. Суммой $f_1+f_2$ будем называть функционал $f$, определённый следующим образом:

$f(x)=f_1(x)+f_2(x),\mathrm{\forall }x\in E.$

Произведение функционала $f_1$ на число $\alpha$ обозначается $\alpha f_1$ и определяется как

$f(x)=\alpha f_1(x),\mathrm{\forall }x\in E.$

Пространство всех линейных функционалов, определённых на некотором топологическом линейном пространстве $E$, называется сопряжённым с пространством $E$ и обозначается $E^{*}$.

Для линейных непрерывных функционалов может быть введена норма:

$\Vert f\Vert =\underset{\Vert x\Vert \ne 0}{\sup }\frac{|f(x)|}{\Vert x\Vert }=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|f(x)|$.

Проверим выполнение аксиом нормы:

1. Неотрицательность следует непосредственно из определения.
3. Абсолютная однородность. $\Vert \alpha f\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|\alpha f(x)|=\alpha \cdot \underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|f(x)|=\alpha \Vert f\Vert$.
4. Аксиома треугольника.

Таким образом, в пространстве $E^{*}$, сопряженное нормированному пространству, можно ввести естественную нормой.

Топология $E^{*}$, соответствующая данной норме называется Сильной топологией.

Теорема 1. Сопряжённое пространство является полным.