Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства

Наличие метрики позволяет определить в абстрактном множестве понятие предела и операцию предельного перехода. Понятие предела последовательности абстрактного множества опирается на понятие предела числовой последовательности.

Предел последовательности в метрическом пространстве

Определение 1:  Последовательностью {x_n} в метрическом пространстве (M, ρ) называется отображение из множества натуральных чисел в множество M.

Определение 2:  Последовательность {x_n} элементов метрического пространства называется сходящейся к элементу $a\in M$, а сам элемент $a$ называется пределом последовательности, если

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,a)=0$,

это равносильно тому, что для любого вещественного числа $ϵ>0$ существует натуральное число $n_0$ такое, что для любого номера $n>n_0$ выполняется неравенство

$\rho (x_n,a)<ϵ$.

Свойство 1 (Единственность предела). Если у последовательности {x_n} существует предел, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что у данной последовательности существует несколько пределов:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$

и

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=b$.

Тогда, по определению предела последовательности:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,a)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,b)=0$.

Согласно неравенству треугольника и свойству неотрицательности метрики:

$0\le \rho (a,b)\le \rho (a,x_n)+\rho (x_n,b)$

Переходя к пределу при $n\to \mathrm{\infty }$, получим:

$0\le \rho (a,b)\le 0+0=0$.

А из равенства нулю метрики для двух элементов следует их равенство.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что сходящаяся последовательность {x_n} элементов множества M ограничена, покажем, что все её члены содержатся в некотором шаре B конечного радиуса. Пусть последовательность {x_n} сходится в пространстве M, тогда последовательность {ρ (x_n, a)} сходится на множестве действительных чисел:

$(\mathrm{\exists }M>0)(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})\rho (x_n,a)\le M$.

Следовательно,

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{x}_n\in B[a,M]$

Определение 3:  Последовательность {x_nk} называется подпоследовательностью последовательности {x_n}, если $\{n_k\}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел.

На основании определения 3 докажите самостоятельно свойство:

Свойство 3. Если последовательность {x_n} сходится к элементу a, то и любая её подпоследовательность сходится к тому же самому элементу.

Свойство 4 (Непрерывность метрики).: Пусть заданы две последовательности

$\{x_n\}$, $\{y_n\}$,

причём

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=b$,

тогда

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)=\rho (a,b)$.

Доказательство.

Согласно неравенству четырёхугольника, для каждого номера n 

$|\rho (x_n,y_n)-\rho (a,b)|\le \rho (x_n,a)+\rho (y_n,b)$.

Переходя к пределу в правой и левой частях неравенства, и учитывая свойство неотрицательности метрики, получаем:

$0\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\rho (x_n,y_n)-\rho (a,b)|\le 0+0$.

Отсюда

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\rho (x_n,y_n)-\rho (a,b))=0$.

Предел разности равен разности пределов, поэтому

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)=\rho (a,b)$

Что и требовалось доказать.

Понятие фундаментальной последовательности в метрическом пространстве

Определение 4:  Последовательность {x_n} из M называется фундаментальной, если для любого вещественного числа $ϵ>0$ существует такое натуральное число $n_0$, что для всех номеров

$n,m>n_0$

выполняется неравенство

$\rho (x_n,x_m)<ϵ$.

Рассмотрим некоторые свойства фундаментальных последовательностей.

Свойство А. Если последовательность сходится, то она является фундаментальной.

Доказательство.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,a)=0$.

Воспользуясь определением предела, запишем это как

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n>n_0)\rho (x_n,a)<\frac{ϵ}{2}$.

Следовательно, при любых n>n₀ и m>n₀

$\rho (x_n,x_m)\le \rho (x_n,a)+\rho (x_m,a)<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$,

что и требовалось доказать.

Замечание: Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Свойство Б. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Доказательство.

Чтобы доказать, что {x_n} ограничена, нужно доказать, что все её члены содержаться в некотором шаре B конечного радиуса r. Пусть

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n>n_0)(\mathrm{\forall }m>n_0)\rho (x_n,x_m)<ϵ$.

Положим $ϵ=1$(найдя для него соответствующее n₀), m= n₀+1. Тогда

$\mathrm{\forall }n>n_0\rho (x_n,x_{n_0+1})<1$.

Определим число $r$ следующим образом:

$r=\max \{1,\rho (x_1,x_{n_0+1}),\rho (x_2,x_{n_0+1}),...,\rho (x_{n_0},x_{n_0+1})\}$,

тогда для любого номера n будет иметь место

$x_n\in B[x_{n_0+1},r]$,

свойство доказано.

Свойство В. Если последовательность фундаментальна, то и любая её подпоследовательность фундаментальна. (Доказать самостоятельно).

Свойство Г. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности {x_n} сходится к элементу a, то к элементу a сходится и вся последовательность.

Доказательство.