Просмотр кода страницы Интегральное исчисление/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций

<center>←&nbsp;[[Интегральное исчисление/Методы интегрирования|Методы интегрирования]]&nbsp;|&nbsp;'''Интегрирование полиномиальных и рациональных функций'''</center>
----


Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.

__TOC__

== Интегрирование многочленов ==
'''[[w:Многочлен|Многочленом]]''', или '''полиномом''', от одной переменной <math>x</math> называется выражение вида:
{{Формула|<math>P_n(x)=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+\ldots+a_n\cdot x^n=\sum_{k=0}^n a_k\cdot x^k,</math>|6.1}}
где <math>a_i,\;i=0,\;1,\;\ldots,\;n</math> — некоторые [[w:Вещественное число|вещественные]] или [[w:Комплексное число|комплексные]] постоянные. Число <math>n</math> — максимальная из степеней его [[w:Многочлен#Связанные определения|одночленов]] — называется '''степенью многочлена'''.

Вычисление интеграла от многочлена <math>P_n(x)</math> основано на свойстве линейности интеграла:
{{Формула|<math>\int P_n(x)\,dx=\int(a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n)\,dx=a_0\int dx+a_1\int x\,dx+\ldots+a_n\int x^n\,dx=</math>|6.2}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=a_0 x+a_1\frac{x^2}{2}+\ldots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{k=0}^n\frac{a_k x^{k+1}}{k+1}.</math>}}
'''Пример&nbsp;6.1.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int(x^3+5x^2-3x+7)\,dx.</math>|6.3}}
'''Решение.''' Используя свойства линейности интеграла, получим:
{{Формула|<math>\int(x^3+5x^2-3x+7)\,dx=\int x^3\,dx+5\int x^2\,dx-3\int x\,dx+7\int dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+7x+C.</math>|6.4}}
{{Якорь|Пример6.2}}'''Пример&nbsp;6.2.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int x^2(x^2+1)^4\,dx.</math>|6.5}}
'''Решение.''' Раскроем скобки в подынтегральном выражении:
{{Формула|<math>\int x^2(x^2+1)^4\,dx=\int(x^{10}+4x^8+6x^6+4x^4+x^2)\,dx.</math>|6.6}}
Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:
{{Формула|<math>\int x^2(x^2+1)^4\,dx=\frac{1}{11}x^{11}+\frac{4}{9}x^9+\frac{6}{7}x^7+\frac{4}{5}x^5+\frac{1}{3}x^3+C.</math>|6.7}}
'''Пример&nbsp;6.3.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int x^3(x^2+1)^4\,dx.</math>|6.8}}
'''Решение.''' Здесь можно было поступить также, как и в '''[[#Пример6.2|примере&nbsp;6.2]]''', но проще сделать замену <math>x^2+1=t</math>, тогда <math>x\,dx=\frac{1}{2}\,dt</math> и выражение <math>x^3(x^2+1)^4\,dx</math> преобразуется к виду <math>\frac{1}{2}t^4(t-1)\,dt</math>. Получаем:
{{Формула|<math>\int x^3(x^2+1)^4\,dx=\frac{1}{2}\int t^4(t-1)\,dt.</math>|6.9}}
Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:
{{Формула|<math>\frac{1}{2}\int t^4(t-1)\,dt=\frac{1}{2}\int t^5\,dt-\frac{1}{2}\int t^4\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^6}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^5}{5}+C.</math>|6.10}}
Возвращаясь к переменной <math>x</math>, у нас получается:
{{Формула|<math>\int x^3(x^2+1)^4\,dx=\frac{1}{12}(x^2+1)^6-\frac{1}{10}(x^2+1)^5+C.</math>|6.11}}

== Интегрирование рациональных функций ==
=== Вводные замечания ===
'''[[w:Рациональная функция|Рациональной функцией]]''' от переменной <math>x</math> называется отношение двух полиномов:
{{Формула|<math>R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{p_0+p_1\cdot x+p_2\cdot x^2+\ldots+p_n\cdot x^n}{q_0+q_1\cdot x+q_2\cdot x^2+\ldots+q_m\cdot x^m}=\frac{\displaystyle{\sum_{k=0}^n p_k\cdot x^k}}{\displaystyle{\sum_{k=0}^m q_k\cdot x^k}},</math>|6.12}}
где предполагается, что <math>p_n\neq 0,\;q_m\neq 0;\;n,\;m\in\N</math>. Многочлен <math>P_n(x)</math> называется '''числителем''' дроби, а <math>Q_m(x)</math> — '''знаменателем'''. Можно считать, что многочлены <math>P_n(x)</math> и <math>Q_m(x)</math> [[w:Взаимно простые числа#Обобщения|взаимно просты]], в противном случае их можно сократить на их [[w:Наибольший общий делитель#Вариации и обобщения|наибольший общий делитель]] (НОД).

Из теории рациональных функций известно, что если <math>n\geqslant m</math>, то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени <math>n-m</math> и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей <math>m</math>:
{{Якорь|Формула6.13}}{{Формула|<math>R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=S_{n-m}(x)+\frac{T_k(x)}{Q_m(x)},\quad k<m.</math>|6.13}}
Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения [[w:Неприводимый многочлен|неприводимых многочленов]]:
{{Формула|<math>Q_m(x)=A(x-x_1)^{s_1}(x-x_2)^{s_2}\cdot\ldots\cdot(x-x_k)^{s_k}=A\prod_{i=1}^m(x-x_i),</math>|6.14}}
где <math>x_i\in\Complex</math> — [[w:Корень многочлена|корень многочлена]] <math>s_i</math>-ой степени кратности (<math>i=0,\;1,\;\ldots,\;k</math>); <math>s_1+s_2+\ldots+s_k=m;\;k\leqslant m</math>;

<math>A</math> — коэффициент при старшей степени <math>m</math>.

Поэтому в случае, если <math>n<m</math>, дробь <math>R(x)</math> на множестве комплексных чисел можно представить в виде:
{{Формула|<math>R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+\frac{A_2}{(x-x_1)^2}+\ldots+\frac{A_{s_1}}{(x-x_1)^{s_1}}+</math>|6.15}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{B_1}{(x-x_2)}+\frac{B_2}{(x-x_2)^2}+\ldots+\frac{B_{s_2}}{(x-x_2)^{s_2}}+\ldots+</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{D_1}{(x-x_k)}+\frac{D_2}{(x-x_k)^2}+\ldots+\frac{D_{s_k}}{(x-x_k)^{s_k}},</math>}}
где <math>A_1,\;A_2,\;\ldots,\;A_{s_1},\;B_1,\;B_2,\;\ldots,\;B_{s_2},\;\ldots,\;D_1,\;D_2,\;\ldots,\;D_{s_k}</math> — некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, [[w:Метод неопределённых коэффициентов#Разложение дроби на простейшие|методом неопределённых коэффициентов]] или из других соображений.

В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве <math>\R</math> разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:
{{Формула|<math>Q_m(x)=A(x-x_1)^{u_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_j)^{u_j}\cdot(x+p_1x+q_1)^{v_1}\cdot(x^2+p_2x+q_2)^{v_2}\cdot\ldots\cdot(x^2+p_kx+q_k)^{v_k},</math>|6.16}}
где <math>x_i,\;i=1,\;2,\;\ldots,\;j</math> — действительные корни; <math>u_1+\ldots+u_j+v_1+\ldots+v_k=m</math>. Квадратные трёхчлены <math>x^2+p_ix+q_i,\;p_i,\;q_i\in\R</math> не имеют действительных корней.

Если рассматривать разложение дроби на простейшие на <math>\R</math>, то мы придём к следующей формуле:
{{Якорь|Формула6.17}}{{Формула|<math>R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+\frac{A_2}{(x-x_1)^2}+\ldots+\frac{A_{s_1}}{(x-x_1)^{u_1}}+\ldots+</math>|6.17}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{D_1}{(x-x_j)}+\frac{D_2}{(x-x_j)^2}+\ldots+\frac{D_{u_j}}{(x-x_j)^{u_j}}+</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{K_1x+L_1}{x^2+p_1x+q_1}+\frac{K_2x+L_2}{(x^2+p_1x+q_1)^2}+\ldots+\frac{K_{v_1}x+L_{v_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{v_1}}+\ldots+</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{M_1x+N_1}{x^2+p_kx+q_k}+\frac{M_2x+N_2}{(x^2+p_kx+q_k)^2}+\ldots+\frac{M_{v_k}x+N_{v_k}}{(x^2+p_kx+q_k)^{v_k}},</math>}}
где все коэффициенты <math>A,\;\ldots,\;D,\;K,\;L,\;\ldots,\;M,\;N,\;p,\;q</math> — действительные числа.

Рассмотрим пример на разложение дроби.

'''Пример&nbsp;6.4'''&nbsp;Разложить на простые дроби:
{{Якорь|Формула6.18}}{{Формула|<math>\frac{x^6-6x^4+24x^3-42x^2+79x-57}{x^4+3x^3-x^2+9x-12}.</math>|6.18}}
'''Решение.''' Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться [[w:Метод Феррари|методом Феррари]]), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:
{{Формула|<math>x^4+3x^3-x^2+9x-12=(x-3)(x+4)(x^2+3),</math>|6.19}}
следовательно дробь ([[#Формула6.18|6.18]]) согласно ([[#Формула6.13|6.13]]) и ([[#Формула6.17|6.17]]) можно представить в виде:
{{Якорь|Формула6.20}}{{Формула|<math>\frac{x^6-6x^4+24x^3-42x^2+79x-57}{x^4+3x^3-x^2+9x-12}=Ax^2+Bx+C+\frac{D}{x-3}+\frac{E}{x+4}+\frac{Fx+G}{x^2+3}.</math>|6.20}}
Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов <math>A,\;B,\;\ldots,\;G</math>:
{{Формула|<math>\begin{array}{r}x^6: \\ x^5: \\ x^4: \\ x^3: \\ x^2: \\ x^1: \\ x^0: \end{array}\;\;
\left\{\begin{array}{l}A=1; \\
3A+B=0; \\
-A+3B+C=-6; \\
9A-B+3C+D+E+F=24; \\
-12A+9B-C+4D-E+3F+G=-42; \\
-12B+9C+3D+3E-4F+3G=79; \\
-12C+12D-3E-4G=-57;\end{array}\right.</math>|6.21}}
Решая систему линейных уравнений, найдём:
{{Формула|<math>A=1,\;B=-3,\;C=4,\;D=-\frac{1}{20},\;E=\frac{21}{65},\;F=-\frac{13}{76},\;G=\frac{147}{76}.</math>|6.22}}
Подставим найденные коэффициенты в формулу ([[#Формула6.20|6.20]]):
{{Формула|<math>\frac{x^6-6x^4+24x^3-42x^2+79x-57}{x^4+3x^3-x^2+9x-12}=x^2-3x+4-\frac{1}{20}\cdot\frac{1}{x-3}+\frac{21}{65}\cdot\frac{1}{x+4}-\frac{1}{76}\cdot\frac{13x-147}{x^2+3}.</math>|6.23}}
'''Пример&nbsp;6.5'''&nbsp;Разложить на простые дроби:
{{Якорь|Формула6.24}}{{Формула|<math>\frac{1}{x^n+1}.</math>|6.24}}
'''Решение.''' Случай, когда <math>n=1</math> или <math>n=2</math>, нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел <math>\R</math>. Рассмотрим случай, когда <math>n\geqslant 3</math>.

Найдём корни уравнения <math>x^n+1=0</math>, переписав в виде <math>x=\sqrt[n]{-1}</math> и воспользовавшись [[w:Формула Муавра|формулой Муавра]] для извлечения корня:
{{Формула|<math>x_l=\cos\frac{\pi+2\pi l}{n}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{n}=a_l+ib_l,\quad l=0,\;1\;\ldots,\;n-1,</math>|6.25}}
где <math>a_l=\cos\frac{\pi+2\pi l}{n}</math> и <math>b_l=\sin\frac{\pi+2\pi l}{n}</math> — действительные числа.

На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня <math>a+ib</math> имеется и его сопряжённый <math>a-ib</math>, значит в разложении многочлена <math>x^n+1</math> на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:
{{Формула|<math>x^2-2a_lx+a_l^2+b_l^2</math>|6.26}}
(доказательство этого факта см. в Дополнении).

Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что
{{Формула|<math>a_l^2+b_l^2=\left(\sin\frac{\pi+2\pi l}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{\pi+2\pi l}{n}\right)^2=1</math>|6.27}}
Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае <math>x=-1</math>), следовательно:
{{Формула|<math>x^n+1=\begin{cases}\displaystyle{\prod_{l=0}^{n-1}(x-x_l)=\prod_{l=0}^k(x^2-2a_lx+1),} & n=2k; \\
\displaystyle{\prod_{l=0}^{n-1}(x-x_l)=(x+1)\prod_{l=0}^k(x^2+2a_lx+1),} & n=2k+1.\end{cases}</math>|6.28}}
Значит выражение ([[#Формула6.24|6.24]]) имеет следующее разложение на простые дроби:
{{Якорь|Формула6.29}}{{Формула|<math>\frac{1}{x^n+1}=\begin{cases}\displaystyle{\sum_{l=0}^{k-1}\frac{A_lx+B_l}{x^2-2a_lx+1},} & n=2k; \\
\displaystyle{\frac{A_n}{x+1}+\sum_{l=0}^{k-1}\frac{A_lx+B_l}{x^2-2a_lx+1},} & n=2k+1,\end{cases}</math>|6.29}}
где
{{Формула|<math>a_l=\cos\left(\dfrac{\pi+2\pi l}{n}\right).</math>}}
Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти <math>A_l</math>, <math>B_l</math> и <math>A_n</math>.

Например, для <math>n=3</math> по формуле ([[#Формула6.29|6.29]]) в общем виде получаем:
{{Формула|<math>\frac{1}{x^3+1}=\frac{C}{x+1}+\frac{Ax+B}{x^2-x+1}.</math>|6.30}}
После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:
{{Формула|<math>\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{3}\frac{x-2}{x^2-x+1}.</math>|6.31}}
Для <math>n=4</math>:
{{Формула|<math>\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}</math>|6.32}}
или после соответствующих манипуляций:
{{Формула|<math>\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}x+2}{x^2+\sqrt{2}x+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}x-2}{x^2-\sqrt{2}x+1}.</math>|6.33}}

Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.

'''Пример&nbsp;6.6'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{2x^3+6x^2+7x+3}{(x^4+4x^3+7x^2+6x+2)^2}\,dx.</math>|6.34}}
'''Решение.''' Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на <math>\frac{1}{2}</math>), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:
{{Формула|<math>\int\frac{2x^3+6x^2+7x+3}{(x^4+4x^3+7x^2+6x+2)^2}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{d(x^4+4x^3+7x^2+6x+2)}{(x^4+4x^3+7x^2+6x+2)^2}=</math>|6.35}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=-\frac{1}{2}\frac{1}{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+C.</math>}}

'''Пример&nbsp;6.7'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{x^3-6x^2+12x-8}{x-2}\,dx.</math>|6.36}}
'''Решение.''' Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:
{{Формула|<math>\int\frac{x^3-6x^2+12x-8}{x-2}\,dx=\int\frac{(x-2)^3}{x-2},\;dx.</math>|6.37}}
Сократим дробь:
{{Формула|<math>\int\frac{(x-2)^3}{x-2},\;dx=\int(x-2)^2\,dx.</math>|6.38}}
Теперь вычислить интеграл не составит труда:
{{Формула|<math>\int\frac{x^3-6x^2+12x-8}{x-2}\,dx=\int(x-2)^2\,dx=\int(x-2)^2\,d(x-2)=\frac{(x-2)^3}{3}+C.</math>|6.39}}

=== Интегрирование простых дробей ===
Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:
{{Формула|<math>\frac{A}{(x-a)^n}</math> и <math>\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m},\quad n,\;m\in\N,</math>|6.40}}
а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «[[#Интегрирование многочленов|Интегрирование многочленов]]» этой главы).

Возьмём интеграл от дроби первого типа:
{{Якорь|Формула6.41}}{{Формула|<math>\int\frac{A}{(x-a)^n}\,dx=A\int\frac{d(x-a)}{(x-a)^n}=\begin{cases}-\dfrac{A}{n-1}\dfrac{1}{(x-a)^{n-1}}+C, & n\neq1; \\
A\ln|x-a|+C, & n=1.\end{cases}</math>|6.41}}

Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:
{{Якорь|Формула6.42}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{ax^2+bx+c},</math>|6.42}}
где <math>a,\;b,\;c\in\R</math>; <math>a\neq0</math>, иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.

Постоянную <math>a</math> можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{x^2+px+q},</math>|6.43}}
где <math>p=\frac{b}{a},\;q=\frac{c}{a}</math>.

Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:
{{Якорь|Формула6.44}}{{Формула|<math>\frac{1}{a}\int\frac{dx}{x^2+px+q}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{x^2+2\cdot\dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\dfrac{p^2}{4}}.</math>|6.44}}
Исследуем выражение в зависимости от знака <math>q-\frac{p^2}{4}</math>. Если <math>q-\frac{p^2}{4}>0</math>, то можно написать, что <math>q-\frac{p^2}{4}=s^2</math> и интеграл ([[#Формула6.44|6.44]]) запишется в виде:
{{Формула|<math>\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\dfrac{p^2}{4}}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+s^2}=\frac{1}{a}\int\frac{d\left(x+\dfrac{p}{2}\right)}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+s^2}=\frac{1}{a}\frac{1}{s}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x+\dfrac{p}{2}}{s}+C</math>|6.45}}
или возвращаясь к <math>a,\;b,\;c</math>:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.</math>|6.46}}
Допустим теперь, что <math>q-\frac{p^2}{4}<0</math>, тогда <math>q-\frac{p^2}{4}=-s^2</math>:
{{Формула|<math>\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\dfrac{p^2}{4}}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2-s^2}=\frac{1}{a}\int\frac{d\left(x+\dfrac{p}{2}\right)}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2-s^2}=</math>|6.47}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{a}\frac{1}{2s}\ln\left|\frac{x+\dfrac{p}{2}-s}{x+\dfrac{p}{2}+s}\right|+C=\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C.</math>}}
Если же <math>q-\frac{p^2}{4}=0</math>, то
{{Формула|<math>\frac{1}{a}\int\frac{dx}{x^2+px+q}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2}=\frac{1}{a}\int\frac{d\left(x+\dfrac{p}{2}\right)}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2}=-\frac{1}{a}\frac{1}{x+\dfrac{p}{2}}+C=-\frac{2}{2ax+b}+C.</math>|6.48}}
Подведём итог:
{{Якорь|Формула6.49}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\,\mathrm{arctg}\,\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C, & b^2-4ac<0; \\
\dfrac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\dfrac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C, & b^2-4ac>0; \\
-\dfrac{2}{2ax+b}+C, & b^2-4ac=0.\end{cases}</math>|6.49}}
Хочется отметить, что в случае <math>b^2-4ac>0</math>, дробь ([[#Формула6.42|6.42]]) не считается простой <nowiki>[</nowiki>так как может быть разложена на дроби вида ([[#Формула6.41|6.41]])<nowiki>]</nowiki>, но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.

'''Пример&nbsp;6.8.'''&nbsp;Решить интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^2-8x+25}.</math>|6.50}}
'''Решение.''' Выделим в знаменателе полный квадрат:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^2-8x+25}=\int\frac{dx}{x^2-2\cdot 4\cdot x+16+25-16}=\int\frac{dx}{(x-4)^2+9}.</math>|6.51}}
Теперь можно взять интеграл:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(x-4)^2+9}=\int\frac{d(x-4)}{(x-4)^2+3^2}=\frac{1}{3}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-4}{3}+C.</math>|6.52}}
Рассмотрим теперь интеграл вида:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n},</math>|6.53}}
где <math>n>1</math>.

Как и в случае интеграла ([[#Формула6.42|6.42]]) выделим в знаменателе полный квадрат:
{{Якорь|Формула6.53}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}=\int\frac{dx}{a^n\left(x^2+2\cdot\dfrac{b}{2a}\cdot x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right)^n}=</math>|6.53}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{a^n}\int\frac{dx}{\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)^n}.</math>}}
Будем считать, что <math>\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}>0</math>, иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену <math>t=x+\frac{b}{2a}</math> и обозначим <math>\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}=s^2</math>, тогда выражение ([[#Формула6.53|6.53]]) преобразуется к виду:
{{Якорь|Формула6.54}}{{Формула|<math>\frac{1}{a^n}\int\frac{dx}{\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)^n}=\frac{1}{a^n}\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^n}.</math>|6.54}}
В '''[[Интегральное исчисление/Методы интегрирования#Пример5.9|примере&nbsp;5.9]]''' нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от <math>n</math>. Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении ([[#Формула6.54|6.54]]) следующим образом:
{{Якорь|Формула6.55}}{{Формула|<math>\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^n}=\frac{1}{s^2}\int\frac{t^2+s^2-t^2}{(t^2+s^2)^n}\,dt=\frac{1}{s^2}\int\frac{t^2+s^2}{(t^2+s^2)^n}\,dt-\frac{1}{s^2}\int\frac{t^2\,dt}{(t^2+s^2)^n}.</math>|6.55}}
В первом слагаемом после сокращения на <math>t^2+s^2</math> получается исходный интеграл только степени <math>n-1</math>; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:
{{Формула|<math>\int\frac{t^2\,dt}{(t^2+s^2)^n}\left[\begin{array}{ll}u=t & du=dt \\ dv=\dfrac{t\,dt}{(t^2+s^2)^n} & \displaystyle{v=\int\frac{t\,dt}{(t^2+s^2)^n}=\dfrac{1}{2}\int\frac{d(t^2+s^2)}{(t^2+s^2)^n}=} \\ & \displaystyle{=-\frac{1}{2}\frac{1}{n-1}\frac{1}{(t^2+s^2)^{n-1}}} \end{array}\right]=</math>|6.56}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=-\frac{1}{2}\frac{1}{n-1}\frac{t}{(t^2+s^2)^{n-1}}+\frac{1}{2}\frac{1}{n-1}\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^{n-1}}.</math>}}
Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в ([[#Формула6.55|6.55]]):
{{Формула|<math>\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^n}=\frac{1}{s^2}\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^{n-1}}+\frac{1}{2s^2}\frac{1}{n-1}\frac{t}{(t^2+s^2)^{n-1}}-\frac{1}{2s^2}\frac{1}{n-1}\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^{n-1}}.</math>|6.57}}
Приведём подобные:
{{Якорь|Формула6.58}}{{Формула|<math>\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^n}=\frac{1}{2s^2(n-1)}\frac{t}{(t^2+s^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2s^2(n-1)}\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^{n-1}}.</math>|6.58}}
Вернёмся снова к переменной <math>x</math> и коэффициентам <math>a,\;b,\;c</math>:
{{Формула|<math>\frac{1}{a^n}\int\frac{dt}{(t^2+s^2)^n}=\frac{1}{2\left(\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)(n-1)a^n}\frac{x+\dfrac{b}{2a}}{\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)^{n-1}}+</math>|6.59}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2n-3}{2\left(\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)(n-1)a^n}\int\frac{dx}{\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)^{n-1}}.</math>}}
Проведя упрощения, окончательно получим:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}=\frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{2a(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}</math>|6.60}}
Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:
{{Якорь|Формула6.61}}{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx,</math>|6.61}}
где знаменатель не приводим на <math>\R</math>.

Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:
{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx=\int\frac{Mx+N}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\dfrac{p^2}{4}}\,dx.</math>|6.62}}
Сделаем подстановку <math>t=x+\frac{p}{2}</math>. Так как <math>q-\frac{p^2}{4}>0</math>, введём обозначение <math>q-\frac{p^2}{4}=a^2</math>. Получаем:
{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\dfrac{p^2}{4}}\,dx=\int\frac{Mt+N-\dfrac{Mp}{2}}{t^2+a^2}\,dt.</math>|6.63}}
Разобьём сумму на два интеграла:
{{Якорь|Формула6.64}}{{Формула|<math>\int\frac{Mt+N-\dfrac{Mp}{2}}{t^2+a^2}\,dt=M\int\frac{t\,dt}{t^2+a^2}+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{t^2+a^2}.</math>|6.64}}
Вычислим первый интеграл:
{{Формула|<math>M\int\frac{t\,dt}{t^2+a^2}=\frac{M}{2}\int\frac{d(t^2+a^2)}{t^2+a^2}=\frac{M}{2}\ln|t^2+a^2|+C.</math>|6.65}}
Второй интеграл табличный:
{{Формула|<math>\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac{1}{a}\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\,\mathrm{arctg}\,\frac{t}{a}+C.</math>|6.66}}
Подставляя два последних выражения в ([[#Формула6.64|6.64]]) и возвращаясь к переменной <math>x</math> и постоянным <math>p</math> и <math>q</math>, для интеграла ([[#Формула6.61|6.61]]) будем иметь следующее общее решение:
{{Якорь|Формула6.67}}{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx=\frac{M}{2}\ln(x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C.</math>|6.67}}
Рассмотрим интеграл вида:
{{Якорь|Формула6.68}}{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m}\,dx,</math>|6.68}}
где <math>m>1</math>.

Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку <math>t=x+\frac{p}{2}</math>, как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:
{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m}\,dx=M\int\frac{t\,dt}{(t^2+a^2)^m}+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^m}.</math>|6.69}}
Для первого интеграла получаем:
{{Формула|<math>M\int\frac{t\,dt}{(t^2+a^2)^m}=\frac{M}{2}\int\frac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^m}=-\frac{M}{2}\frac{1}{m-1}\frac{1}{(t^2+a^2)^{m-1}}+C.</math>|6.70}}
Ко второму интегралу можно применить формулу приведения ([[#Формула6.58|6.58]]):
{{Формула|<math>\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^m}=\frac{1}{2a^2(m-1)}\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\frac{t}{(t^2+a^2)^{m-1}}+\frac{2m-3}{2a^2(m-1)}\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^{m-1}}.</math>|6.71}}
После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:
{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m}\,dx=\frac{(2N-Mp)x+Np-2Mq}{(m-1)(4q-p^2)(x^2+px+q)^{m-1}}+\frac{(2m-3)(2N-Mp)}{(m-1)(4q-p^2)}\int\frac{dx}{(x^2+px+q)^{m-1}}.</math>|6.72}}
'''Пример&nbsp;6.9.'''&nbsp;Решить интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{3x-1}{(x^2-x+1)^2}\,dx.</math>|6.73}}
'''Решение.''' Выделим в знаменателе полный квадрат:
{{Формула|<math>\int\frac{3x-1}{(x^2-x+1)^2}\,dx=\int\frac{(3x-1)\,dx}{\left(x^2-2\cdot x\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right)^2}=\int\frac{(3x-1)\,dx}{\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}.</math>|6.74}}
Применим подстановку <math>t=x-\frac{1}{2}</math>:
{{Якорь|Формула6.75}}{{Формула|<math>\int\frac{(3x-1)\,dx}{\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=\int\frac{3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)-1}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}\,dt=3\int\frac{t\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}+\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}.</math>|6.75}}
Вычислим интеграл в первом слагаемом:
{{Формула|<math>3\int\frac{t\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=\frac{3}{2}\int\frac{d\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}+C.</math>|6.76}}
Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:
{{Формула|<math>\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\int\frac{t^2+\dfrac{3}{4}-t^2}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}\,dt=\frac{2}{3}\int\frac{t^2+\dfrac{3}{4}}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}\,dt-\frac{2}{3}\int\frac{t^2\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=</math>|6.77}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{2}{3}\int\frac{dt}{t^2+\dfrac{3}{4}}-\frac{2}{3}\int\frac{t^2\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}.</math>}}
Первый интеграл в сумме является табличным:
{{Формула|<math>\frac{2}{3}\int\frac{dt}{t^2+\dfrac{3}{4}}=\frac{2}{3}\int\frac{dt}{t^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{arctg}\,\frac{t}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}+C=\frac{4\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2\sqrt{3}}{3}t+C.</math>|6.78}}
Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:
{{Формула|<math>-\frac{2}{3}\int\frac{t^2\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}\left[\begin{array}{ll}u=t & du=dt \\ \displaystyle{dv=-\frac{2}{3}\frac{t\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}} & \displaystyle{v=-\frac{2}{3}\int\frac{t\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=-\frac{1}{3}\int\frac{d\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=} \\ & =\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}} \end{array}\right]=</math>|6.79}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{3}\frac{t}{t^2+\dfrac{3}{4}}-\frac{1}{3}\int\frac{dt}{t^2+\dfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}\frac{t}{t^2+\dfrac{3}{4}}-\frac{2\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2\sqrt{3}}{3}t+C.</math>}}
Подставим найденные интегралы в ([[#Формула6.75|6.75]]):
{{Формула|<math>3\int\frac{t\,dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}+\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\left(t^2+\dfrac{3}{4}\right)^2}=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}+\frac{4\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2\sqrt{3}}{3}t+\frac{1}{3}\frac{t}{t^2+\dfrac{3}{4}}-\frac{2\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2\sqrt{3}}{3}t+C=</math>|6.80}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{6}\frac{2t-9}{t^2+\dfrac{3}{4}}+\frac{2\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{2\sqrt{3}}{3}t+C.</math>}}
Вернёмся к исходной переменной:
{{Формула|<math>\int\frac{3x-1}{(x^2-x+1)^2}\,dx=\frac{1}{6}\frac{2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-9}{x^2-x+1}+\frac{2\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right)+C=</math>|6.81}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{3}\frac{x-5}{x^2-x+1}+\frac{2\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{3}}{3}\right)+C.</math>}}
Как мы видели, при интегрировании дробей <math>\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m}</math> исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться [[Интегральное исчисление/Методы интегрирования#Заведение под дифференциал|методом заведения под дифференциал]].

Итак, преобразуем интеграл ([[#Формула6.68|6.68]]):
{{Якорь|Формула6.82}}{{Формула|<math>\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m}\,dx=\int\frac{\dfrac{M}{2}(2x+p)+N-\dfrac{Mp}{2}}{(x^2+px+q)^m}\,dx=</math>|6.82}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{M}{2}\int\frac{d(x^2+px+q)}{(x^2+px+q)^m}+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dx}{(x^2+px+q)^m}.</math>}}
Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя <math>m</math> может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла ([[#Формула6.53|6.53]]). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда <math>m</math> — рациональное число, главное чтобы интеграл <math>\int\frac{dx}{(x^2+px+q)^m}</math> при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.

'''Пример&nbsp;6.10.'''&nbsp;Решить интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{5x-3}{x^2-2x+3}\,dx.</math>|6.83}}
'''Решение.''' Преобразуем интеграл к виду ([[#Формула6.82|6.82]]):
{{Формула|<math>\int\frac{5x-3}{x^2-2x+3}\,dx=\int\frac{\dfrac{5}{2}(2x-2)-3+5}{x^2-2x+3}\,dx=\frac{5}{2}\int\frac{(2x-2)\,dx}{x^2-2x+3}+2\int\frac{dx}{x^2-2x+3}.</math>|6.84}}
Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:
{{Формула|<math>\frac{5}{2}\int\frac{(2x-2)\,dx}{x^2-2x+3}=\frac{5}{2}\int\frac{d(x^2-2x+3)}{x^2-2x+3}=\frac{5}{2}\ln(x^2-2x+3)+C.</math>|6.85}}
Во втором слагаемом выделим полный квадрат:
{{Формула|<math>2\int\frac{dx}{x^2-2x+3}=2\int\frac{dx}{x^2-2x+1+2}=2\int\frac{dx}{(x-1)^2+2}=2\int\frac{d(x-1)}{(x-1)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}=</math>|6.86}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{2}{\sqrt{2}}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{\sqrt{2}}+C=\sqrt{2}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{\sqrt{2}}+C.</math>}}
В итоге имеем следующий ответ:
{{Формула|<math>\int\frac{5x-3}{x^2-2x+3}\,dx=\frac{5}{2}\ln(x^2-2x+3)+\sqrt{2}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{\sqrt{2}}+C.</math>|6.87}}

== Метод Остроградского ==
Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию [[w:Алгебраическая функция|алгебраической]] и [[w:Трансцендентная функция|трансцендентной функций]]. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.

Так как по [[w:Теорема Абеля — Руффини|теореме Абеля — Руффини]] уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые<ref>Коэффициенты могут быть и рациональными, суть от этого не меняется, так как всегда можно домножить многочлен на некую постоянную величину, чтобы сделать его коэффициенты целочисленными.</ref>, то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм ([[w:Криптография_на_решётках#LLL-.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC|алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса]]).

Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.

{{Теорема|Если <math>P_n(x)</math> и <math>Q_m(x)</math> (<math>n<m</math>) — многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих корней, тогда интеграл от правильной дроби <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей:
{{Якорь|Формула6.88}}{{Формула|<math>\int\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\,dx=\frac{K_s(x)}{L_{m-k}(x)}+\int\frac{U_t(x)}{V_k(x)}\,dx,</math>|6.88}}
где <math>L_{m-k}(x)</math> — наибольший общий делитель многочлена <math>Q_m(x)</math> и его производной <math>Q'_m(x)</math>;
: <math>V_k(x)=\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)};</math>
: <math>K_s(x)</math> и <math>U_t(x)</math> — многочлены с неопределёнными коэффициентами (<math>s=m-k-1,\;t=k-1</math>).|6.1}}
{{Доказательство|теоремы 6.1|Как уже известно, любой многочлен на <math>\R</math> может быть представлен в виде<ref>Не нарушая общности, можно считать, что коэффициент при старшей степени равен 1, потому что на него всегда можно поделить и учесть уже при интегрировании.</ref>:
{{Формула|<math>Q_m(x)=\prod_{i=1}^g(x-x_i)^{u_i}\prod_{j=1}^h(x^2+p_jx+q_j)^{v_j},</math>|6.89}}
где <math>x_i</math> — действительный корень кратности <math>u_i</math> (<math>i=1,\;2,\;\ldots,\;g</math>);
: <math>x^2+p_jx+q_j</math> (<math>p_j,\;q_j\in\R</math>) — неприводимый на множестве действительных чисел квадратный трёхчлен. Он представляет собой произведение двух комплексно сопряжённых корней многочлена <math>Q_m(x)</math> кратности <math>v_j</math> (<math>j=1,\;2,\;\ldots,\;h</math>);
: <math>\sum_{i=1}^g u_i+2\sum_{j=1}^h v_j=m.</math>
В разложении <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> на простые дроби каждому действительному корню <math>x_i</math> кратности <math>u_i</math> будут соответствовать слагаемые:
{{Якорь|Формула6.90}}{{Формула|<math>\frac{A^{(i)}_1}{x-x_i}+\frac{A^{(i)}_2}{(x-x_i)^2}+\ldots+\frac{A^{(i)}_{u_i}}{(x-x_i)^{u_i}},</math>|6.90}}
а каждой паре комплексно сопряжённых корней (соответственно, неприводимому квадратному трёхчлену) — слагаемые:
{{Якорь|Формула6.91}}{{Формула|<math>\frac{M^{(j)}_1x+N^{(j)}_1}{x^2+p_jx+q_j}+\frac{M^{(j)}_2x+N^{(j)}_2}{(x^2+p_jx+q_j)^2}+\ldots+\frac{M^{(j)}_{v_j}x+N^{(j)}_{v_j}}{(x^2+p_jx+q_j)^{v_j}},</math>|6.91}}
где все <math>A^{(i)}_{u_i},\;M^{(j)}_{v_j},\;N^{(j)}_{v_j}</math> — действительные постоянные.

При интегрировании от первых слагаемых в ([[#Формула6.90|6.90]]) и ([[#Формула6.91|6.91]]) согласно ([[#Формула6.41|6.41]]) (случай <math>n=1</math>) и ([[#Формула6.49|6.49]]) (при <math>4q-p^2>0</math>) является трансцендентной функцией. Интегралы от каждой из всех последующих слагаемых ([[#Формула6.90|6.90]]) — правильная дробь, степень знаменателя которой на единицу меньше степени этой же дроби. Интеграл от каждого слагаемого, начиная со второго, в выражении ([[#Формула6.91|6.91]]) представляет собой сумму правильной рациональной дроби и арктангенса.

Объединим рациональные части интегралов от ([[#Формула6.90|6.90]]) и ([[#Формула6.91|6.91]]), в результате получим правильную рациональную дробь <math>\frac{K_s(x)}{L_{m-k}(x)}</math> (<math>s<m-k</math>), знаменатель которой
{{Якорь|Формула6.92}}{{Формула|<math>L_{m-k}(x)=\prod_{i=1}^g(x-x_i)^{u_i-1}\prod_{j=1}^h(x^2+p_jx+q_j)^{v_j-1}</math>|6.92}}
является многочленом степени <math>m-k</math>, где <math>k=g+2h</math>.

Как уже сказано выше, трансцендентную часть интеграла от дроби <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> можно представить как алгебраическую сумму дробей вида:
{{Формула|<math>\frac{E_i}{x-x_i}</math> и <math>\frac{F_j(2x+p_j)}{x^2+p_jx+q_j}</math>,|6.93}}
где <math>E_i,\;F_j\in\R</math> — константы.

Приведя эту сумму к общему знаменателю, получим правильную рациональную дробь <math>\frac{U_t(x)}{V_k(x)}</math> (<math>t<k</math>) со знаменателем
{{Якорь|Формула6.94}}{{Формула|<math>V_k(x)=\prod_{i=1}^g(x-x_i)\prod_{j=1}^h(x^2+p_jx+q_j),</math>|6.94}}
где <math>k=g+2h</math>. Как мы видим, этот многочлен имеет только простые нули.

Из ([[#Формула6.92|6.92]]) и ([[#Формула6.94|6.94]]) следует, что
{{Якорь|Формула6.95}}{{Формула|<math>Q_m(x)=L_{m-k}(x)V_k(x).</math>|6.95}}
Таким образом мы доказали верность формулы ([[#Формула6.88|6.88]]).

Теперь покажем, что для нахождения <math>L_{m-k}(x)</math> не обязательно знать нули знаменателя дроби <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math>. По теореме о корнях производной многочлена (доказательство см. в Дополнении) следует, что <math>Q'_m(x)</math> имеет те же корни, что и <math>Q_m(x)</math>, только их кратность на единицу меньше, а как мы видели из построения многочлена <math>L_{m-k}(x)</math>, он и будет наибольшим общим делителем многочленов <math>Q_m(x)</math> и <math>Q'_m(x)</math>, так как в него входят те же корни, что и в <math>Q_m(x)</math>, их степень на единицу меньше и при этом простые корни отсутствуют.}}
Итак, мы установили, что имеет место тождество ([[#Формула6.88|6.88]]). Многочлен <math>L_{m-k}(x)</math> является наибольшим общим делителем многочленов <math>Q_m(x)</math> и <math>Q'_m(x)</math>. Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или [[w:Алгоритм Евклида|алгоритм Евклида]]. Вычислить многочлен <math>V_k(x)=\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)}</math> также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены <math>K_s(x)</math> и <math>U_t(x)</math>. Для этого продифференцируем по <math>x</math> правую и левую части выражения ([[#Формула6.88|6.88]]):
{{Формула|<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\left(\frac{K_s(x)}{L_{m-k}(x)}\right)'+\frac{U_t(x)}{V_k(x)}.</math>|6.96}}
Применим формулу производной от частного:
{{Формула|<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{K'_s(x)L_{m-k}(x)-K_s(x)L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}^2(x)}+\frac{U_t(x)}{V_k(x)}.</math>|6.97}}
Разобьём дробь в правой части:
{{Якорь|Формула6.98}}{{Формула|<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{K'_s(x)}{L_{m-k}(x)}-\frac{K_s(x)L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}^2(x)}+\frac{U_t(x)}{V_k(x)}.</math>|6.98}}
Домножим обе части равенства ([[#Формула6.98|6.98]]) на многочлен <math>Q_m(x)</math>:
{{Якорь|Формула6.99}}{{Формула|<math>P_n(x)=K'_s(x)\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)}-K_s(x)\frac{L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)}+U_t(x)\frac{Q_m(x)}{V_k(x)}.</math>|6.99}}
Так как в первом слагаемом отношение <math>\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)}</math> равно <math>V_k(x)</math>, то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что <math>\frac{Q_m(x)}{V_k(x)}=L_{m-k}(x)</math> <nowiki>[</nowiki>это следует из равенства ([[#Формула6.95|6.95]])<nowiki>]</nowiki>. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение <math>\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)}</math> равно <math>V_k(x)</math>:
{{Якорь|Формула6.100}}{{Формула|<math>K_s(x)\frac{L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}\frac{Q_m(x)}{L_{m-k}(x)}=K_s(x)\frac{L'_{m-k}(x)V_k(x)}{L_{m-k}(x)}.</math>|6.100}}
Продифференцируем теперь равенство ([[#Формула6.95|6.95]]):
{{Якорь|Формула6.101}}{{Формула|<math>Q'_m(x)=(L_{m-k}(x)V_k(x))'=L'_{m-k}(x)V_k(x)+L_{m-k}(x)V'_k(x).</math>|6.101}}
Выразим из ([[#Формула6.101|6.101]]) <math>L'_{m-k}(x)V_k(x)</math> и подставим в ([[#Формула6.100|6.100]]):
{{Формула|<math>K_s(x)\frac{L'_{m-k}(x)V_k(x)}{L_{m-k}(x)}=K_s(x)\frac{Q'_m(x)-V'_k(x)L_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}.</math>|6.102}}
Снова разобьём на две дроби:
{{Формула|<math>K_s(x)\frac{Q'_m(x)-V'_k(x)L_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}=K_s(x)\left(\frac{Q'_m(x)}{L_{m-k}(x)}-V'_k(x)\right).</math>|6.103}}
Дробь <math>\frac{Q'_m(x)}{L_{m-k}(x)}</math> является многочленом, потому что <math>L_{m-k}(x)</math> как наибольший общий делитель многочленов <math>Q_m(x)</math> и <math>Q'_m(x)</math> делит последний нацело.

Обобщая исследование правой части ([[#Формула6.99|6.99]]), можно записать следующее выражение:
{{Формула|<math>P_n(x)=K'_s(x)V_k(x)-K_s(x)W_{k-1}(x)+U_t(x)L_{m-k}(x),</math>|6.104}}
где
{{Формула|<math>W_{k-1}(x)=\frac{Q'_m(x)}{L_{m-k}(x)}-V'_k(x)</math>|6.105}}
многочлен степени <math>k-1</math><ref>Такая степень получается из того, что <math>\scriptstyle{Q'_m(x)}</math> имеет степень <math>\scriptstyle{m-1}</math>; отношение <math>\scriptstyle{\frac{Q'_m(x)}{L_{m-k}(x)}}</math> — степень <math>\scriptstyle{m-1-(m-k)=k-1}</math>. Производная <math>\scriptstyle{V'_k(x)}</math> также имеет степень <math>\scriptstyle{k-1}</math>.</ref>.

Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для <math>K_s(x)</math> и <math>U_t(x)</math>. Интеграл <math>\int\frac{U_t(x)}{V_k(x)}\,dx</math> взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).

Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.

'''Пример&nbsp;6.11.'''&nbsp;Найти интеграл:
{{Формула|<math>\int\frac{x^2-3x+5}{(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2}\,dx.</math>|6.106}}
'''Решение.''' Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем <math>Q_7(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2=x^7-6x^6+16x^5-26x^4+28x^3-20x^2+9x-2</math>, <math>P_2(x)=x^2-3x+5</math>. Найдём производную от знаменателя:
{{Формула|<math>Q'_7(x)=7x^6-36x^5+80x^4-104x^3+84x^2-40x+9.</math>|6.107}}
Теперь найдём НОД <math>Q_7(x)</math> и <math>Q'_7(x)</math>. Для этого «столбиком» разделим <math>Q_7(x)</math> на <math>Q'_7(x)</math>, получим <math>\frac{1}{7}x-\frac{6}{49}</math> как целую часть и <math>\frac{1}{49}(8x^5-66x^4+160x^3-196x^2+138x-44)</math> в остатке. Поделим теперь <math>Q'_7(x)</math> на первый остаток, получим целую часть — <math>\frac{343}{8}x+\frac{4263}{32}</math> и второй остаток — <math>\frac{1}{16}(1911x^4-5880x^3+7938x^2-6027x+2058)</math>. Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть — <math>\frac{128}{93\,639}x-\frac{8\,608}{1\,217\,307}</math> и третий остаток — <math>-\frac{96}{8\,281}(x^3+2x^2-2x+1)</math>. Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть — <math>-\frac{5\,274\,997}{512}x+\frac{2\,840\,383}{256}</math>, следовательно, по алгоритму Евклида многочлен
{{Формула|<math>L_3(x)=-\frac{96}{8\,281}(x^3+2x^2-2x+1)=-\frac{96}{8\,281}(x-1)(x^2-x+1)</math>|6.108}}
является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.

Поделив <math>Q_7(x)</math> на <math>L_3(x)</math>, получим:
{{Формула|<math>V_4(x)=-\frac{8\,281}{96}(x^4-4x^3+6x^2-5x+2)=-\frac{8\,281}{96}(x-1)(x-2)(x^2-x+1).</math>|6.109}}
Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у <math>K_2(x)</math> и <math>U_3(x)</math>, причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе <math>U_3(x)</math> можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.

Итак, согласно ([[#Формула6.88|6.88]]) мы имеем<ref>Постоянный множитель <math>\scriptstyle{-\frac{96}{8\,281}}</math> мы сделали частью неопределённых коэффициентов.</ref>:
{{Формула|<math>\int\frac{x^2-3x+5}{(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2}\,dx=\frac{Ax^2+Bx+C}{(x-1)(x^2-x+1)}+\int\frac{U_3(x)\,dx}{(x-1)(x-2)(x^2-x+1)}.</math>|6.110}}
В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:
{{Якорь|Формула6.111}}{{Формула|<math>\int\frac{x^2-3x+5}{(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2}\,dx=\frac{Ax^2+Bx+C}{(x-1)(x^2-x+1)}+\int\frac{E\,dx}{x-1}+\int\frac{F\,dx}{x-2}+\int\frac{Mx+N}{x^2-x+1}\,dx.</math>|6.111}}
Продифференцируем равенство ([[#Формула6.111|6.111]]):
{{Формула|<math>\frac{x^2-3x+5}{(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2}\,dx=</math>|6.112}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{-Ax^4-2Bx^3+(2A+2B-3C)x^2+(-2A+4C)x-B-2C}{(x-1)^2(x^2-x+1)^2}+</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{E}{x-1}+\frac{F}{x-2}+\frac{Mx+N}{x^2-x+1}.</math>}}
Теперь умножим на <math>(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2</math>, раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:
{{Формула|<math>\begin{array}{r}x^6: \\ x^5: \\ x^4: \\ x^3: \\ x^2: \\ x^1: \\ x^0: \end{array}\;\;
\left\{\begin{array}{l}E+F+M=0; \\
-5M-5E-4F-A+N=0; \\
-2B+2A+11E-5N+8F+10M=0; \\
10N-10F-3C+2A+6B-11M-15E=0; \\
10C+7M+13E-4B-11N-6A+8F=1; \\
-2M+4A-10C-B+7N-7E-4F=-3; \\
-2N+2E+F+2B+4C=5;\end{array}\right.</math>|6.112}}
Решая это систему линейных уравнений, найдём:
{{Формула|<math>A=\frac{11}{3},\;B=-3,\;C=\frac{7}{3},\;E=4,\;F=\frac{1}{3},\;M=-\frac{13}{3},\;N=\frac{10}{3}.</math>|6.113}}
Подставляя эти значения в ([[#Формула6.111|6.111]]), будем иметь:
{{Формула|<math>\int\frac{x^2-3x+5}{(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2}\,dx=</math>|6.114}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{3}\frac{11x^2-9x+7}{(x-1)(x^2-x+1)}+4\int\frac{dx}{x-1}+\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-2}-\frac{1}{3}\int\frac{13x-10}{x^2-x+1}\,dx.</math>}}
Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:
{{Формула|<math>4\int\frac{dx}{x-1}=4\ln|x-1|+C;\quad\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-2}=\frac{1}{3}\ln|x-2|+C;</math>|6.115}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>-\frac{1}{3}\int\frac{-13x+10}{x^2-x+1}\,dx=-\frac{13}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{7\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)+C.</math>}}
Окончательно получим<ref>Можно ещё объединить все логарифмы в один.</ref>:
{{Формула|<math>\int\frac{x^2-3x+5}{(x-1)^2(x-2)(x^2-x+1)^2}\,dx=</math>|6.116}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{3}\frac{11x^2-9x+7}{(x-1)(x^2-x+1)}+4\ln|x-1|+\frac{1}{3}\ln|x-2|-\frac{13}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{7\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)+C.</math>}}

== Метод Эрмита ==
Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен [[w:Эрмит, Шарль|Ш. Эрмитом]] (1822—1901).

Пусть <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> (<math>n<m</math>) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены <math>P_n(x)</math> и <math>Q_m(x)</math> взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.

Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:
{{Якорь|Формула6.117}}{{Формула|<math>Q_m(x)=\prod_{i=1}^m(x-x_i),</math>|6.117}}
где <math>x_i\in\Complex</math> — корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).

Если перегруппировать в представлении ([[#Формула6.117|6.117]]) сомножители, то это выражение можно переписать так:
{{Формула|<math>Q_m(x)=V_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x),</math>|6.118}}
где <math>V_1(x),\;V_2(x),\;\ldots,\;V_k(x)</math> — многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел <math>\R</math> эти многочлены могут содержать множители вида <math>x^2+px+q</math>, где <math>4q-p^2>0</math>.

Значит дробь <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> можно представить в виде:
{{Якорь|Формула6.119}}{{Формула|<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{P_n(x)}{V_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)}=\frac{U_1(x)}{V_1(x)}+\frac{U_2(x)}{V_2^2(x)}+\ldots+\frac{U_k(x)}{V_k^k(x)},</math>|6.119}}
где многочлены <math>U_i(x)</math> взаимно просты с <math>V_i(x)</math> (<math>i=1,\;2,\;\ldots,\;k</math>).

Докажем это.
{{Доказательство|формулы (6.119)|Многочлены <math>V_1(x)</math> и <math>V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)</math> взаимно просты, так как все они попарно взаимно просты, и произведение простых множителей также взаимно просто. Воспользуемся [[w:Алгоритм Евклида#Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу|соотношением Безу]] для этих полиномов. Так как полиномы взаимно просты, то имеет место следующее равенство:
{{Формула|<math>W(x)V_1(x)+U_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)=P_n(x),</math>|6.120}}
где <math>W(x),\;U_1(x)</math> — многочлены, степени которых меньше <math>V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)</math> и <math>V_1(x)</math> соответственно. Для поиска этих многочленов можно использовать метод неопределённых коэффициентов.

Теперь поделим на <math>Q_m(x)=V_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)</math>:
{{Формула|<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{W(x)V_1(x)}{V_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)}+\frac{U_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)}{V_1(x)V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)}=</math>|6.121}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{W(x)}{V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)}+\frac{U_1(x)}{V_1(x)}.</math>}}
Многочлен <math>U_1(x)</math> имеет степень, меньшую, чем у <math>V_1(x)</math>, а <math>W(x)</math> — меньшую, чем у <math>V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)</math>, при этом <math>U_1(x)</math> и <math>V_1(x)</math> взаимно просты, аналогично, <math>W(x)</math> и <math>V_2^2(x)V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)</math> взаимно просты.

Применяя те же рассуждения к <math>V_2^2(x)</math> и <math>V_3^3(x)\ldots V_k^k(x)</math>, получим формулу ([[#Формула6.119|6.119]]).}}
Из разложения ([[#Формула6.119|6.119]]) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:
{{Якорь|Формула6.122}}{{Формула|<math>\int\frac{U(x)}{[V(x)]^k}\,dx,</math>|6.122}}
где степень <math>U(x)</math> меньше степени <math>V(x)</math> и они взаимно просты. Так как у многочлена <math>V(x)</math> все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты<ref>По теореме о корнях производной многочлена производная <math>\scriptstyle{V'(x)}</math> должна содержать те же корни, что и <math>\scriptstyle{V(x)}</math>, но меньшей кратности, а так как все корни <math>\scriptstyle{V(x)}</math> просты, то <math>\scriptstyle{V(x)}</math> и <math>\scriptstyle{V'(x)}</math> вообще не будут содержать общих корней.</ref>. Если <math>k=1</math>, то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у <math>V(x)</math> все корни простые. Исследуем случай, когда <math>k>1</math>.

Применим снова соотношение Безу к <math>V(x)</math> и его производной <math>V'(x)</math>:
{{Якорь|Формула6.123}}{{Формула|<math>M(x)V(x)+N(x)V'(x)=U(x)</math><ref>Многочлены <math>\scriptstyle{M(x)}</math> и <math>\scriptstyle{N(x)}</math> имеют степень на единицу меньше, чем <math>\scriptstyle{V'(x)}</math> и <math>\scriptstyle{V(x)}</math> соответственно, если степень многочлена <math>\scriptstyle{U(x)}</math> не превосходит суммарной степени <math>\scriptstyle{V(x)}</math> и <math>\scriptstyle{V'(x)}</math>; в противном случае, эти степени могут быть равны или быть больше.</ref>|6.123}}
и подставим его в ([[#Формула6.122|6.122]]):
{{Якорь|Формула6.124}}{{Формула|<math>\int\frac{U(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\int\frac{M(x)V(x)+N(x)V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\int\frac{M(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx+\int\frac{N(x)V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx.</math>|6.124}}
Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив <math>u=N(x)</math> и <math>dv=\frac{V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx</math>, тогда <math>du=N'(x)\,dx</math>, а <math>v=\int\frac{V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\frac{d[V(x)]}{[V(x)]^k}=-\frac{1}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}</math>. Подставив эти выражения в ([[#Формула6.124|6.124]]), будем иметь:
{{Формула|<math>\int\frac{M(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx+\int\frac{N(x)V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\int\frac{M(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx-\frac{N(x)}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}+\frac{1}{k-1}\int\frac{N'(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx.</math>|6.125}}
Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:
{{Формула|<math>\int\frac{U(x)}{[V(x)]^k}\,dx=-\frac{N(x)}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}+\int\frac{T(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx,</math>|6.126}}
где <math>T(x)=M(x)+\frac{N'(x)}{k-1}</math>.

Если <math>k>2</math>, то к интегралу <math>\int\frac{T(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx</math> можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим:
{{Формула|<math>\int\frac{U(x)}{[V(x)]^k}\,dx=R(x)+\int\frac{\varphi(x)}{V(x)}\,dx,</math>|6.127}}
где <math>R(x)</math> — рациональная функция, <math>\varphi(x)</math> — многочлен, степень которого меньше степени <math>V(x)</math>, при этом он может быть и не взаимно простым с <math>V(x)</math>. Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.

Рассмотрим теперь пример.

'''Пример&nbsp;6.12.'''&nbsp;Найти интеграл:
{{Формула|<math>\int\frac{x^5+35x^4-234x^3+566x^2-511x+63}{(x-2)(x+1)^2(x^2-2x+5)^2}\,dx.</math>|6.128}}
'''Решение.''' В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде:
{{Формула|<math>Q(x)=V_1(x)\cdot V_2^2(x),</math>|6.129}}
где <math>V_1(x)=x-2,\;V_2(x)=(x+1)(x^2-2x+5)</math>.

Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби:
{{Формула|<math>\frac{x^5+35x^4-234x^3+566x^2-511x+63}{(x-2)(x+1)^2(x^2-2x+5)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B_5x^5+B_4x^4+B_3x^3+B_2x^2+B_1x+B_0}{[(x+1)(x^2-2x+5)]^2}.</math>|6.130}}
Методом неопределённых коэффициентов найдём:
{{Формула|<math>A=\frac{1}{9},\;B_5=-\frac{1}{9},\;B_4=1,\;B_3=\frac{326}{9},\;B_2=162,\;B_1=\frac{2\,179}{9},\;B_0=\frac{271}{9}.</math>|6.131}}
Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух:
{{Якорь|Формула6.132}}{{Формула|<math>\int\frac{x^5+35x^4-234x^3+566x^2-511x+63}{(x-2)(x+1)^2(x^2-2x+5)^2}\,dx=</math>|6.132}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{9}\int\frac{dx}{x-2}-\frac{1}{9}\int\frac{x^5-9x^4-326x^3+1\,458x^2-2\,179x+271}{[(x+1)(x^2-2x+5)]^2}\,dx.</math>}}
Первое слагаемое легко интегрируется:
{{Формула|<math>\frac{1}{9}\int\frac{dx}{x-2}=\frac{1}{9}\ln|x-2|+C.</math>|6.133}}
Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена <math>V_2(x)</math>:
{{Формула|<math>V'_2(x)=3x^2-2x+3.</math>|6.134}}
Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу ([[#Формула6.123|6.123]]):
{{Якорь|Формула6.135}}{{Формула|<math>N(x)V_2(x)+M(x)V'_2(x)=W(x);</math>|6.135}}
{{Формула|<math>(N_1x+N_0)(x^3-x^2+3x+5)+(M_2x^2+M_1x+M_0)(3x^2-2x+3)=x^5-9x^4-326x^3+1\,458x^2-2\,179x+271.</math>}}
Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен <math>W(x)</math> на произведение <math>V_2(x)V'_2(x)</math>, в результате получим, что <math>W(x)</math> можно записать как:
{{Формула|<math>W(x)=Q(x)V_2(x)V'_2(x)+R(x);</math>|6.136}}
{{Формула|<math>W(x)=\frac{1}{3}(x^3-x^2+3x+5)(3x^2-2x+3)-\frac{2}{3}(11x^4+496x^3-2184x^2+3268x-399).</math>}}
Рассмотрим теперь новое соотношение:
{{Формула|<math>(N'_1x+N'_0)(x^3-x^2+3x+5)+(M_2x^2+M_1x+M_0)(3x^2-2x+3)=-\frac{2}{3}(11x^4+496x^3-2184x^2+3268x-399),</math>|6.137}}
где <math>N'(x)=N'_1x+N'_0</math> — новые многочлен с неизвестными коэффициентами.

Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений:
{{Формула|<math>\begin{array}{r}x^4: \\ x^3: \\ x^2: \\ x^1: \\ x^0:\end{array}\;\;
\left\{\begin{array}{l}N'_1+3M_2=-\frac{22}{3}; \\
-N'_1+N'_0-2M_2+3M_1=-\frac{992}{3}; \\
3N'_1-N'_0+3M_2-2M_1+3M_0=1\,456; \\
5N'_1+3N'_0+3M_1-2M_0=-\frac{6\,536}{3}; \\
5N'_0+3M_0=266;\end{array}\right.</math>|6.138}}
Решением системы будут следующие коэффициенты:
{{Формула|<math>N'_1=-\frac{292}{3},\;N'_0=-215,\;M_2=30,\;M_1=-51,\;M_0=447.</math>|6.139}}
Теперь нужно вернуться к выражению ([[#Формула6.135|6.135]]). Для этого сделаем замену <math>N(x)=N'(x)+Q(x)V'_2(x)</math>. Таким образом, получаем, что:
{{Формула|<math>N(x)=x^2-98x-214,\quad M(x)=30x^2-51x+447.</math>|6.140}}
Итак, по методу Эрмита второй интеграл в правой части выражения ([[#Формула6.132|6.132]]) можно разбить на два интеграла следующим образом:
{{Якорь|Формула6.141}}{{Формула|<math>-\frac{1}{9}\int\frac{x^5-9x^4-326x^3+1\,458x^2-2\,179x+271}{[(x+1)(x^2-2x+5)]^2}\,dx=</math>|6.141}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=-\frac{1}{9}\int\frac{x^2-98x-214}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx-\frac{1}{9}\int\frac{(30x^2-51x+447)(3x^2-2x+3)}{[(x+1)(x^2-2x+5)]^2}\,dx.</math>}}
Разбивая интеграл в первом слагаемом на части получим:
{{Формула|<math>-\frac{1}{9}\int\frac{x^2-98x-214}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx=\frac{115}{72}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{24}\int\frac{41x-379}{x^2-2x+5}\,dx.</math>|6.142}}
Беря интегралы, получаем:
{{Формула|<math>-\frac{1}{9}\int\frac{x^2-98x-214}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx=\frac{115}{72}\ln|x+1|-\frac{41}{48}\ln(x^2-2x+5)+\frac{169}{24}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{2}+C.</math>|6.143}}
Ко второму слагаемому в ([[#Формула6.141|6.141]]) применим интегрирование по частям:
{{Формула|<math>-\frac{1}{9}\int\frac{(30x^2-51x+447)(3x^2-2x+3)}{[(x+1)(x^2-2x+5)]^2}\,dx=</math>|6.144}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{9}\frac{30x^2-51x+447}{(x+1)(x^2-2x+5)}-\frac{1}{9}\int\frac{60x-51}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx.</math>}}
Второе слагаемое можно разбить на простые дроби:
{{Формула|<math>-\frac{1}{3}\int\frac{20x-17}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx=\frac{37}{24}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{24}\int\frac{37x+49}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx.</math>|6.145}}
Вычислим интегралы:
{{Формула|<math>-\frac{1}{3}\int\frac{20x-17}{(x+1)(x^2-2x+5)}\,dx=\frac{37}{24}\ln|x+1|-\frac{37}{48}\ln(x^2-2x+5)-\frac{43}{24}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{2}+C.</math>|6.146}}
Чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты интегрирования отдельных слагаемых тем, самым получая:
{{Формула|<math>\int\frac{x^5+35x^4-234x^3+566x^2-511x+63}{(x-2)(x+1)^2(x^2-2x+5)^2}\,dx=\frac{1}{9}\ln|x-2|+\frac{115}{72}\ln|x+1|-\frac{41}{48}\ln(x^2-2x+5)+</math>|6.147}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{169}{24}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{2}+\frac{1}{3}\frac{10x^2-17x+149}{(x+1)(x^2-2x+5)}+\frac{37}{24}\ln|x+1|-\frac{37}{48}\ln(x^2-2x+5)-\frac{43}{24}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{2}+C.</math>}}
Приведя подобные, получим окончательный ответ:
{{Формула|<math>\int\frac{x^5+35x^4-234x^3+566x^2-511x+63}{(x-2)(x+1)^2(x^2-2x+5)^2}\,dx=</math>|6.148}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\frac{1}{3}\frac{10x^2-17x+149}{(x+1)(x^2-2x+5)}+\frac{1}{9}\ln|x-2|+\frac{113}{36}\ln|x+1|-\frac{13}{8}\ln(x^2-2x+5)+\frac{21}{24}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-1}{2}+C.</math>}}

== Интегрирование рациональных дробей специального вида ==
Рациональные дроби специального вида можно интегрировать, применяя методы, основанные на специфичности данного интеграла. Рассмотри некоторые из них.

Интегрирование дробей вида:
{{Якорь|Формула6.149}}{{Формула|<math>\int\frac{\varphi(x)}{x^n}\,dx,\quad n\in\N</math>|6.149}}
где <math>\varphi(x)</math> — многочлен (в общем случае, в его состав могут входить одночлены не только с натуральными показателями), проще проинтегрировать его как алгебраическую сумму после почленного деления:
{{Формула|<math>\int\frac{\varphi(x)}{x^n}\,dx=\int\sum_{i=1}^m a_ix^{s_i}\frac{dx}{x^n}=\sum_{i=1}^m\left(a_i\int x^{s_i-n}\,dx\right)=\sum_{i=1}^m\frac{a_ix^{s_i-n+1}}{s_i-n+1}+C,</math>|6.150}}
где <math>a_i\in\R</math> — действительный коэффициент, <math>s_i</math> — показатель степени одночлена (в общем случае, <math>s_i\in\R</math>).

Очень часто при интегрировании таких выражений появляются члены вида <math>(ax+b)^n</math> (<math>a,\;b\in\R,\;n\in\N</math>). Их раскрывают, используя формулу [[w:Бином Ньютона|бинома Ньютона]].

'''Пример&nbsp;6.12.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{x^3-7\sqrt{x}+10\sqrt[3]{x^2}}{x^5}\,dx.</math>|6.151}}
'''Решение.''' Произведя почленное деление под знаком интеграла, получим:
{{Формула|<math>\int\frac{x^3-7\sqrt{x}+10\sqrt[3]{x^2}}{x^5}\,dx=\int\frac{x^3-7x^\frac{1}{2}+10x^\frac{2}{3}}{x^5}\,dx=\int x^{-2}\,dx-7\int x^{-\frac{9}{2}}\,dx+10\int x^{-\frac{13}{3}}\,dx=</math>|6.152}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=-\frac{1}{x}+7\cdot\frac{2}{7}x^{-\frac{7}{2}}-10\cdot\frac{3}{10}x^{-\frac{10}{3}}+C=-\frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{x^7}}-\frac{3}{\sqrt[3]{x^{10}}}+C.</math>}}
Интегралы вида:
{{Формула|<math>\int\frac{\varphi(x)}{(ax+b)^n}\,dx,</math>|6.153}}
где <math>\varphi(x)</math> — многочлен c натуральными показателями, <math>a,\;b\in\R</math> — действительные коэффициенты, не равные нулю;

сводятся к предыдущему случаю с использованием подстановки <math>z=ax+b</math>. В этом случае мы имеем: <math>x=\frac{z-b}{a},\;dx=\frac{dz}{a}</math>. Сделаем замену:
{{Формула|<math>\int\frac{\varphi(x)}{(ax+b)^n}\,dx=\frac{1}{a}\int\varphi\left(\frac{z-b}{a}\right)\frac{dz}{z^n}.</math>|6.154}}
Этим интеграл преобразуется к интегралу ([[#Формула6.149|6.149]]).

'''Пример&nbsp;6.13.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{x^2+1}{(x-1)^3}\,dx.</math>|6.155}}
'''Решение.''' Сделаем замену <math>z=x-1</math>, тогда <math>x=z+1</math> и <math>dx=dz</math>:
{{Формула|<math>\int\frac{x^2+1}{(x-1)^3}\,dx=\int\frac{(z+1)^2+1}{z^3}\,dz=\int\frac{z^2+2z+2}{z^3}\,dz=</math>|6.156}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=\int\left(\frac{1}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{z^3}\right)\,dz=\int\frac{dz}{z}+2\int\frac{dz}{z^2}+2\int\frac{dz}{z^2}=\ln|z|-\frac{1}{z^2}-\frac{2}{z}+C.</math>}}
Вернувшись обратно к переменной <math>x</math>, найдём ответ:
{{Формула|<math>\int\frac{x^2+1}{(x-1)^3}\,dx=\ln|x-1|-\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{2}{x-1}+C.</math>|6.157}}

'''Пример&nbsp;6.14.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Якорь|Формула6.158}}{{Формула|<math>\int\frac{x^4\,dx}{(x^3+1)^2}.</math>|6.158}}
'''Решение.''' Применим интегрирование по частям:
{{Формула|<math>\int\frac{x^4\,dx}{(x^3+1)^2}\left[\begin{array}{ll}u=x^2 & du=2x\,dx \\ dv=\dfrac{x^2\,dx}{(x^3+1)^2} & \displaystyle{v=\int\dfrac{x^2\,dx}{(x^3+1)^2}=\frac{1}{3}\int\frac{d(x^3+1)}{(x^3+1)^2}}= \\ & =-\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{x^3+1}\end{array}\right]=</math>|6.159}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=-\frac{1}{3}\frac{x^2}{x^3+1}+\frac{2}{3}\int\frac{x\,dx}{x^3+1}.</math>}}
Подынтегральное выражение второго слагаемого разобьём на простые дроби. Так как <math>x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)</math>, то
{{Формула|<math>\frac{2}{3}\frac{x}{x^3+1}=\frac{2}{3}\frac{x}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}.</math>|6.160}}
Методом неопределённых коэффициентов устанавливаем, что
{{Формула|<math>A=-\frac{2}{9},\quad B=\frac{2}{9},\quad C=\frac{2}{9}.</math>|6.161}}
Таким образом, интеграл ([[#Формула6.158|6.158]]) можно представить как:
{{Формула|<math>\int\frac{x^4\,dx}{(x^3+1)^2}=-\frac{1}{3}\frac{x^2}{x^3+1}-\frac{2}{9}\int\frac{dx}{x+1}+\frac{2}{9}\int\frac{(x+1)\,dx}{x^2-x+1}.</math>|6.162}}
После взятия интегралов ответом будет служить следующее выражение:
{{Формула|<math>\int\frac{x^4\,dx}{(x^3+1)^2}=-\frac{1}{3}\frac{x^2}{x^3+1}-\frac{2}{9}\ln|x+1|+\frac{1}{9}\ln(x^2-x+1)+\frac{2\sqrt{3}}{9}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right)+C.</math>|6.163}}

Интегралы
{{Формула|<math>\int\frac{\varphi(x^n)x^{n-1}}{x^n+a}\,dx,</math>|6.164}}
где <math>\varphi(x)</math> — полином, <math>a\in\R</math>;

интегрируются следующим образом: сделаем подстановку <math>z=x^n</math>, тогда <math>x=\sqrt[n]{z},\;dx=\frac{dz}{n}</math>:
{{Формула|<math>\int\frac{\varphi(x^n)x^{n-1}}{x^n+a}\,dx=\frac{1}{n}\int\frac{\varphi(z)\,dz}{z+a}.</math>|6.165}}
Если сделать подстановку <math>t=z+a</math> (<math>z=t-a,\;dz=dt</math>), можно получить интеграл вида ([[#Формула6.149|6.149]]):
{{Формула|<math>\frac{1}{n}\int\frac{\varphi(z)\,dz}{z+a}=\frac{1}{n}\int\frac{\varphi(t-a)}{t}\,d(t-a).</math>|6.166}}

'''Пример&nbsp;6.15.'''&nbsp;Найти интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{x^5-4x^3+6x}{x^2-2}\,dx</math>|6.167}}
'''Решение.''' Вынесем в числителе <math>x</math> за скобку:
{{Формула|<math>\int\frac{x^5-4x^3+6x}{x^2-2}\,dx=\int\frac{(x^4-4x^2+6)x}{x^2-2}\,dx.</math>|6.168}}
Сделаем подстановку <math>z=x^2,\;dx=\frac{dz}{2}</math>:
{{Формула|<math>\int\frac{(x^4-4x^2+6)x}{x^2-2}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{z^2-4z+6}{z-2}\,dz.</math>|6.169}}
Сделаем ещё одну подстановку: <math>t=z-2,\;z=t+2,\;dz=dt</math>:
{{Формула|<math>\frac{1}{2}\int\frac{z^2-4z+6}{z-2}\,dz=\frac{1}{2}\int\frac{(t+2)^2-4(t+2)+6}{t}\,dt.</math>|6.170}}
Раскрывая скобки в числителе и приводя подобные, получим:
{{Формула|<math>\frac{1}{2}\int\frac{(t+2)^2-4(t+2)+6}{t}\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{t^2+2}{t}\,dt.</math>|6.171}}
Почленно поделим:
{{Формула|<math>\frac{1}{2}\int\frac{t^2+2}{t}\,dt=\frac{1}{2}\int t\,dt+\frac{2}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\frac{t^2}{2}+\ln|t|+C=\frac{t^2}{4}+\ln|t|+C.</math>|6.172}}
Вернёмся сначала к переменной <math>z</math>:
{{Формула|<math>\frac{1}{2}\int\frac{t^2+2}{t}\,dt=\frac{t^2}{4}+\ln|t|+C=\frac{(z-2)^2}{4}+\ln|z-2|+C.</math>|6.173}}
Окончательно получим:
{{Формула|<math>\int\frac{x^5-4x^3+6x}{x^2-2}\,dx=\frac{(x^2-2)^2}{4}+\ln|x^2-2|+C=\frac{1}{4}x^4-x^2+\ln|x^2-2|+C',</math>|6.174}}
где <math>C'=C+1</math>.

Исследуем интеграл вида:
{{Формула|<math>\int\frac{(cx+d)^n}{(ax+b)^m}\,dx,</math>|6.175}}
где <math>a,\;b,\;c,\;d\in\R;\;n,\;m\in\N</math>.

Если <math>\frac{c}{a}=\frac{d}{b}</math>, то линейные двучлены в числителе и знаменателе подобны, следовательно, можно вынести коэффициент подобия и сократить дробь. В этом случае мы получим интеграл
{{Формула|<math>A\int(\alpha x+\beta)^{n-m}\,dx,</math>|6.176}}
который берётся заведением под дифференциал.

Случай, когда <math>\frac{c}{d}\neq\frac{d}{b}</math>, более интересен. Сделаем подстановку <math>z=ax+b</math>; интеграл преобразуется к виду ([[#Формула6.149|6.149]]):
{{Формула|<math>\frac{1}{a^{n+1}}\int\frac{[cz+ad-cb]^n}{z^m}\,dz.</math>|6.177}}

Вычислим следующий интеграл:
{{Якорь|Формула6.178}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(x-a)^n(x-b)^m}.</math>|6.178}}
Сделаем подстановку <math>z=\frac{x-a}{x-b}</math>, отсюда
{{Формула|<math>x=\frac{a-bz}{1-z},\quad x-a=\frac{(a-b)x}{1-z},\quad x-b=\frac{a-b}{1-z},\quad dx=\frac{a-b}{(1-z)^2}\,dz.</math>|6.179}}
Интеграл ([[#Формула6.178|6.178]]) примет вид:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(x-a)^n(x-b)^m}=\frac{1}{(a-b)^{n+m-1}}\int\frac{(1-z)^{m+n-2}}{z^n}\,dz.</math>|6.180}}
Если <math>m+n\geqslant 2</math>, то мы получаем интеграл вида ([[#Формула6.149|6.149]]).

Описанным выше способом можно брать интегралы вида
{{Якорь|Формула6.181}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{(x^2+px+q)^k},</math>|6.181}}
где <math>p^2-4q>0</math>.

В этом случае квадратный трёхчлен обладает двумя различными вещественными корнями <math>x_1</math> и <math>x_2</math>. Полагая в интеграле ([[#Формула6.178|6.178]]) <math>a=x_1,\;b=x_2</math> и <math>n=m=k</math>, преобразуем интеграл ([[#Формула6.181|6.181]]) к виду:
{{Формула|<math>\frac{1}{(x_1-x_2)^{2k-1}}\int\frac{(1-z)^{2k-2}}{z^k}\,dz.</math>|6.182}}
Формула, в принципе действительна и при <math>p^2-4q<0</math>, но при этом корни будут комплексными, но, так как они сопряжённые, то их разность <math>x_1-x_2</math> будет действительным числом. Если в разложении появится логарифм от комплексного числа, то его легко свести к арктангенсу.

Остановимся на интегралах вида
{{Якорь|Формула6.183}}{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{b\pm ax^n},\quad m,\;n\in\N,\;m<n,\quad a,\;b\in\R_+</math>|6.183}}
более подробно.

Вводя подстановку <math>x=z\sqrt[n]{\frac{b}{a}}</math>, интеграл ([[#Формула6.183|6.183]]) можно представить как:
{{Якорь|Формула6.184}}{{Формула|<math>\sqrt[n]{\frac{b^{m-n+1}}{a^{m+1}}}\int\frac{z^m\,dz}{1\pm z^n}.</math>|6.184}}
Рассмотрим несколько случаев значений показателей <math>m</math> и <math>n</math> и знака в знаменателе. 

В знаменателе стоит знак «плюс».

'''Случай&nbsp;1.'''&nbsp;<math>m=0</math>, <math>n</math> — чётный. При чётном <math>n</math> функция <math>1+x^n</math> имеет комплексно сопряжённые корни вида:
{{Якорь|Формула6.185}}{{Формула|<math>x_k=\cos\frac{2k+1}{n}\pi\pm i\sin\frac{2k+1}{n}\pi,</math>|6.185}}
где <math>k=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;\frac{n-2}{2}</math>.

Следовательно, разложение имеет следующий вид:
{{Формула|<math>\frac{1}{1+x^n}=\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\left[\frac{A_k}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}+\frac{B_k}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}\right],</math>|6.186}}
где <math>A_k,\;B_k</math> — неизвестные коэффициенты.

Так как все корни ([[#Формула6.185|6.185]]) простые, то для нахождения коэффициентов <math>A_k,\;B_k</math> можно воспользоваться методом вычисления производной (см. Дополнение). По этому методу дробь <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> имеет разложение:
{{Формула|<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\sum_{i=1}^m\frac{P_n(x_i)}{Q'_m(x_i)}\frac{1}{x-x_i},</math>|6.187}}
где все <math>x_i</math> — простые корни <math>Q_m(x)</math>.

Конкретно для нашего случая:
{{Якорь|Формула6.188}}{{Формула|<math>A_k=\left.\frac{1}{nx^{n-1}}\right|_{x=\cos\frac{2k+1}{n}\pi+i\sin\frac{2k+1}{n}\pi}=\frac{1}{n}\frac{1}{\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)^{n-1}}.</math>|6.188}}
По [[Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах#ФормулаМуавра|формуле Муавра]] имеем:
{{Формула|<math>A_k=\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{(2k+1)(n-1)}{n}\pi+i\sin\dfrac{(2k+1)(n-1)}{n}\pi}.</math>|6.189}}
Раскрывая скобки в аргументах тригонометрических функций и вычисляя их, получим:
{{Формула|<math>A_k=-\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi}.</math>|6.190}}
Аналогично для <math>B_k</math>:
{{Формула|<math>B_k=-\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi}.</math>|6.191}}
Таким образом,
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{1+x^n}=-\frac{1}{n}\int\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\Bigg[\frac{1}{\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi}\cdot\frac{1}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}+</math>|6.192}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{1}{\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi}\cdot\frac{1}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}\Bigg]\,dx.</math>}}
После несложных преобразований будем иметь следующее выражение:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{1+x^n}=-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\int\frac{2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-2}{x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1}\,dx.</math>|6.193}}
В этом интеграле <math>p=-2\cos\frac{2k+1}{n}\pi,\;q=1</math>, следовательно, <math>q-\frac{p^2}{4}>0</math>, значит можно воспользоваться формулой ([[#Формула6.67|6.67]]). Подставляя наши коэффициенты в эту формулу, после преобразований окончательно получаем, что при чётном <math>n</math>:
{{Якорь|Формула6.194}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{1+x^n}=-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\cos\frac{2k+1}{n}\ln\left(x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1\right)+</math>|6.194}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\sin\frac{2k+1}{n}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-\cos\dfrac{2k+1}{n}}{\sin\dfrac{2k+1}{n}}+C.</math>}}
'''Случай&nbsp;2.'''&nbsp;<math>n</math> — чётный, <math>0<m<n</math>. В этом случае формула ([[#Формула6.188|6.188]]) будет иметь вид:
{{Формула|<math>A_k=\frac{x^m}{nx^{n-1}}=\left.\frac{1}{nx^{n-m-1}}\right|_{x=\cos\frac{2k+1}{n}\pi+i\sin\frac{2k+1}{n}\pi}=\frac{1}{n}\frac{1}{\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)^{n-m-1}}.</math>|6.195}}
Выполняя аналогичные преобразования, для коэффициентов <math>A_k</math> и <math>B_k</math>, в конечном итоге, будем иметь такие выражения:
{{Формула|<math>A_k=-\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi-i\sin\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi},</math>|6.196}}
{{Формула|<math>B_k=-\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi+i\sin\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi}.</math>}}
Значит интеграл от дроби <math>\frac{x^m}{1+x^n}</math> будет иметь вид:
{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{1+x^n}=-\frac{1}{n}\int\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\Bigg[\frac{1}{\cos\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi-i\sin\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi}\times</math>|6.197}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\times\frac{1}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}+</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{1}{\cos\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi+i\sin\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi}\times</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\times\frac{1}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}\Bigg]\,dx=</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>=-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\int\Bigg[\frac{2x\cos\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi-2\cos\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi}{x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1}-</math>}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>-\frac{2\sin\dfrac{(2k+1)(m+1)}{n}\pi\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi}{x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1}\Bigg]\,dx.</math>}}
Теперь, если воспользоваться формулой ([[#Формула6.67|6.67]]), окончательно получим:
{{Якорь|Формула6.198}}{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{1+x^n}=-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\cos\frac{(2k+1)(m+1)}{n}\ln\left(x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1\right)+</math>|6.198}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-2}{2}\sin\frac{(2k+1)(m+1)}{n}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-\cos\dfrac{2k+1}{n}}{\sin\dfrac{2k+1}{n}}+C.</math>}}
Как мы видим, формула ([[#Формула6.198|6.198]]) пригодна для <math>0\leqslant m<n</math>.

'''Случай&nbsp;3.'''&nbsp;<math>m=0</math>, <math>n</math> — нечётный, тогда двучлен <math>1+x^n</math> имеет помимо комплексно сопряжённых корней ещё и действительный корень:
{{Формула|<math>x_{-1}=-1,\quad x_k=\cos\frac{2k+1}{n}\pi\pm i\sin\frac{2k+1}{n}\pi,\quad k=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;\frac{n-3}{2}.</math>|6.199}}
Разложение подынтегральной функции на простые дроби в этом случае будет:
{{Якорь|Формула6.200}}{{Формула|<math>\frac{1}{1+x^n}=\frac{C}{x+1}+\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\left[\frac{A_k}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}+\frac{B_k}{x-\left(\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi\right)}\right],</math>|6.200}}
где <math>A_k,\;B_k,\;C</math> — неизвестные коэффициенты.

Найдём коэффициенты:
{{Формула|<math>C=\frac{1}{n},</math>|6.201}}
{{Формула|<math>A_k=-\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi},</math>}}
{{Формула|<math>B_k=-\frac{1}{n}\frac{1}{\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k+1}{n}\pi}.</math>}}
Подставляя коэффициенты в ([[#Формула6.200|6.200]]) и интегрируя получившиеся дроби, получаем для нечётного <math>n</math> выражение, аналогичное ([[#Формула6.194|6.194]]):
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{1+x^n}=\frac{1}{n}\ln|x+1|-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\cos\frac{2k+1}{n}\ln\left(x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1\right)+</math>|6.202}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\sin\frac{2k+1}{n}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-\cos\dfrac{2k+1}{n}}{\sin\dfrac{2k+1}{n}}+C.</math>}}
'''Случай&nbsp;4.'''&nbsp;<math>n</math> — нечётный, <math>0<m<n</math>. Производя уже известные преобразования, получаем следующую формулу:
{{Якорь|Формула6.203}}{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{1+x^n}=\frac{(-1)^m}{n}\ln|x+1|-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\cos\frac{(2k+1)(m+1)}{n}\ln\left(x^2-2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1\right)+</math>|6.203}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\sin\frac{(2k+1)(m+1)}{n}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-\cos\dfrac{2k+1}{n}}{\sin\dfrac{2k+1}{n}}+C.</math>}}
Формулу ([[#Формула6.203|6.203]]) можно обобщить для <math>0\leqslant m<n</math>.

Теперь рассмотрим выражения ([[#Формула6.184|6.184]]), когда в знаменателе стоит знак «минус».

'''Случай&nbsp;5.'''&nbsp;<math>n</math> — чётный, <math>0\leqslant m<n</math>. Двучлен <math>1-x^n</math> имеет следующий набор корней:
{{Формула|<math>x_0=\pm 1,\quad x_k=\cos\frac{2k}{n}\pi\pm i\sin\frac{2k}{n}\pi,\quad k=1,\;2,\;\ldots,\;\frac{n-2}{2}.</math>|6.204}}
Разложение дроби <math>\frac{x^m}{1-x^n}</math> будет иметь вид:
{{Формула|<math>\frac{x^m}{1-x^n}=\frac{C_1}{1+x}+\frac{C_2}{1-x}+\sum_{k=1}^\frac{n-2}{2}\left[\frac{A_k}{x-\left(\cos\dfrac{2k}{n}\pi+i\sin\dfrac{2k}{n}\pi\right)}+\frac{B_k}{x-\left(\cos\dfrac{2k}{n}\pi-i\sin\dfrac{2k}{n}\pi\right)}\right],</math>|6.205}}
где <math>A_k,\;B_k,\;C_1,\;C_2</math> — неизвестные коэффициенты, определяя которые и интегрируя после этого получившееся выражение, будет иметь:
{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{1-x^n}=\frac{(-1)^m}{n}\ln|1+x|-\frac{1}{n}\ln|1-x|-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^\frac{n-2}{2}\cos\frac{2k(m+1)}{n}\ln\left(x^2-2x\cos\dfrac{2k}{n}\pi+1\right)+</math>|6.206}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2}{n}\sum_{k=1}^\frac{n-2}{2}\sin\frac{2k(m+1)}{n}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x-\cos\dfrac{2k}{n}}{\sin\dfrac{2k}{n}}+C.</math>}}
'''Случай&nbsp;6.'''&nbsp;<math>n</math> — нечётный, <math>0\leqslant m<n</math>. При нечётном <math>n</math> квадратуру интеграла легко получить из формулы ([[#Формула6.203|6.203]]), заменяя в ней <math>x</math> на <math>(-x)</math>. В итоге получаем:
{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{1-x^n}=-\frac{1}{n}\ln|x+1|+\frac{(-1)^m}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\cos\frac{(2k+1)(m+1)}{n}\ln\left(x^2+2x\cos\dfrac{2k+1}{n}\pi+1\right)+</math>|6.207}}
{{Формула|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+\frac{2(-1)^m}{n}\sum_{k=0}^\frac{n-3}{2}\sin\frac{(2k+1)(m+1)}{n}\,\mathrm{arctg}\,\frac{x+\cos\dfrac{2k+1}{n}}{\sin\dfrac{2k+1}{n}}+C.</math>}}
Фактически во всех этих случаях можно считать, что <math>0\leqslant m<n-1</math>, потому что при <math>m=n-1</math> интеграл берётся непосредственно:
{{Якорь|Формула6.208}}{{Формула|<math>\int\frac{x^{n-1}\,dx}{1\pm x^n}=\pm\frac{1}{n}\int\frac{d(1\pm x^n)}{1\pm x^n}=\pm\frac{1}{n}\ln|1\pm x^n|+C=\pm\ln\sqrt[n]{|1\pm x^n|}+C.</math>|6.208}}

Рассмотрим теперь интегралы вида:
{{Якорь|Формула6.209}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^m(a\pm bx^n)},</math>|6.209}}
где <math>m>0</math>.
Уже известная подстановка <math>x=z\sqrt[n]{\frac{b}{a}}</math> позволяет перейти к интегралу вида:
{{Якорь|Формула6.210}}{{Формула|<math>\sqrt[n]{\frac{b^{m-n+1}}{a^{m+1}}}\int\frac{dz}{z^m(1\pm z^n)}.</math>|6.210}}

Если <math>m=1</math>, получим интеграл:
{{Якорь|Формула6.211}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x(1\pm x^n)}.</math>|6.211}}
Чтобы его вычислить, преобразуем его следующим образом:
{{Якорь|Формула6.212}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x(1\pm x^n)}=\int\frac{1\pm x^n\mp x^n}{x(1\pm x^n)}\,dx=\int\frac{1\pm x^n}{x(1\pm x^n)}\mp\int\frac{x^n\,dx}{x(1\pm x^n)}=\int\frac{dx}{x}\mp\int\frac{x^{n-1}\,dx}{1\pm x^n}.</math>|6.212}}
Оба интеграла нам известны: первый — табличный, а второй мы можем найти по формуле ([[#Формула6.208|6.208]]):
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x(1\pm x^n)}=\ln|x|-\ln\sqrt[n]{|1\pm x^n|}+C=\ln\frac{|x|}{\sqrt[n]{|1\pm x^n}|}+C.</math>|6.213}}
Если <math>m>1</math>, то в интеграле ([[#Формула6.210|6.210]]) применим то же преобразование, что и в ([[#Формула6.212|6.212]]):
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^m(1\pm x^n)}=\int\frac{1\pm x^n\mp x^n}{x^m(1\pm x^n)}\,dx=\int\frac{1\pm x^n}{x^m(1\pm x^n)}\mp\int\frac{x^n\,dx}{x^m(1\pm x^n)}=\int\frac{dx}{x^m}\mp\int\frac{x^{n-m}\,dx}{1\pm x^n}.</math>|6.214}}
Интеграл в первом слагаемом равен:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^m}=-\frac{1}{(m-1)x^{m-1}}.</math>|6.215}}
Значит
{{Якорь|Формула6.216}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^m(1\pm x^n)}=-\frac{1}{(m-1)x^{m-1}}\mp\int\frac{x^{n-m}\,dx}{1\pm x^n}.</math>|6.216}}
Если <math>m\leqslant n</math>, то мы приходим к одному из интегралов вида ([[#Формула6.184|6.184]]); при <math>m>n</math>, последовательно применяя ([[#Формула6.216|6.216]]), снова приходим к случаю <math>m\leqslant n</math> или к интегралу ([[#Формула6.211|6.211]]).

Приступим теперь исследованию интегралов более общего вида, чем ([[#Формула6.183|6.183]]):
{{Якорь|Формула6.217}}{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{(a+bx^n)^p},</math>|6.217}}
где <math>m\in\Z,\;n,\;p\in\N</math> и <math>a,\;b\in\R</math>. Считаем, что <math>p>1</math>, в противном случае, имеем случай ([[#Формула6.183|6.183]]), описанный выше.

Интеграл ([[#Формула6.217|6.217]]) является частным случаем, так называемого, ''биномиального дифференциала'' (см. соответствующую главу). Этот интеграл обычно берётся интегрированием по частям, выбирая функции <math>u</math> и <math>dv</math> таким образом, чтобы показатель <math>p</math> сводился к 1. 

Если в выражении ([[#Формула6.217|6.217]]) <math>m=n-1</math>, то интеграл можно вычислить непосредственно занесением под дифференциал:
{{Формула|<math>\int\frac{x^{n-1}\,dx}{(a+bx^n)^p}=\frac{1}{nb}\int\frac{d(a+bx^n)}{(a+bx^n)^p}=-\frac{1}{bn(p-1)(a+bx^n)^{p-1}}+C.</math>|6.218}}
Если <math>m\neq n-1</math>, то применим интегрирование по частям, приняв, что <math>u=x^{m-n+1}</math> и <math>dv=\frac{x^{n-1}}{(a+bx^n)^p}</math>, тогда <math>du=(m-n+1)x^{m-n}\,dx</math>, а <math>v=\int\frac{x^{n-1}\,dx}{(a+bx^n)^p}=-\frac{1}{bn(p-1)(a+bx^n)^{p-1}}</math>. Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям ([[Интегральное исчисление/Основные свойства неопределённого интеграла#Формула4.42|4.42]]), получаем:
{{Якорь|Формула6.219}}{{Формула|<math>\int\frac{x^m\,dx}{(a+bx^n)^p}=-\frac{x^{m-n+1}}{bn(p-1)(a+bx^n)^{p-1}}+\frac{m-n+1}{bn(p-1)}\int\frac{x^{m-n}\,dx}{(a+bx^n)^{p-1}}.</math>|6.219}}
Повторяя эту процедуру для интеграла в правой части, в конечном итоге мы придём к интегралу вида:
{{Формула|<math>\int\frac{x^{m-(p-1)n}}{a+bx^n}\,dx,</math>|6.220}}
который в зависимости от знака показателя <math>m-(p-1)n</math> может иметь вид ([[#Формула6.183|6.183]]) или ([[#Формула6.209|6.209]]). Если <math>m-(p-1)n\geqslant n</math>, то для интегралов вида ([[#Формула6.183|6.183]]) дополнительно потребуется выделить целую часть.

Если <math>m<(p-1)n</math>, то мы имеем интеграл
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^k(a+bx^n)},</math>|6.221}}
где <math>k=(p-1)n-m</math> и <math>k>0</math>. Тогда можно также воспользоваться следующим преобразованием. Найдём такое наименьшее натуральное число <math>h</math>, чтобы <math>hn\geqslant k</math> и при этом, если <math>h</math> — чётное, тогда <math>a^h-b^hx^{hn}</math>, или, если <math>h</math> — нечётное, тогда <math>a^h+b^hx^{hn}</math>, делилось бы на <math>a+bx^n</math>.

В первом случае мы можем применить следующее преобразование:
{{Якорь|Формула6.222}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^k(a+bx^n)}=\frac{1}{a^h}\int\frac{a^h-b^hx^{hn}}{x^k(a+bx^n)}\,dx+\frac{b^h}{a^h}\int\frac{x^{hn-k}}{a+bx^n}\,dx;</math>|6.222}}
во втором:
{{Якорь|Формула6.223}}{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x^k(a+bx^n)}=\frac{1}{a^h}\int\frac{a^h+b^hx^{hn}}{x^k(a+bx^n)}\,dx-\frac{b^h}{a^h}\int\frac{x^{hn-k}}{a+bx^n}\,dx.</math>|6.223}}
Так как, по условию, мы подбирали <math>h</math> так, чтобы <math>a^h-b^hx^{hn}</math> или <math>a^h+b^hx^{hn}</math> делились на <math>a+bx^n</math> нацело, то интегралы в первых слагаемых ([[#Формула6.222|6.222]]) и ([[#Формула6.223|6.223]]) будут интегралами от полиномов целых, положительных и отрицательных степеней <math>x</math> <nowiki>[</nowiki>случай ([[#Формула6.149|6.149]])<nowiki>]</nowiki>. Вторые интегралы будут интегралами вида ([[#Формула6.183|6.183]]), так как <math>hn\geqslant k</math>, а <math>h</math> — наименьшее число, удовлетворяющее этому условию, то, следовательно, <math>hn-k<n</math>.

'''Пример&nbsp;6.16.'''&nbsp;Найти интеграл:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x(x^2+4)^2}.</math>|6.224}}
'''Решение.''' Здесь мы имеем интеграл ([[#Формула6.217|6.217]]) при <math>m=-1,\;n=2,\;p=2</math>. Воспользуемся формулой интегрирования по частям ([[#Формула6.219|6.219]]):
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x(x^2+4)^2}=-\frac{1}{2x^2(x^2+4)}-\int\frac{dx}{x^3(x^2+4)}.</math>|6.225}}
Для интеграла в правой части имеем <math>k=3,\;n=2</math>, подберём <math>h</math>, чтобы выполнялось неравенство <math>2h\geqslant 3</math>; наименьшим натуральным будет <math>h=2</math>. Это чётное число, следовательно имеет место преобразование ([[#Формула6.222|6.222]]):
{{Формула|<math>-\int\frac{dx}{x^3(x^2+4)}=\frac{1}{16}\int\frac{x^4-16}{x^3(x^2+4)}\,dx-\frac{1}{16}\int\frac{x^4\,dx}{x^3(x^2+4)}.</math>|6.226}}
Сократим в первом интеграле на <math>x^2+4</math> и почленно поделим на <math>x^3</math>:
{{Формула|<math>\frac{1}{16}\int\frac{x^4-16}{x^3(x^2+4)}\,dx=\frac{1}{16}\int\frac{x^2-4}{x^3}\,dx=\frac{1}{16}\int\frac{dx}{x}-\frac{1}{4}\int x^{-3}\,dx=\frac{1}{16}\ln|x|+\frac{1}{4}\frac{1}{2x^2}+C=\frac{1}{16}\ln|x|+\frac{1}{8x^2}+C.</math>|6.227}}
Второй интеграл берётся заведением под дифференциал:
{{Формула|<math>-\frac{1}{16}\int\frac{x^4\,dx}{x^3(x^2+4)}=-\frac{1}{16}\int\frac{x\,dx}{x^2+4}=-\frac{1}{32}\int\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}=-\frac{1}{32}\ln(x^2+4)+C.</math>|6.228}}
Объединяя найденные интегралы, получим ответ:
{{Формула|<math>\int\frac{dx}{x(x^2+4)^2}=-\frac{1}{2x^2(x^2+4)}+\frac{1}{16}\ln|x|+\frac{1}{8x^2}-\frac{1}{32}\ln(x^2+4)+C=\frac{1}{16}\ln\frac{|x|}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{8(x^2+4)}+C.</math>|6.229}}

== Примечания ==
{{примечания}}
[[Категория:Интегральное исчисление|Интегрирование полиномиальных и рациональных функций]]