Интегральное исчисление/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций

← Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций

Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.

Интегрирование многочленов

Многочленом, или полиномом, от одной переменной $x$ называется выражение вида: Шаблон:Формула где $a_{i}, i = 0, 1, \dots, n$ — некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число $n$ — максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена.

Вычисление интеграла от многочлена $P_{n} (x)$ основано на свойстве линейности интеграла: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Пример 6.1. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим: Шаблон:Формула Шаблон:ЯкорьПример 6.2. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении: Шаблон:Формула Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим: Шаблон:Формула Пример 6.3. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2, но проще сделать замену $x^{2} + 1 = t$ , тогда $x d x = \frac{1}{2} d t$ и выражение $x^{3} (x^{2} + 1)^{4} d x$ преобразуется к виду $\frac{1}{2} t^{4} (t - 1) d t$ . Получаем: Шаблон:Формула Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое: Шаблон:Формула Возвращаясь к переменной $x$ , у нас получается: Шаблон:Формула

Интегрирование рациональных функций

Вводные замечания

Рациональной функцией от переменной $x$ называется отношение двух полиномов: Шаблон:Формула где предполагается, что $p_{n} \neq 0, q_{m} \neq 0; n, m \in ℕ$ . Многочлен $P_{n} (x)$ называется числителем дроби, а $Q_{m} (x)$ — знаменателем. Можно считать, что многочлены $P_{n} (x)$ и $Q_{m} (x)$ взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).

Из теории рациональных функций известно, что если $n ⩾ m$ , то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени $n - m$ и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей $m$ : Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов: Шаблон:Формула где $x_{i} \in ℂ$ — корень многочлена $s_{i}$ -ой степени кратности ( $i = 0, 1, \dots, k$ ); $s_{1} + s_{2} + \dots + s_{k} = m; k ⩽ m$ ;

$A$ — коэффициент при старшей степени $m$ .

Поэтому в случае, если $n < m$ , дробь $R (x)$ на множестве комплексных чисел можно представить в виде: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула где $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{s_{1}}, B_{1}, B_{2}, \dots, B_{s_{2}}, \dots, D_{1}, D_{2}, \dots, D_{s_{k}}$ — некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.

В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве $ℝ$ разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид: Шаблон:Формула где $x_{i}, i = 1, 2, \dots, j$ — действительные корни; $u_{1} + \dots + u_{j} + v_{1} + \dots + v_{k} = m$ . Квадратные трёхчлены $x^{2} + p_{i} x + q_{i}, p_{i}, q_{i} \in ℝ$ не имеют действительных корней.

Если рассматривать разложение дроби на простейшие на $ℝ$ , то мы придём к следующей формуле: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула где все коэффициенты $A, \dots, D, K, L, \dots, M, N, p, q$ — действительные числа.

Рассмотрим пример на разложение дроби.

Пример 6.4 Разложить на простые дроби: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители: Шаблон:Формула следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов $A, B, \dots, G$ : Шаблон:Формула Решая систему линейных уравнений, найдём: Шаблон:Формула Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20): Шаблон:Формула Пример 6.5 Разложить на простые дроби: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Решение. Случай, когда $n = 1$ или $n = 2$ , нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел $ℝ$ . Рассмотрим случай, когда $n ⩾ 3$ .

Найдём корни уравнения $x^{n} + 1 = 0$ , переписав в виде $x = \sqrt[n]{- 1}$ и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня: Шаблон:Формула где $a_{l} = \cos \frac{π + 2 π l}{n}$ и $b_{l} = \sin \frac{π + 2 π l}{n}$ — действительные числа.

На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня $a + i b$ имеется и его сопряжённый $a - i b$ , значит в разложении многочлена $x^{n} + 1$ на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида: Шаблон:Формула (доказательство этого факта см. в Дополнении).

Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что Шаблон:Формула Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае $x = - 1$ ), следовательно: Шаблон:Формула Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где Шаблон:Формула Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти $A_{l}$ , $B_{l}$ и $A_{n}$ .

Например, для $n = 3$ по формуле (6.29) в общем виде получаем: Шаблон:Формула После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение: Шаблон:Формула Для $n = 4$ : Шаблон:Формула или после соответствующих манипуляций: Шаблон:Формула

Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.

Пример 6.6 Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на $\frac{1}{2}$ ), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем: Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Пример 6.7 Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности: Шаблон:Формула Сократим дробь: Шаблон:Формула Теперь вычислить интеграл не составит труда: Шаблон:Формула

Интегрирование простых дробей

Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида: Шаблон:Формула а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).

Возьмём интеграл от дроби первого типа: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула

Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $a, b, c \in ℝ$ ; $a \neq 0$ , иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.

Постоянную $a$ можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен: Шаблон:Формула где $p = \frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}$ .

Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Исследуем выражение в зависимости от знака $q - \frac{p^{2}}{4}$ . Если $q - \frac{p^{2}}{4} > 0$ , то можно написать, что $q - \frac{p^{2}}{4} = s^{2}$ и интеграл (6.44) запишется в виде: Шаблон:Формула или возвращаясь к $a, b, c$ : Шаблон:Формула Допустим теперь, что $q - \frac{p^{2}}{4} < 0$ , тогда $q - \frac{p^{2}}{4} = - s^{2}$ : Шаблон:Формула Шаблон:Формула Если же $q - \frac{p^{2}}{4} = 0$ , то Шаблон:Формула Подведём итог: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Хочется отметить, что в случае $b^{2} - 4 a c > 0$ , дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.

Пример 6.8. Решить интеграл Шаблон:Формула Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат: Шаблон:Формула Теперь можно взять интеграл: Шаблон:Формула Рассмотрим теперь интеграл вида: Шаблон:Формула где $n > 1$ .

Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Будем считать, что $\frac{c}{a} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} > 0$ , иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену $t = x + \frac{b}{2 a}$ и обозначим $\frac{c}{a} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = s^{2}$ , тогда выражение (6.53) преобразуется к виду: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от $n$ . Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула В первом слагаемом после сокращения на $t^{2} + s^{2}$ получается исходный интеграл только степени $n - 1$ ; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55): Шаблон:Формула Приведём подобные: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Вернёмся снова к переменной $x$ и коэффициентам $a, b, c$ : Шаблон:Формула Шаблон:Формула Проведя упрощения, окончательно получим: Шаблон:Формула Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где знаменатель не приводим на $ℝ$ .

Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата: Шаблон:Формула Сделаем подстановку $t = x + \frac{p}{2}$ . Так как $q - \frac{p^{2}}{4} > 0$ , введём обозначение $q - \frac{p^{2}}{4} = a^{2}$ . Получаем: Шаблон:Формула Разобьём сумму на два интеграла: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Вычислим первый интеграл: Шаблон:Формула Второй интеграл табличный: Шаблон:Формула Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной $x$ и постоянным $p$ и $q$ , для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Рассмотрим интеграл вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $m > 1$ .

Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку $t = x + \frac{p}{2}$ , как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два: Шаблон:Формула Для первого интеграла получаем: Шаблон:Формула Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58): Шаблон:Формула После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу: Шаблон:Формула Пример 6.9. Решить интеграл Шаблон:Формула Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат: Шаблон:Формула Применим подстановку $t = x - \frac{1}{2}$ : Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Вычислим интеграл в первом слагаемом: Шаблон:Формула Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Первый интеграл в сумме является табличным: Шаблон:Формула Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Подставим найденные интегралы в (6.75): Шаблон:Формула Шаблон:Формула Вернёмся к исходной переменной: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Как мы видели, при интегрировании дробей $\frac{M x + N}{(x^{2} + p x + q)^{m}}$ исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.

Итак, преобразуем интеграл (6.68): Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя $m$ может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда $m$ — рациональное число, главное чтобы интеграл $\int \frac{d x}{(x^{2} + p x + q)^{m}}$ при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.

Пример 6.10. Решить интеграл Шаблон:Формула Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82): Шаблон:Формула Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда: Шаблон:Формула Во втором слагаемом выделим полный квадрат: Шаблон:Формула Шаблон:Формула В итоге имеем следующий ответ: Шаблон:Формула

Метод Остроградского

Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.

Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые^[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).

Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.

Шаблон:Теорема Шаблон:Доказательство Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен $L_{m - k} (x)$ является наибольшим общим делителем многочленов $Q_{m} (x)$ и $Q'_{m} (x)$ . Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен $V_{k} (x) = \frac{Q_{m} (x)}{L_{m - k} (x)}$ также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены $K_{s} (x)$ и $U_{t} (x)$ . Для этого продифференцируем по $x$ правую и левую части выражения (6.88): Шаблон:Формула Применим формулу производной от частного: Шаблон:Формула Разобьём дробь в правой части: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен $Q_{m} (x)$ : Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Так как в первом слагаемом отношение $\frac{Q_{m} (x)}{L_{m - k} (x)}$ равно $V_{k} (x)$ , то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что $\frac{Q_{m} (x)}{V_{k} (x)} = L_{m - k} (x)$ [это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение $\frac{Q_{m} (x)}{L_{m - k} (x)}$ равно $V_{k} (x)$ : Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Продифференцируем теперь равенство (6.95): Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Выразим из (6.101) $L'_{m - k} (x) V_{k} (x)$ и подставим в (6.100): Шаблон:Формула Снова разобьём на две дроби: Шаблон:Формула Дробь $\frac{Q'_{m} (x)}{L_{m - k} (x)}$ является многочленом, потому что $L_{m - k} (x)$ как наибольший общий делитель многочленов $Q_{m} (x)$ и $Q'_{m} (x)$ делит последний нацело.

Обобщая исследование правой части (6.99), можно записать следующее выражение: Шаблон:Формула где Шаблон:Формула многочлен степени $k - 1$ ^[2].

Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для $K_{s} (x)$ и $U_{t} (x)$ . Интеграл $\int \frac{U_{t} (x)}{V_{k} (x)} d x$ взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).

Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.

Пример 6.11. Найти интеграл: Шаблон:Формула Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем $Q_{7} (x) = (x - 1)^{2} (x - 2) (x^{2} - x + 1)^{2} = x^{7} - 6 x^{6} + 16 x^{5} - 26 x^{4} + 28 x^{3} - 20 x^{2} + 9 x - 2$ , $P_{2} (x) = x^{2} - 3 x + 5$ . Найдём производную от знаменателя: Шаблон:Формула Теперь найдём НОД $Q_{7} (x)$ и $Q'_{7} (x)$ . Для этого «столбиком» разделим $Q_{7} (x)$ на $Q'_{7} (x)$ , получим $\frac{1}{7} x - \frac{6}{49}$ как целую часть и $\frac{1}{49} (8 x^{5} - 66 x^{4} + 160 x^{3} - 196 x^{2} + 138 x - 44)$ в остатке. Поделим теперь $Q'_{7} (x)$ на первый остаток, получим целую часть — $\frac{343}{8} x + \frac{4263}{32}$ и второй остаток — $\frac{1}{16} (1911 x^{4} - 5880 x^{3} + 7938 x^{2} - 6027 x + 2058)$ . Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть — $\frac{128}{93 639} x - \frac{8 608}{1 217 307}$ и третий остаток — $- \frac{96}{8 281} (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 1)$ . Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть — $- \frac{5 274 997}{512} x + \frac{2 840 383}{256}$ , следовательно, по алгоритму Евклида многочлен Шаблон:Формула является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.

Поделив $Q_{7} (x)$ на $L_{3} (x)$ , получим: Шаблон:Формула Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у $K_{2} (x)$ и $U_{3} (x)$ , причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе $U_{3} (x)$ можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.

Итак, согласно (6.88) мы имеем^[3]: Шаблон:Формула В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Продифференцируем равенство (6.111): Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Теперь умножим на $(x - 1)^{2} (x - 2) (x^{2} - x + 1)^{2}$ , раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов: Шаблон:Формула Решая это систему линейных уравнений, найдём: Шаблон:Формула Подставляя эти значения в (6.111), будем иметь: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Окончательно получим^[4]: Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Метод Эрмита

Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).

Пусть $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ ( $n < m$ ) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены $P_{n} (x)$ и $Q_{m} (x)$ взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.

Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $x_{i} \in ℂ$ — корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).

Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так: Шаблон:Формула где $V_{1} (x), V_{2} (x), \dots, V_{k} (x)$ — многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел $ℝ$ эти многочлены могут содержать множители вида $x^{2} + p x + q$ , где $4 q - p^{2} > 0$ .

Значит дробь $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ можно представить в виде: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где многочлены $U_{i} (x)$ взаимно просты с $V_{i} (x)$ ( $i = 1, 2, \dots, k$ ).

Докажем это. Шаблон:Доказательство Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где степень $U (x)$ меньше степени $V (x)$ и они взаимно просты. Так как у многочлена $V (x)$ все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты^[5]. Если $k = 1$ , то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у $V (x)$ все корни простые. Исследуем случай, когда $k > 1$ .

Применим снова соотношение Безу к $V (x)$ и его производной $V^{'} (x)$ : Шаблон:Якорь Шаблон:Формула и подставим его в (6.122): Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив $u = N (x)$ и $d v = \frac{V^{'} (x)}{[V (x)]^{k}} d x$ , тогда $d u = N^{'} (x) d x$ , а $v = \int \frac{V^{'} (x)}{[V (x)]^{k}} d x = \frac{d [V (x)]}{[V (x)]^{k}} = - \frac{1}{(k - 1) [V (x)]^{k - 1}}$ . Подставив эти выражения в (6.124), будем иметь: Шаблон:Формула Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим: Шаблон:Формула где $T (x) = M (x) + \frac{N^{'} (x)}{k - 1}$ .

Если $k > 2$ , то к интегралу $\int \frac{T (x)}{[V (x)]^{k - 1}} d x$ можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим: Шаблон:Формула где $R (x)$ — рациональная функция, $φ (x)$ — многочлен, степень которого меньше степени $V (x)$ , при этом он может быть и не взаимно простым с $V (x)$ . Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.

Рассмотрим теперь пример.

Пример 6.12. Найти интеграл: Шаблон:Формула Решение. В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде: Шаблон:Формула где $V_{1} (x) = x - 2, V_{2} (x) = (x + 1) (x^{2} - 2 x + 5)$ .

Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби: Шаблон:Формула Методом неопределённых коэффициентов найдём: Шаблон:Формула Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Первое слагаемое легко интегрируется: Шаблон:Формула Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена $V_{2} (x)$ : Шаблон:Формула Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу (6.123): Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен $W (x)$ на произведение $V_{2} (x) V'_{2} (x)$ , в результате получим, что $W (x)$ можно записать как: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Рассмотрим теперь новое соотношение: Шаблон:Формула где $N^{'} (x) = N'_{1} x + N'_{0}$ — новые многочлен с неизвестными коэффициентами.

Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений: Шаблон:Формула Решением системы будут следующие коэффициенты: Шаблон:Формула Теперь нужно вернуться к выражению (6.135). Для этого сделаем замену $N (x) = N^{'} (x) + Q (x) V'_{2} (x)$ . Таким образом, получаем, что: Шаблон:Формула Итак, по методу Эрмита второй интеграл в правой части выражения (6.132) можно разбить на два интеграла следующим образом: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Разбивая интеграл в первом слагаемом на части получим: Шаблон:Формула Беря интегралы, получаем: Шаблон:Формула Ко второму слагаемому в (6.141) применим интегрирование по частям: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Второе слагаемое можно разбить на простые дроби: Шаблон:Формула Вычислим интегралы: Шаблон:Формула Чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты интегрирования отдельных слагаемых тем, самым получая: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Приведя подобные, получим окончательный ответ: Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Интегрирование рациональных дробей специального вида

Рациональные дроби специального вида можно интегрировать, применяя методы, основанные на специфичности данного интеграла. Рассмотри некоторые из них.

Интегрирование дробей вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $φ (x)$ — многочлен (в общем случае, в его состав могут входить одночлены не только с натуральными показателями), проще проинтегрировать его как алгебраическую сумму после почленного деления: Шаблон:Формула где $a_{i} \in ℝ$ — действительный коэффициент, $s_{i}$ — показатель степени одночлена (в общем случае, $s_{i} \in ℝ$ ).

Очень часто при интегрировании таких выражений появляются члены вида $(a x + b)^{n}$ ( $a, b \in ℝ, n \in ℕ$ ). Их раскрывают, используя формулу бинома Ньютона.

Пример 6.12. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Произведя почленное деление под знаком интеграла, получим: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Интегралы вида: Шаблон:Формула где $φ (x)$ — многочлен c натуральными показателями, $a, b \in ℝ$ — действительные коэффициенты, не равные нулю;

сводятся к предыдущему случаю с использованием подстановки $z = a x + b$ . В этом случае мы имеем: $x = \frac{z - b}{a}, d x = \frac{d z}{a}$ . Сделаем замену: Шаблон:Формула Этим интеграл преобразуется к интегралу (6.149).

Пример 6.13. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Сделаем замену $z = x - 1$ , тогда $x = z + 1$ и $d x = d z$ : Шаблон:Формула Шаблон:Формула Вернувшись обратно к переменной $x$ , найдём ответ: Шаблон:Формула

Пример 6.14. Найти интеграл Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Решение. Применим интегрирование по частям: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Подынтегральное выражение второго слагаемого разобьём на простые дроби. Так как $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ , то Шаблон:Формула Методом неопределённых коэффициентов устанавливаем, что Шаблон:Формула Таким образом, интеграл (6.158) можно представить как: Шаблон:Формула После взятия интегралов ответом будет служить следующее выражение: Шаблон:Формула

Интегралы Шаблон:Формула где $φ (x)$ — полином, $a \in ℝ$ ;

интегрируются следующим образом: сделаем подстановку $z = x^{n}$ , тогда $x = \sqrt[n]{z}, d x = \frac{d z}{n}$ : Шаблон:Формула Если сделать подстановку $t = z + a$ ( $z = t - a, d z = d t$ ), можно получить интеграл вида (6.149): Шаблон:Формула

Пример 6.15. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Вынесем в числителе $x$ за скобку: Шаблон:Формула Сделаем подстановку $z = x^{2}, d x = \frac{d z}{2}$ : Шаблон:Формула Сделаем ещё одну подстановку: $t = z - 2, z = t + 2, d z = d t$ : Шаблон:Формула Раскрывая скобки в числителе и приводя подобные, получим: Шаблон:Формула Почленно поделим: Шаблон:Формула Вернёмся сначала к переменной $z$ : Шаблон:Формула Окончательно получим: Шаблон:Формула где $C^{'} = C + 1$ .

Исследуем интеграл вида: Шаблон:Формула где $a, b, c, d \in ℝ; n, m \in ℕ$ .

Если $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$ , то линейные двучлены в числителе и знаменателе подобны, следовательно, можно вынести коэффициент подобия и сократить дробь. В этом случае мы получим интеграл Шаблон:Формула который берётся заведением под дифференциал.

Случай, когда $\frac{c}{d} \neq \frac{d}{b}$ , более интересен. Сделаем подстановку $z = a x + b$ ; интеграл преобразуется к виду (6.149): Шаблон:Формула

Вычислим следующий интеграл: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Сделаем подстановку $z = \frac{x - a}{x - b}$ , отсюда Шаблон:Формула Интеграл (6.178) примет вид: Шаблон:Формула Если $m + n ⩾ 2$ , то мы получаем интеграл вида (6.149).

Описанным выше способом можно брать интегралы вида Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $p^{2} - 4 q > 0$ .

В этом случае квадратный трёхчлен обладает двумя различными вещественными корнями $x_{1}$ и $x_{2}$ . Полагая в интеграле (6.178) $a = x_{1}, b = x_{2}$ и $n = m = k$ , преобразуем интеграл (6.181) к виду: Шаблон:Формула Формула, в принципе действительна и при $p^{2} - 4 q < 0$ , но при этом корни будут комплексными, но, так как они сопряжённые, то их разность $x_{1} - x_{2}$ будет действительным числом. Если в разложении появится логарифм от комплексного числа, то его легко свести к арктангенсу.

Остановимся на интегралах вида Шаблон:Якорь Шаблон:Формула более подробно.

Вводя подстановку $x = z \sqrt[n]{\frac{b}{a}}$ , интеграл (6.183) можно представить как: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Рассмотрим несколько случаев значений показателей $m$ и $n$ и знака в знаменателе.

В знаменателе стоит знак «плюс».

Случай 1. $m = 0$ , $n$ — чётный. При чётном $n$ функция $1 + x^{n}$ имеет комплексно сопряжённые корни вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $k = 0, 1, 2, \dots, \frac{n - 2}{2}$ .

Следовательно, разложение имеет следующий вид: Шаблон:Формула где $A_{k}, B_{k}$ — неизвестные коэффициенты.

Так как все корни (6.185) простые, то для нахождения коэффициентов $A_{k}, B_{k}$ можно воспользоваться методом вычисления производной (см. Дополнение). По этому методу дробь $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ имеет разложение: Шаблон:Формула где все $x_{i}$ — простые корни $Q_{m} (x)$ .

Конкретно для нашего случая: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула По формуле Муавра имеем: Шаблон:Формула Раскрывая скобки в аргументах тригонометрических функций и вычисляя их, получим: Шаблон:Формула Аналогично для $B_{k}$ : Шаблон:Формула Таким образом, Шаблон:Формула Шаблон:Формула После несложных преобразований будем иметь следующее выражение: Шаблон:Формула В этом интеграле $p = - 2 \cos \frac{2 k + 1}{n} π, q = 1$ , следовательно, $q - \frac{p^{2}}{4} > 0$ , значит можно воспользоваться формулой (6.67). Подставляя наши коэффициенты в эту формулу, после преобразований окончательно получаем, что при чётном $n$ : Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Случай 2. $n$ — чётный, $0 < m < n$ . В этом случае формула (6.188) будет иметь вид: Шаблон:Формула Выполняя аналогичные преобразования, для коэффициентов $A_{k}$ и $B_{k}$ , в конечном итоге, будем иметь такие выражения: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Значит интеграл от дроби $\frac{x^{m}}{1 + x^{n}}$ будет иметь вид: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Теперь, если воспользоваться формулой (6.67), окончательно получим: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Как мы видим, формула (6.198) пригодна для $0 ⩽ m < n$ .

Случай 3. $m = 0$ , $n$ — нечётный, тогда двучлен $1 + x^{n}$ имеет помимо комплексно сопряжённых корней ещё и действительный корень: Шаблон:Формула Разложение подынтегральной функции на простые дроби в этом случае будет: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $A_{k}, B_{k}, C$ — неизвестные коэффициенты.

Найдём коэффициенты: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Подставляя коэффициенты в (6.200) и интегрируя получившиеся дроби, получаем для нечётного $n$ выражение, аналогичное (6.194): Шаблон:Формула Шаблон:Формула Случай 4. $n$ — нечётный, $0 < m < n$ . Производя уже известные преобразования, получаем следующую формулу: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Шаблон:Формула Формулу (6.203) можно обобщить для $0 ⩽ m < n$ .

Теперь рассмотрим выражения (6.184), когда в знаменателе стоит знак «минус».

Случай 5. $n$ — чётный, $0 ⩽ m < n$ . Двучлен $1 - x^{n}$ имеет следующий набор корней: Шаблон:Формула Разложение дроби $\frac{x^{m}}{1 - x^{n}}$ будет иметь вид: Шаблон:Формула где $A_{k}, B_{k}, C_{1}, C_{2}$ — неизвестные коэффициенты, определяя которые и интегрируя после этого получившееся выражение, будет иметь: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Случай 6. $n$ — нечётный, $0 ⩽ m < n$ . При нечётном $n$ квадратуру интеграла легко получить из формулы (6.203), заменяя в ней $x$ на $(- x)$ . В итоге получаем: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Фактически во всех этих случаях можно считать, что $0 ⩽ m < n - 1$ , потому что при $m = n - 1$ интеграл берётся непосредственно: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула

Рассмотрим теперь интегралы вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $m > 0$ . Уже известная подстановка $x = z \sqrt[n]{\frac{b}{a}}$ позволяет перейти к интегралу вида: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула

Если $m = 1$ , получим интеграл: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Чтобы его вычислить, преобразуем его следующим образом: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Оба интеграла нам известны: первый — табличный, а второй мы можем найти по формуле (6.208): Шаблон:Формула Если $m > 1$ , то в интеграле (6.210) применим то же преобразование, что и в (6.212): Шаблон:Формула Интеграл в первом слагаемом равен: Шаблон:Формула Значит Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Если $m ⩽ n$ , то мы приходим к одному из интегралов вида (6.184); при $m > n$ , последовательно применяя (6.216), снова приходим к случаю $m ⩽ n$ или к интегралу (6.211).

Приступим теперь исследованию интегралов более общего вида, чем (6.183): Шаблон:Якорь Шаблон:Формула где $m \in ℤ, n, p \in ℕ$ и $a, b \in ℝ$ . Считаем, что $p > 1$ , в противном случае, имеем случай (6.183), описанный выше.

Интеграл (6.217) является частным случаем, так называемого, биномиального дифференциала (см. соответствующую главу). Этот интеграл обычно берётся интегрированием по частям, выбирая функции $u$ и $d v$ таким образом, чтобы показатель $p$ сводился к 1.

Если в выражении (6.217) $m = n - 1$ , то интеграл можно вычислить непосредственно занесением под дифференциал: Шаблон:Формула Если $m \neq n - 1$ , то применим интегрирование по частям, приняв, что $u = x^{m - n + 1}$ и $d v = \frac{x^{n - 1}}{(a + b x^{n})^{p}}$ , тогда $d u = (m - n + 1) x^{m - n} d x$ , а $v = \int \frac{x^{n - 1} d x}{(a + b x^{n})^{p}} = - \frac{1}{b n (p - 1) (a + b x^{n})^{p - 1}}$ . Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям (4.42), получаем: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Повторяя эту процедуру для интеграла в правой части, в конечном итоге мы придём к интегралу вида: Шаблон:Формула который в зависимости от знака показателя $m - (p - 1) n$ может иметь вид (6.183) или (6.209). Если $m - (p - 1) n ⩾ n$ , то для интегралов вида (6.183) дополнительно потребуется выделить целую часть.

Если $m < (p - 1) n$ , то мы имеем интеграл Шаблон:Формула где $k = (p - 1) n - m$ и $k > 0$ . Тогда можно также воспользоваться следующим преобразованием. Найдём такое наименьшее натуральное число $h$ , чтобы $h n ⩾ k$ и при этом, если $h$ — чётное, тогда $a^{h} - b^{h} x^{h n}$ , или, если $h$ — нечётное, тогда $a^{h} + b^{h} x^{h n}$ , делилось бы на $a + b x^{n}$ .

В первом случае мы можем применить следующее преобразование: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула во втором: Шаблон:Якорь Шаблон:Формула Так как, по условию, мы подбирали $h$ так, чтобы $a^{h} - b^{h} x^{h n}$ или $a^{h} + b^{h} x^{h n}$ делились на $a + b x^{n}$ нацело, то интегралы в первых слагаемых (6.222) и (6.223) будут интегралами от полиномов целых, положительных и отрицательных степеней $x$ [случай (6.149)]. Вторые интегралы будут интегралами вида (6.183), так как $h n ⩾ k$ , а $h$ — наименьшее число, удовлетворяющее этому условию, то, следовательно, $h n - k < n$ .

Пример 6.16. Найти интеграл: Шаблон:Формула Решение. Здесь мы имеем интеграл (6.217) при $m = - 1, n = 2, p = 2$ . Воспользуемся формулой интегрирования по частям (6.219): Шаблон:Формула Для интеграла в правой части имеем $k = 3, n = 2$ , подберём $h$ , чтобы выполнялось неравенство $2 h ⩾ 3$ ; наименьшим натуральным будет $h = 2$ . Это чётное число, следовательно имеет место преобразование (6.222): Шаблон:Формула Сократим в первом интеграле на $x^{2} + 4$ и почленно поделим на $x^{3}$ : Шаблон:Формула Второй интеграл берётся заведением под дифференциал: Шаблон:Формула Объединяя найденные интегралы, получим ответ: Шаблон:Формула

Примечания

Шаблон:Примечания

↑ Коэффициенты могут быть и рациональными, суть от этого не меняется, так как всегда можно домножить многочлен на некую постоянную величину, чтобы сделать его коэффициенты целочисленными.
↑ Такая степень получается из того, что $Q'_{m} (x)$ имеет степень $m - 1$ ; отношение $\frac{Q'_{m} (x)}{L_{m - k} (x)}$ — степень $m - 1 - (m - k) = k - 1$ . Производная $V'_{k} (x)$ также имеет степень $k - 1$ .
↑ Постоянный множитель $- \frac{96}{8 281}$ мы сделали частью неопределённых коэффициентов.
↑ Можно ещё объединить все логарифмы в один.
↑ По теореме о корнях производной многочлена производная $V^{'} (x)$ должна содержать те же корни, что и $V (x)$ , но меньшей кратности, а так как все корни $V (x)$ просты, то $V (x)$ и $V^{'} (x)$ вообще не будут содержать общих корней.

[1] Коэффициенты могут быть и рациональными, суть от этого не меняется, так как всегда можно домножить многочлен на некую постоянную величину, чтобы сделать его коэффициенты целочисленными.

[2] Такая степень получается из того, что $Q'_{m} (x)$ имеет степень $m - 1$ ; отношение $\frac{Q'_{m} (x)}{L_{m - k} (x)}$ — степень $m - 1 - (m - k) = k - 1$ . Производная $V'_{k} (x)$ также имеет степень $k - 1$ .

[3] Постоянный множитель $- \frac{96}{8 281}$ мы сделали частью неопределённых коэффициентов.

[4] Можно ещё объединить все логарифмы в один.

[5] По теореме о корнях производной многочлена производная $V^{'} (x)$ должна содержать те же корни, что и $V (x)$ , но меньшей кратности, а так как все корни $V (x)$ просты, то $V (x)$ и $V^{'} (x)$ вообще не будут содержать общих корней.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]