Интегральное исчисление/Основные свойства неопределённого интеграла

← Таблица интегралов | Основные свойства неопределённого интеграла | Методы интегрирования →

---

Прежде, чем рассматривать тему интегрирования далее, нужно условиться, что подразумевать под равенством двух интегралов. С формальной точки зрения при интегрировании всегда возникает произвольная постоянная, то есть равенство Шаблон:Формула правильнее записывать как Шаблон:Формула но это равенство можно представить и в виде Шаблон:Формула где $C=C_2-C_1$.

Также $C$ можно не писать во время вывода промежуточных формул, а приписать уже к конечному варианту суммарную константу. Этим в дальнейшем мы и будем пользоваться в данном учебнике.

Перейдём теперь к рассмотрению основных свойств неопределённого интеграла.

Шаблон:ЯкорьСвойство 4.1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла !!! если a не равно 0 !!!: Шаблон:Формула Шаблон:Доказательство Шаблон:ЯкорьСвойство 4.2. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов: Шаблон:Формула Шаблон:Доказательство Первые два свойства выражают линейность интеграла.

Шаблон:ЯкорьСвойство 4.3. Вид интеграла не зависит от вида переменной интегрирования: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула или, что тоже самое, Шаблон:Формула где $\phi (t)$ — непрерывная вместе со своей производной функция. Шаблон:Доказательство Так как в процессе интегрирования нужно получить функцию от $x$, то нужно сделать обратную подстановку $x=\phi (t)$.

Это свойство является основой метода замены переменной, или метода подстановки.

Очень часто приходится рассматривать интегралы вида: Шаблон:Формула Заменой переменной $\phi (x)=ax+b$ их можно свести к интегралу того же вида, но уже от новой переменной $\phi$: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Здесь мы переходим от $dx$ к $d(ax+b)$, пользуясь формулой $d(ax+b)=(ax+b{)}^{\prime }dx=adx$. Так что множитель $1/a$ в формуле (4.16) компенсирует постоянную $a$, появляющуюся в результате взятия производной от $ax+b$.

В частном случае, получим интегралы вида: Шаблон:Формула и Шаблон:Формула

В качестве примера вычислим интеграл от гиперболического синуса: Шаблон:Формула Воспользовавшись определением функции, получим: Шаблон:Формула Используя свойства 4.1 и 4.2 получим: Шаблон:Формула Интеграл от первого слагаемого сразу находится по таблице основных интегралов. Получаем: Шаблон:Формула Для вычисления интеграла от второго слагаемого согласно свойству 4.3 сделаем замену переменной $t=-x$, тогда получаем:$dx=-dt$, Шаблон:Формула в силу линейности интеграла и дифференциала. Поэтому окончательно, заметив, что последний интеграл табличный, имеем: Шаблон:Формула Вернёмся обратно к переменной $x$ и для двух слагаемых получим: Шаблон:Формула

В правой части стоит не что иное как гиперболический косинус: Шаблон:Формула Окончательно имеем: Шаблон:Формула Аналогичным образом, опуская подробности, найдём интеграл от гиперболического косинуса: Шаблон:Формула то есть Шаблон:Формула Эти же результаты можно было получить, используя связь тригонометрических и гиперболических функций.

Рассмотрим теперь несколько примеров на использование этого свойства.

Пример 4.1. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. По форме этот интеграл схож с интегралом от синуса, чтобы свести его к табличному виду введём замену переменной вида $\phi =\pi x$. Выразим отсюда $x$ и найдём вид дифференциала $dx$: Шаблон:Формула Подставим выражения (4.32) в исходный интеграл: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Чтобы получить исходный интеграл нужно в (4.33) снова вернуться к переменной $x$: Шаблон:Формула Пример 4.2. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Найти этот интеграл можно, если раскрыть скобку, используя формулу бинома Ньютона, но гораздо проще сделать замену $t=8x+5,dx=\frac{1}{8}dt$ и свести к интегралу от степенной функции: Шаблон:Формула Вернёмся снова к переменной $x$: Шаблон:Формула Пример 4.3. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. При внимательном рассмотрение можно заметить, что $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$, поэтому интеграл можно записать в виде: Шаблон:Формула В результате мы пришли к степенной функции, интеграл от которой известен: Шаблон:Формула Следовательно, окончательно мы имеем равенство: Шаблон:Формула Другие примеры и более подробная методика будут изложены в соответствующем разделе учебника.

Шаблон:ЯкорьСвойство 4.4. Имеет место следующее равенство: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула где $u$ и $v$ — две непрерывно дифференцируемые функции. Шаблон:Доказательство На свойстве 4.4 основан метод интегрирования по частям, который позволяет найти определённый класс интегралов, в которых изменение подынтегрального выражения может привести к более простому интегралу или к интегралу, метод решения которого известен.

Пример 4.4. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Чтобы найти этот интеграл попробуем изменить в нём подынтегральное выражение следующим образом: за функцию $u$ возьмём $\ln x$, то есть $u=\ln x$, остальные сомножители будут представлять собой дифференциал $dv=xdx$. Чтобы иметь возможность применить формулу (4.42) нужно найти $du$ и $v$: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Константу интегрирования в выражении (4.49) мы не пишем, потому что нас интересует определённая функция $v$, а не всё семейство, порождаемое интегрированием, поэтому можно положить, что здесь $C=0$.

Воспользуемся свойством 4.4, подставив выражения (4.48) и (4.49): Шаблон:Формула Интеграл $\int xdx=\frac{x^2}{2}$.

Окончательный ответ: Шаблон:Формула В разделе, посвящённом методам интегрирования, мы подробнее рассмотрим приёмы с использованием этого метода.