Просмотр кода страницы Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы

Хорошим модельным объектом для построения [[w:Разностная схема|разностных схем]] является линейное уравнение переноса:

<math>U_t+\lambda U_x=0</math>

Для него известно аналитическое решение (<math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math>,<math>U_0(x)</math> - произвольная функция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений.

Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном:

<math>\begin{matrix}
 & & U_{m}^{n+1} \\
 & & \bullet   \\
 & & |   \\
\bullet&-&\bullet \\
U_{m-1}^n& & U_m^n 
\end{matrix}
</math>

В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим:

<math>\frac{U_m^{n+1}-U_m^n}{\tau}+\lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h}=0</math>

или

<math>U_m^{n+1}=U_m^n\left(1-\lambda\frac{\tau}{h}\right)+U_{m-1}^n\lambda\frac{\tau}{h}</math>

Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при <math>1>\lambda\frac{\tau}{h}>0</math> эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при <math>h \rightarrow 0</math>

Остаются неясными некоторые вопросы, а именно:

* Почему мы выбрали именно такой шаблон?
* С чем связано требование <math>1>\lambda\frac{\tau}{h}>0</math>? И что делать, если, к примеру <math>\lambda<0</math>?
* Как оценить точность полученного таким способом решения?
* Можно ли построить более точный метод?


Попробуем кратко ответить на некоторые из этих вопросов.

Вопрос выбора схемы может быть решен из более-менее бытовых соображений. Смотрите - мы знаем, что аналитическое решение 
линейного уравнения переноса имеет вид:

<math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t) \,\! </math>

Раз так, наша задача - по ограниченной информации о решении на <math>n</math>-м временном слое построить решение на <math>n+1</math>-м слое.
Нас интересует, например, значение <math>U(x_m,t_{n+1})</math>. Исходя из вида аналитического решения, мы понимаем, что
<math>U(x_m,t_{n+1})=U(x_m-\lambda\tau,t_n)</math>. Для получения значения <math>U(x_m-\lambda\tau,t_n)</math> можно, например, применить [[Алгебраическая интерполяция|линейную интерполяцию]]. Ровно отсюда и следуют ответы на первый и часть второго вопроса - просто, если характеристика, опущенная из точки <math>(x_m,t_{n+1})</math> на <math>n</math>-й слой, попадает на другой отрезок, интерполировать надо по нему.

Таким образом, для <math>\lambda<0</math> получим шаблон:

<math>\begin{matrix}
U_{m}^{n+1} & &\\
\bullet & &  \\
 | & &  \\
\bullet&-&\bullet \\
U_{m}^n& & U_{m+1}^n 
\end{matrix}
</math>

И схему:

<math>U_m^{n+1}=U_m^n\left(1+\lambda\frac{\tau}{h}\right)-U_{m+1}^n\lambda\frac{\tau}{h}</math>

==О сходимости разностных схем==

Введем некоторые более аккуратные определения.

Предположим, что мы хотим найти решение <math>u</math> дифференциальной краевой задачи

<math>\hat L u = f</math>

поставленной в некоторой области <math>G</math> с границей <math>\delta G</math>. Здесь <math> \hat L </math> - некоторый дифференциальный оператор,<math>f</math> - функция от <math>U</math> и, возможно, <math>\vec r</math>. 
Для этого на компакте <math>G \cup \delta G</math> выберем дискретное множество точек <math>G_h</math> - сетку,
введем нормированное пространство <math>U_h</math> функций, определенных на сетке <math>G_h</math> и установим соответствие между решением <math>u</math> и функцией <math>[u]_h</math> из <math>U_h</math> - таблицей значений функции <math>u</math> на сетке. Теперь для приближенного нахождения искомой функции <math>[u]_h</math> на основе дифференциальной задачи построим разностную:

<math>\hat L_h u_h = f_h</math>

так, чтобы имела место сходимость:

<math>
||[u]_h-u_h||\rightarrow 0,h\rightarrow 0
</math>


TODO

==Об устойчивости разностных схем==

TODO

== Реализации ==

[[Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы/Реализация на Fortran-e]]

==Ссылки==
# Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб.пособие. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000 ISBN 5-9221-0047-5
# Демьянов А.Ю., Чижиков Д.В. [http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/213.pdf Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности], [http://zhurnal.ape.relarn.ru/ Электронный журнал «Исследовано в России»]

[[Категория:Вычислительная математика]]