Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы

Хорошим модельным объектом для построения разностных схем является линейное уравнение переноса:

$U_t+\lambda U_x=0$

Для него известно аналитическое решение ($U(x,t)=U_0(x-\lambda t)$,$U_0(x)$ - произвольная функция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений.

Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном:

$\begin{array}{ccc}& & U_m^{n+1}\\ & & \bullet \\ & & |\\ \bullet & -& \bullet \\ U_{m-1}^n& & U_m^n\end{array}$

В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим:

$\frac{U_m^{n+1}-U_m^n}{\tau }+\lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h}=0$

или

$U_m^{n+1}=U_m^n(1-\lambda \frac{\tau }{h})+U_{m-1}^n\lambda \frac{\tau }{h}$

Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при $1>\lambda \frac{\tau }{h}>0$ эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при $h\to 0$

Остаются неясными некоторые вопросы, а именно:

• Почему мы выбрали именно такой шаблон?
• С чем связано требование $1>\lambda \frac{\tau }{h}>0$? И что делать, если, к примеру $\lambda <0$?
• Как оценить точность полученного таким способом решения?
• Можно ли построить более точный метод?

Попробуем кратко ответить на некоторые из этих вопросов.

Вопрос выбора схемы может быть решен из более-менее бытовых соображений. Смотрите - мы знаем, что аналитическое решение линейного уравнения переноса имеет вид:

$U(x,t)=U_0(x-\lambda t)$

Раз так, наша задача - по ограниченной информации о решении на $n$-м временном слое построить решение на $n+1$-м слое. Нас интересует, например, значение $U(x_m,t_{n+1})$. Исходя из вида аналитического решения, мы понимаем, что $U(x_m,t_{n+1})=U(x_m-\lambda \tau ,t_n)$. Для получения значения $U(x_m-\lambda \tau ,t_n)$ можно, например, применить линейную интерполяцию. Ровно отсюда и следуют ответы на первый и часть второго вопроса - просто, если характеристика, опущенная из точки $(x_m,t_{n+1})$ на $n$-й слой, попадает на другой отрезок, интерполировать надо по нему.

Таким образом, для $\lambda <0$ получим шаблон:

$\begin{array}{ccc}{U}_m^{n+1}& & \\ \bullet & & \\ |& & \\ \bullet & -& \bullet \\ U_m^n& & U_{m+1}^n\end{array}$

И схему:

$U_m^{n+1}=U_m^n(1+\lambda \frac{\tau }{h})-U_{m+1}^n\lambda \frac{\tau }{h}$

О сходимости разностных схем

Введем некоторые более аккуратные определения.

Предположим, что мы хотим найти решение $u$ дифференциальной краевой задачи

$\hat{L}u=f$

поставленной в некоторой области $G$ с границей $\delta G$. Здесь $\hat{L}$ - некоторый дифференциальный оператор,$f$ - функция от $U$ и, возможно, $\overrightarrow{r}$. Для этого на компакте $G\cup \delta G$ выберем дискретное множество точек $G_h$ - сетку, введем нормированное пространство $U_h$ функций, определенных на сетке $G_h$ и установим соответствие между решением $u$ и функцией $[u{]}_h$ из $U_h$ - таблицей значений функции $u$ на сетке. Теперь для приближенного нахождения искомой функции $[u{]}_h$ на основе дифференциальной задачи построим разностную:

${\hat{L}}_h{u}_h=f_h$

так, чтобы имела место сходимость:

$||[u{]}_h-u_h||\to 0,h\to 0$

TODO

Об устойчивости разностных схем

TODO

Реализации

Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы/Реализация на Fortran-e

Ссылки

1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб.пособие. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000 ISBN 5-9221-0047-5
2. Демьянов А.Ю., Чижиков Д.В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности, Электронный журнал «Исследовано в России»