Просмотр кода страницы Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство

{{Содержание «Теория функций действительного переменного»}}

Пусть <math>f_1</math> и <math>f_2</math> — линейные функционалы на некотором линейном пространстве <math>E</math>.
''Суммой'' <math>f_1 + f_2</math> будем называть функционал <math>f</math>, определённый следующим образом:
: <math>f(x)=f_1(x) + f_2(x), \forall x \in E.</math>
''Произведение'' функционала <math>f_1</math> на число <math>\alpha</math> обозначается <math>\alpha f_1</math> и определяется как
: <math>f(x) = \alpha f_1(x), \forall x \in E.</math>

Пространство всех линейных функционалов, определённых на некотором топологическом линейном пространстве <math>E</math>, называется '''сопряжённым''' с пространством <math>E</math> и обозначается <math>E^*</math>.

Для линейных непрерывных функционалов может быть введена норма:
: <math>\left\| f \right\| = \sup_{\left\| x \right\| \neq 0} \frac{\left| f(x) \right|}{\left\| x \right\|} = \sup_{\left\| x \right\| = 1} \left| f(x) \right| </math>.

Проверим выполнение аксиом [[Теория функций действительного переменного/Нормированные и евклидовы пространства#Нормированные пространства|нормы]]:
# Неотрицательность следует непосредственно из определения.
#
# Абсолютная однородность. <math> \left\| \alpha f \right\| = \sup_{\left\| x \right\| = 1} \left| \alpha f(x) \right| = \alpha \cdot \sup_{\left\| x \right\| = 1} \left| f(x) \right| = \alpha \left\| f \right\| </math>.
# Аксиома треугольника. 


Таким образом, в пространстве <math>E^*</math>, сопряженное нормированному пространству, можно ввести естественную нормой.

Топология <math>E^*</math>, соответствующая данной норме называется ''Сильной топологией''.

'''Теорема 1.''' Сопряжённое пространство является полным.

{{BookCat}}