Просмотр кода страницы Тригонометрические функции в курсе математики средней школы

{{Готовность|50%}}
Ведущая методическая проблема, которая касается тригонометрии, выражается в формировании понятий тригонометрических функций („синус”, „косинус”, „тангенс” и „котангенс”) в соответствии с ''методикой обучения понятий либо методикой обучения действий''.
 Изучение тригонометрических функций, разумеется, должно начинаться с их определения. Это определение может быть дано многими способами. А именно: как решение некоторого дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию; при помощи степенных рядов; наконец, третье определение — '''геометрическое'''. Это — то определение, которое даётся в школьных учебниках. Оно может иметь различные модификации (например, можно определять тригонометрические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника или при помощи тригонометрического круга). Оставляя пока методические соображения, зададимся вопросом: ''являются ли приведённые выше способы определения тригонометрических функций '''равноценными''' с научной точки зрения''? На этот вопрос следует ответить <code>отрицательно</code>: <u>геометрическое определение хуже</u>. Первый недостаток связан с тем, что свойства этих функций ставятся в зависимость от некоторых положений, имеющих место только в евклидовой геометрии; в действительности же ''свойства тригонометрических функций вовсе НЕ зависят от того, какой геометрией мы пользуемся''. Второй недостаток геометрического определения заключается в том, что по этому определению тригонометрические функции являются обязательно ''функциями угла''. Это обстоятельство в глазах школьника отличает тригонометрические функции от всех других функций. Школьник смотрит совсем по-разному на функции <math>\lg{x}</math> и <math>\sin{x}</math>; он понимает, чтó значит логарифм числа, но не понимает, чтó значит синус числа. Даже если углы измеряются в так называемой отвлечённой мере и рассматривается <math>\sin{2}</math>, то всё-таки под этим символом понимается синус ''угла'', равного двум радианам.{{sfn|Бескин|Глава I. Содержание школьного курса тригонометрии: §1. Критика сложившегося школьного курса тригонометрии|с=5—10}}
Напомним, что любая методика состоит из '''этапов''' формирования понятий (либо действий). Будем нумеровать так: «Шаг I. ...; Шаг II. ... ».

== Шаг I. Тригонометрические функции острого угла ==
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
!Учебник
!Определения
!Подход к определениям
!Природа образования аргумента
!Область значений аргумента
!Область применения тригонометрических функций
!Функциональная природа
|-
|Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава VII: §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника)|с=156}}
|Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
| rowspan="2" |Через отношение сторон прямоугольного треугольника
| rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла)
| rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>90^\circ</math>
|Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов
|Неявно
|-
|Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (1. Тригонометрические функции острого угла)|с=35—36}}
|Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''синусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\sin{A}</math>.

Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''косинусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\cos{A}</math>.

Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к прилежащему называется '''''тангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{tg}\, {A}</math>.

Отношение прилежащего к углу <math>A</math> катета к противолежащему называется '''''котангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {A}</math>.
|Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, сравнение величин углов, доказательство тождеств, вывод простейших формул приведения для аргументов вида <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>.
|Явно оформляется в теореме
|}

=== Подготовительный этап ===
Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём.

=== Мотивационный этап ===
На мотивационном этапе следует внедрять задачи с практическим содержанием, соответствующие субъективному опыту ученику. К этим задачам необходимо вернуться по завершению темы: “Тригонометрические функции острого угла”. Объясняется тем, что учащиеся теперь смогут решить задачи, поставленные вначале указанной темы.

=== Ориентировочный этап ===
На этом этапе определения тригонометрических функций даются конструктивно (генетически). Следовательно, основное внимание уделяется формированию ведущих действий:

* построение угла по заданным значениям тригонометрических функций;
* вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений.
{{Важное|текст=Функциональная природа выявлена неявно, то есть термин «функция» не используется в определении тригонометрических функций.
Почему?
Дело в том, что авторы учебников акцентируют внимание учащихся на геометрическом аспекте тригонометрии. А именно её приложении в геометрии, что в основе своей рассматривается в теме: “Решение треугольников”.}}

=== Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий ===
''Под выведением следствий'' понимается доказательство теорем о <u>свойствах тригонометрических функций</u>.

Данный этап зависит во многом от учебника.
{{Пример| ''Косинусом'' острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла <math>\alpha</math> обозначается так:  <math>\cos{\alpha}</math>. Оказывается, что это отношение зависит только градусной меры угла, но не зависит от размеров треугольника и его расположения, т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

{{Теорема|'''Косинус угла зависит только от градусной меры угла.'''}}

Источник: {{sfn|Погорелов|7 класс: §7. Теорема Пифагора (39. Косинус угла)|с=81}}}}
В учебнике А. В. Погорелова написано утверждение в виде теоремы-свойства котангенса, в котором функция (вернее, функциональная природа котангенса) «спрятана», то есть указаны компоненты определения термина “функция” (а именно: <u>зависимость одной величины от другой</u>).
Аналогично для синуса, тангенса (и котангенса). Кроме того, в указанной формулировке теоремы «спрятано» свойство, характеризующее саму функцию — свойство монотонности  функции. Такое свойство тригонометрической функции позволяет объяснить «устройство» таблиц (например, [[w:Таблицы_Брадиса|таблиц Брадиса]]).

=== Обучение применению тригонометрических понятий ===
Этот этап подразумевает:

# <code>Непосредственное применение понятий</code> — ''выражение неизвестного элемента треугольника через известное'';
# <code>Установление внутрипредметных связей</code> — ''решение прямоугольных треугольников''.
{{Совет|Учащимся можно предложить так называемые “неполные задачи”.

К задаче в форме вопроса: «Дана гипотенуза. Что нужно знать, чтобы найти синус острого угла?» — ответ «катет» будет ошибочным.}}
{{Внимание|На <code>I-м шаге</code> основную нагрузку несёт вычислительная линия. Поэтому следует обратить внимание на совершенствование вычислительных навыков.

Частично на этом же этапе реализуется линия тождественных преобразований. Другими словами, ученики также работают с тождественными преобразованиями в задачах по алгебре и геометрии, где применяются начала тригонометрии. Так, представляя по определению тангенс острого угла как отношение противолежащего катета к прилежащему применительно к данному углу в прямоугольном треугольнике, иногда приходится выражать знаменатель указанной дроби, что требует дополнительных усилий в преобразовании равенства.

Ещё один момент первого шага связан с пропедевтикой решения тригонометрических уравнений. Пропедевтика заложена в ведущем действии и, следовательно, проявляется в построении углов.}}

== Шаг II. Тригонометрические функции угла от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> ==
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
!Учебник
!Определения
!Подход к определениям
!Природа образования аргумента
!Область значений аргумента
!Область применения тригонометрических функций
!Функциональная природа
|-
|Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника: §1. Синус, косинус и тангенс угла (93. Синус, косинус, тангенс)|с=252—252}}
|Для любого угла <math>\alpha</math> из промежутка <math>0^\circ\leqslant {\alpha}\leqslant 180^\circ</math> синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината <math>y</math> точки <math>M</math>, а косинусом угла <math>\alpha</math> — абсцисса <math>x</math> точки <math>M</math>.

Тангенсом угла <math>\alpha</math> (<math>\alpha\neq 90^\circ</math>) называется отношение <math>\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}</math>.
|С помощью координатной плоскости, в которую помещена полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат.
| rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла)
| rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> для синуса и косинуса, а для тангенса исключается угол в <math>90^\circ</math>.
|Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, вывод простейших формул приведения для аргументов:

* <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>,
* <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>.
| rowspan="2" |Неявно
|-
|Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (9. Тригонометрические функции прямого и тупого углов)|с=45—47}}
|Синусом тупого угла <math>A</math> будем называть отношение <math>BC</math> [длины перпендикуляра] к <math>AB</math> [длине наклонной], т. е. <math>\sin{A}=\frac{BC}{AB}</math>.

Иначе говоря, синус тупого угла <math>A</math> равен синусу угла, смежного с углом <math>A</math>, т. е. <math>\sin{A}=\sin{\left(180^\circ-A\right)}</math>.

Косинусом тупого угла <math>A</math> называют отношение <math>AC</math> [длины проекции наклонной] к <math>AB</math> [длине наклонной], взятое со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\frac{AC}{AB}</math>.

Иначе говоря, косинус тупого угла <math>A</math> равен косинусу угла, смежного с углом <math>A</math>, взятым со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\cos{\left(180^\circ-A\right)}</math>.

Тангенс и котангенс тупого угла <math>A</math> определяются равенствами <math>\mathrm{tg}\, {A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}</math>, <math>\mathrm{ctg}\, {A}=\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}</math>.
|Отношение длины перпендикуляра либо длины проекции наклонной к длине самой наклонной.
Также даётся эквивалентная формулировка через смежные углы.
|Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, доказательство тождеств, упрощение выражений, вывод простейших формул приведения для аргументов:

* <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>,
* <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>.
Доказательство теоремы синусов и теоремы косинусов. Введение скалярного произведения двух ненулевых векторов в векторной форме записи.
|}
=== Подготовительный этап ===
Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём.

=== Мотивационный этап ===
На мотивационном этапе предлагаются также практикоориентированные задачи либо исторические сведения. К последнему можно отнести такие факты из различных областей знания, где применяется тригонометрия (сферическая геометрия, биология и медицина, география, искусство и архитектура и пр.).

=== Ориентировочный этап ===
Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]].
{{Внимание|Построение углов происходит на '''полуокружности''', поэтому следует помнить следующие обстоятельства:
# Расчётное значение <math>0\leqslant \sin{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>;
# Расчётное значение <math>-1\leqslant \cos{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>;
# Eсли <math>\sin{\alpha^\circ} = m</math>, где <math>m\in \left[0,1\right]</math>, то в качестве ответа указываются два значения <math>\alpha^\circ</math>;
# При переходе от <math> \sin{\alpha^\circ}</math> к <math> \cos{\alpha^\circ}</math> следует помнить, что <math> \cos{\alpha^\circ} = \pm \sqrt{1-\sin^2{\alpha^\circ}}</math>, и в этом случае задача может иметь два решения!}}

=== Этап выведения следствий (в виде формул) ===
В частности, доказываются «первые» формулы приведения. Грубо говоря, это тригонометрические функции, аргумент которых имеет вид<ref>Формула, которая „приводит” тригонометрическую функцию, содержащую в качестве аргумента разность <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, к тригонометрической функции острого угла <math>\alpha^\circ</math>, верна для '''острых углов''', а не тупых. Поэтому её рациональнее давать на <code>I-м шаге</code>.</ref>:

* <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>;
* <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>.
Также изучаются теоремы синусов, косинусов и их следствия. Ведущее действие: <u>решение косоугольных треугольников</u>.

== Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла ==
Ранее эта тема изучалась также в 9-м классе. Найти можно только в учебниках по геометрии с углублённым изучением предмета.
Однако потом тему внесли в тригонометрию 10-го класса.

На этом шаге выводятся все формулы тригонометрии.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Учебник
!Определения
!Подход к определениям
!Природа образования аргумента
!Область значений аргумента
!Область применения тригонометрических функций
!Функциональная природа
|-
|Колягина{{sfn|Колягин и др.|Глава VIII. Тригонометрические формулы: §3. Определение синуса, косинуса и тангенс угла|с=269—271}}
|Синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\sin{\alpha}</math>).

Косинусом угла <math>\alpha</math> называется абсцисса точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\cos \alpha</math>).

Тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}</math>).

В преобразованиях иногда используется котангенс угла <math>\alpha</math> (и обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}</math>), который определяется формулой <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}</math>.
|С помощью помещённой в координатную плоскость окружности единичного радиуса с центром в начале координат.
| rowspan="2" |Под аргументом понимается угол поворота (мера поворота/вращения).
Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол.
| rowspan="2" |Для синуса и косинуса могут быть любые градусные меры угла поворота, для тангенса исключается величина угла поворота вида <math>90^\circ + 180^{\circ}\cdot n\mid n\in \mathbb{Z}</math>, а для котангенса величина угла поворота (в градусах) принимает все действительные значения, кроме <math>180^{\circ}\cdot t\mid t\in \mathbb{Z}</math>.
| rowspan="2" |Решение простейших тригонометрических уравнений, доказательство тождеств, вычисление значений тригонометрических функций, упрощение выражений, решение тригонометрических неравенств, вывод формул приведения
| rowspan="2" |Явно, поскольку изучаются свойства функций.
|-
|Нелина{{sfn|Нелин|Раздел 2. Тригонометрические функции: §3. Тригонометрические функции угла и числового аргумента|с=152—157}}
|''Синусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\sin{\alpha}=\dfrac{y}{R}</math>.
''Косинусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\cos{\alpha}=\dfrac{x}{R}</math>.
''Тангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её абсциссе: <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}=\dfrac{y}{x}</math> (конечно, при <math>x\neq 0</math>).

''Котангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её ординате: <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{x}{y}</math> (при <math>y\neq 0</math>).
|С помощью помещённой в координатную плоскость окружности произвольного радиуса с центром в начале координат.
В частности, рассматривается единичная окружность для упрощения приведённых определений тригонометрических функций.
|}
{{Задание|Найдите определения тригонометрических функций в учебнике Е. П. Нелина, сформулированные для единичной окружности.}}
=== Подготовительный этап ===
Повторить и сформировать понятие “'''угол поворота'''”. Действия, необходимые для формирования этого понятия:
# построение на окружности точек, соответствующие углу поворота;
# запись угла поворота, соответствующее точкам на окружности.
=== Мотивационный этап ===
Данный этап вызван потребностями практики. Необходимо привести примеры из физики. Скажем, уравнения, задающие вращательное движение.

=== Ориентировочный этап ===
Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]].

На этой стадии изучения основная область применения — тождественные преобразования, содержащие тригонометрические функции.

Ввести понятие “радиана”.

=== Этап формирования других свойств ===
Тут уже изучаются свойства функций:

* знаки по четвертям;
* чётность/нечётность;
* периодичность (неявно, т. е. без введения определения периодичности функции).
Обосновываются основные действия над тригонометрическими функциями — так называемые ''формулы тригонометрии''. Перечислим их.

==== Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента ====
Данный блок представляет собой взаимоотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, записанные в виде алгебраических соотношений, или формул.

<ol type="I" start="1">
<li>[[w:Основное_тригонометрическое_тождество|Основное тригонометрическое тождество]]: «''Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента постоянна и равна единице''». Символьная формулировка: <math>\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1</math>. Формула доказывается при помощи [[w:Теорема_Пифагора|теоремы Пифагора]]. Из этой формулы выводятся следствия:
<li>Квадрат синуса есть разность единицы и квадрата косинуса того же аргумента, т. е. <math>\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}</math>. Цель: применение в преобразованиях выражений.
</li>
<li>Формула <math>\sin{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}</math>, справедливая для любого аргумента <math>\alpha</math>. Цель: для вычисления тригонометрической функции.
</li>
<li>Зависимость тангенса и котангенса: «''Произведение тангенса и котангенса одного аргумента постоянно и равно единице''».

'''Символьная формулировка''': <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}\cdot\mathrm{ctg}\, {\alpha}=1</math>, кроме аргументов <math>\alpha = 90^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>.</li>
<li>Зависимость тангенса и косинуса.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ'''
|-
|

{| class="wikitable"
|+ ''Дано'':  выражение <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>, где <math>\alpha \neq  90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>.
<br />Доказать, что <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>.
|-
! Шаг !! Утверждение !! Обоснование
|-
| '''1''' || Напишем <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>. || Условие, рефлексивность отношения равенства.
|-
| '''2''' || Далее <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \left[\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right]^2</math>. || Пункт 1, определение тангенса произвольного угла.
|-
| '''3''' || Тогда <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \dfrac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, определение и свойство степени <ref>Квадрат частного двух выражений равен частному квадратов этих выражений</ref>.
|-
| '''4''' || Теперь получим следующее: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение дроби, приведение к общему знаменателю числа и дроби.
|-
| '''5''' || Или: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 4, коммутативный (переместительный) закон сложения.
|-
| '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, что и требовалось доказать. || Пункт 5, основное тригонометрическое тождество..
|}
|}</li>
<li>Зависимость котангенса и синуса.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ'''
|-
|

{| class="wikitable"
|+ ''Дано'': <math>\alpha \in \mathbb R</math>.
<br />Доказать, что <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>.
|-
! Шаг !! Утверждение !! Обоснование
|-
| '''1''' || Напишем <math>\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1</math>. || Условие, основное тригонометрическое тождество.
|-
| '''2''' || Далее <math> \left.\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \;\right\vert : \sin^2{\alpha} \neq 0</math>. || Пункт 1, определение и свойство тождественного равенства, определения ОДЗ выражения и равносильного перехода на некоторой области.
|-
| '''3''' || Тогда <math>\dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, равносильный переход на области.
|-
| '''4''' || Теперь получим следующее: <math>\dfrac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}+\dfrac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} =  \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение и свойство алгебраической дроби.
|-
| '''5''' || Или: <math>1+\left[\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\right]^2 = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункты 2 и 4, основное свойство дроби, определение и свойство степени.
|-
| '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, которое выполняется при <math>\alpha \neq  90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. || Пункт 5, определение котангенса произвольного угла.
|}
|}</li>
<li>Определения секанса и косеканса произвольного угла, следствия из определений.
</ol>

==== Блок Б. Формулы сложения и вычитания ====
{{Смотрите также|
*[[Внутрипредметные связи#Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией|Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией]].
*[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B5.pdf Теоремы сложения и разности двух аргументов].}}

==== Блок В. Формулы двойного аргумента ====

==== Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций ====

==== Блок Д. Произведение тригонометрических функций ====

==== Блок Е. Формулы приведения ====
'''Блок Ё. Введение вспомогательного аргумента'''
=== Методы доказательства тождеств и неравенств ===
Поскольку на  этапе формирования других <code>III</code>-го шага речь идёт о выведении следствий, то формируются умения, входящие в '''метод тождественных преобразований'''.

<code>Компоненты метода</code>: перенос общих приёмов тождественных преобразований алгебраических выражений на тригонометрические.

Поэтому свойства введённых тригонометрических функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Так, необходимо прояснить, какие и{{Ударение}}менно преобразования дети могут выполнять, чтобы не случались '''ошибки''' вроде этой: <math>\operatorname{ctg}{x}+\mathrm{ctg}\,{4x} = \operatorname{ctg}{5x}</math>. Если введены новые понятия, то появляются и новые операции над ними. О правилах действий над понятиями «говорят» формулы, которые необходимо раз за разом отрабатывать!

==== Доказательство непосредственной проверкой ====

==== На основании определения равных числовых выражений ====

==== Метод нисходящего и восходящего анализа ====

==== Метод «от противного» ====
<u><code>Суть</code></u>: ''предполагаем, что требование неверно и после преобразований получаем противоречие с условием либо с истинным неравенством.''

== Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента ==

=== Подготовительный этап ===
Повторить предыдущие определения и все свойства функций.

=== Мотивационный этап ===
Тут обращаем внимание школьников на область определения аргумента. На предыдущих шагах область определения аргумента — это множества, обладающие размерностью [градусное исчисление угловых мер]. Также предлагаем задачи с практическим содержанием. Подводим детей к гармоническим колебаниям как к внутренней потребности математики.

=== Ориентировочный этап ===
На этом этапе ведущие действия:

* построение точек, углов и графиков;
* вычисление значений тригонометрических функций.
Формируем понятия: ордината и абсцисса точки.

{{Внимание|Важно разрушить представление об измерении аргументов, то есть аргумент принимает не только значения градусных мер, но и любые другие величины. Например, под знаком тригонометрической функции может стоять параметр, пробегающий временны́е значения.}}

=== Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий ===

# Исследование и построение графиков функций;
# Решение уравнений, неравенств и их систем (предварительно введя арк-функции).

=== Методы решения тригонометрических уравнений ===
Метод появляется тогда, когда уравнение не сводится к простейшему (линейное, квадратное и сводящееся к ним).

Напомним некоторые методы решения уравнений в алгебре:

# Разложение на множители
# Замена переменной
# Переход
# Функциональный
# Графический
Для каждого метода можно выделить его формы и способы реализации.

==== Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ) ====
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Формы метода
!Способы реализации
!Примеры
|-
| rowspan="3" |ПТУ и сводящиеся к ним
|По определению, используя тригонометрическую окружность (построение точек и применение определения тригонометрчиеской функции)
|
|-
|Графический (построение графика функции)
|
|-
|По формулам (общая формула корней соответствующего тригонометрического уравнения)
|
|-
|<math>k\cdot f\left(x\right)=m</math>
|Решение линейного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а затем соответствующего тригонометрического
|
|-
|<math> f\left(ax+b\right)=m</math>, <math> f\left(x^2\right)=m</math>
|Решение соответствующего тригонометрического уравнения, а затем алгебраического
|<math>\cos{\left ( 3x+\dfrac{\pi}{4} \right )}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
|-
| rowspan="2" |<math>f^2\left(x\right)=m,\,m>0</math>
|Формулы понижения степени и решение уравнение, сводящееся к ПТУ относительно нового аргумента<ref>Понижая степень, мы получаем одно тригонометрическое уравнение и сразу же объединённые корни.</ref>
|<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\dfrac{1-\cos{2x}}{2}=\dfrac{1}{4}</math>
|-
|Решение квадратного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а далее решить ПТУ<ref>Если мы решаем уравнение как квадратное, то на выходе придётся решать два тригонометрических уравнения, объединённых квадратной скобкой. К тому же, будем иметь два семейства корней, которые дополнительно надо объединять. И не обязательно, что явятся нам табличные значения тригонометрических функций!!!</ref>
|<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\sin^2{x}-\dfrac{1}{4}=0</math>
|}

==== Метод замены переменной ====
<u><code>Суть метода замены</code></u>: ''сведение к одноимённой тригонометрической функции одного аргумента''.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Формы метода
!Способы реализации
!Примеры
|-
|Алгебраические уравнения относительно одноимённой тригонометрической функции одного аргумента.
А также уравнения к ним сводящиеся
|Решение соответствующего алгебраического уравнения, а затем решение ПТУ.
|<math>\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0</math>
|-
| rowspan="2" |Однородные уравнения<ref>{{Определение|Уравнение называется <code>однородным</code>, если все его члены имеют одну и ту же степень.|1}}{{Определение|<code>Однородным тригонометрическим уравнением</code> <math>n</math>-й степени называется уравнение вида <math>A_{0}\sin^{n}{x} + A_{1}\sin^{n-1}{x}\cos{x} + A_{2}\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x} + \ldots + A_{n}\cos^{n}{x}=0.</math>|2}}</ref> (I, II и III степени) относительно синуса и косинуса, а также к ним сводящиеся:

* <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math>;
* <math>a\cdot\sin^2{x}+b\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}+c\cdot \cos^2{x}=d</math> 
|Сведение к тангенсу и котангенсу, а затем решение ПТУ
|
|-
|Для уравнения <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math> вводим вспомогательный аргумент (например, <math>\varphi = \mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}</math>) и используем формулу <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\}</math>. Получаем уравнение <math>\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\} = c</math>.{{Совет|Также можно решать сведением к однородному уравнению II-й степени, переходя к половинному аргументу.
Теоретическая база: основное тригонометрическое тождество, формулы синуса и косинуса двойного аргумента.}}
|
|-
|Уравнения, содержащие одновременно сумму (разность) и произведение синуса и косинуса, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных.
|Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm \cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,\; \pm\dfrac{t^2-1}{2} \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения.
|<math>3\left ( \sin{x} + \cos{x} \right ) + 2\sin{x} \cos{x}+1 =0</math><math>\dfrac{1}{\cos{x}}-\dfrac{1}{\sin{x}} + \dfrac{1}{\sin{x}\cdot \cos{x}} = 4</math>
|-
|Уравнения, содержащие одновременно сумму синуса и косинуса и синус двойного аргумента, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm\cos{x},{\;} \sin{2x}\right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных.
|Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm\cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,{\;} {\pm}\left[{t^2-1}\right] \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения.
|<math>2\left ( 1- \sin{2x} \right ) - 5\left ( \sin{x} - \cos{x} \right ) + 3 = 0</math><ref>Можно применить эвристическое соображение: «Если для объектов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> найдутся такие ненулевые числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, что выполняется равенство <math>\alpha A + \beta B = \left(\alpha + \beta \right)C</math>, тогда <math>A=B=C</math> либо же <math>\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{C-B}{A-C}</math> (<math>\alpha \neq \beta</math>)», в истинности которого несложно убедиться.</ref>
|-
| rowspan="2" |Уравнения, содержащие различные тригонометрические функции одного и того же аргумента
|Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента|Блока А]].
|<math>2\left ( \cos^4{x} - \sin^{4}{x} \right )=1</math>
|-
|Использование '''универсальных тригонометрических подстановок''' ('''УТП''').{{Внимание|Применение УТП часто приводит к достаточно сложным алгебраическим уравнениям. Поэтому её используют только в том случае, когда нет других методов решения тригонометрического уравнения.}}
|<math>\cos{x}+\dfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=1</math>
|-
|Уравнения, содержащие одноимённые тригонометрические функции от разных аргументов
|Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Д. Произведение тригонометрических функций|Блока Д]].
|<math>\cos 3x + \cos x = 0,2</math><math>\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0</math><math>\cos {x}  \cos{3x} = \cos{5x} \cos {7x}</math>
|-
|Уравнения, содержащие разноимённые тригонометрические функции от разных аргументов
|Использование '''УТП'''.
В общем случае, это применение формул тригонометрии.
|<math>3\sin{2x}-\cos{2x}-2\mathrm{tg}\, {x} + 5\mathrm{ctg}\, {x} = 4</math>
|}

{{Вопрос|Какие формулы нужно применить, чтобы уравнения вида <math>\mathcal{F}\left(\sin{t};\,\cos^{2}{t}\right)=0</math> и <math>\mathcal{F}\left(\operatorname{tg}\,{t};\,\operatorname{ctg}\,{t}\right)=0</math> свести к квадратному тригонометрическому уравнению?}} 

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений. 
{{Важное|Если в уравнение неизвестная входит 
в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с неизвестной обозначить одной буквой (новой переменной)}}
{{Пример|Решите уравнение <math>2\sin^2{x}- 7\sin{x}+3=0</math>.

{{Комментарий}}
Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая
функция <math>\sin x</math>. Поэтому удобно ввести новую переменную <math>t \rightleftharpoons\sin x</math>.
После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.<ref>'''Замечание'''. Записывая решение данного примера, можно при введении замены <math>t \rightleftharpoons\sin x</math> учесть, что <math>\left\vert \sin x \right\vert \leqslant 1</math>, и записать ограничения <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, а далее заметить, что один из корней <math>t = 3</math> не удовлетворяет неравенству <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, и после этого обратную замену выполнять только для <math>t = \dfrac{1}{2}</math>.</ref>

'''Ответ:''' <math>\left \{ \left .\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>.}}

Решим следующую задачу разными приёмами.
{{Задача| <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>.|<code>Приём 1</code>: применение основного тригонометрического тождества (ОТТ).
Компоненты:
# Выразить <math>\cos{x}</math> через <math>\sin{x}</math>.
# Уединить радикал <math>\pm\sqrt{1-\sin^2{x}}</math>.
# Возвести в квадрат полученное уравнение.
# Привести подобные члены.
# Решить уравнение: <math>\cos^2{x}=\dfrac{1}{2}</math>.
# Проверить подстановкой в исходное (учёт появления посторонних корней, поскольку попутно было решено уравнение <math>\cos{x}=\sin{x}</math>).

<code>Приём 2</code>: применение формулы синуса двойного аргумента.
Компоненты:
# Написать формулу <math>\sin{2x}=\left(\cos{x}+\sin{x}\right)^2-1</math>.
# Воспользоваться условием <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>, то есть подставить значение суммы, равное нулю, в формулу.
# Решить уравнение: <math>\sin{2x}=-1</math>

<code>Приём 3</code>: применение определения и свойства ОТУ I-й степени.
Компоненты:
# Распознать ОТУ I-й степени.
# Перенести <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math> в одну часть равенства.
# Разделить уравнение на <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math>.
# Решить одно из уравнений: <math>\operatorname{tg}\,{x} = -1</math> либо <math>\operatorname{ctg}\,{x} = -1</math>.

<code>Приём 4</code>: применение УТП.
Компоненты:
# Вместо <math>\cos{x}</math> и <math>\sin{x}</math> подставить выражения <math>\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math> и соответственно <math>\dfrac{2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math>.
# Учесть ОДЗ переменной <math>x \neq \pi +2\pi k</math>, где <math>k\in \mathbb Z</math>.
# Умножить полученное уравнение на <math>1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} \neq 0</math>.
# Решить квадратное тригонометрическое уравнение: <math>-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} + 2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}} +1= 0</math>.

<code>Приём 5</code>: применение формулы дополнительных аргументов<ref>{{Определение|Два аргумента называют <code>дополнительными</code>, если их сумма равна <math>\dfrac{\pi}{2}</math>.}} Так, аргументы <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> являются дополнительными друг к другу. Дополнительные аргументы обладают следующим свойством.{{Теорема|Взаимные кофункции дополнительных аргументов равны между собой.}} Также можно доказать, что '''сумма одноимённых тригонометрических функций дополнительных аргументов <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> всегда выражается через <math>\sin{2x}</math>'''.</ref> (частный случай формулы приведения), формулы суммы косинусов двух аргументов.
Компоненты:
# Вместо <math>\sin{x}</math> подставить выражение <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}</math>.
# Воспользоваться формулой <math>\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>.
# Разделить полученное уравнение на <math>2\cos{\dfrac{\pi}{4}}</math>.
# Решить ПТУ: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)} = 0</math>.

<code>Приём 6</code>: применение определения синуса и косинуса некоторого аргумента, нечётности синуса.
Компоненты:
# Уединить <math>\cos{x}</math>.
# Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>.
# Нарисовать тригонометрическую окружность.
# Применить определения синуса и косинуса.
# Получить на окружности две точки, для которых выполняется требуемое равенство.
# Записать аналитически семейство этих решений.

<code>Приём 7</code>: применение формулы косинуса разности (либо же синуса суммы).
Компоненты:
# „Домножить” обе части исходного равенства на <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>.
# Получить уравнение-следствие <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x}=0</math>.
# Воспользоваться табличными значениями для синуса и косинуса от аргумента <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>.
# «Свернуть» либо по формуле <math>\cos{\alpha - \beta} =  \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}</math>, либо по формуле <math>\sin{\alpha + \beta} =  \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}</math>.
# Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)} = 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>.

<code>Приём 8</code>: применение формулы введения вспомогательного аргумента.
Компоненты:
# Применить одну из формул: <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}</math> либо <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}</math>.
# Заменить левую часть на выражение, стоя́щее в правой части одной из формул.
# Разделить обе части уравнения на  <math>\sqrt{2}</math>.
# Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}= 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>.

<code>Приём 9</code>: построение графиков функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y =\sin{\left(-x\right)}</math>.
Компоненты:
# Уединить <math>\cos{x}</math>.
# Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>.
# Построить графики функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y = \sin{\left(-x\right)}</math>.
# Пересечение обоих графиков даст искомые решения, указать их.
# Записать аналитически семейство этих решений.

<code>Приём 10</code>: применение МЗФ функций синуса и косинуса.
Компоненты:
# Воспользоваться тем, что <math>\cos{x} \in \left[-1,\,1\right]</math> и <math>\sin{x} \in \left[-1,\,1\right]</math>.
# А также вспомнить, что обе функции одновременно не обращаются в нуль ни при каком аргументе (проверьте!).
# Так как по модулю <math>\cos{x}</math> равен <math>\sin{x}</math>, то их квадраты равны.
# Поэтому <math>\cos^2{x} + \sin^2{x} = 2\cdot \cos^2{x} =1</math>, т. е. <math>\left\vert\cos{x}\right\vert = \left\vert\sin{x}\right\vert =\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>.
# Следовательно, <math>\begin{cases} \cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math> либо же <math>\begin{cases} \cos{x} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}</math>.
# Решить совокупность двух систем уравнений.
# Записать аналитически семейство этих решений.

'''Ответ:''' <math>\left \{ \left .-\dfrac{\pi}{4} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>.
}}{{Задание|Рассортировать все приёмы, которые описаны в задаче, по методам решения.}}
Переходим ко второму довольно известному методу.

==== Метод разложения на множители ====
<u><code>Суть метода разложения на множители</code></u>: ''исходное уравнение привести к виду <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )\cdot  \ldots \cdot f_{n}\left ( x \right )=0</math>''.

Решение таких уравнений основано на следующем теоретическом положении.
{{Правило в рамке/Алгебра|текст=Если левая часть уравнения является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, то корнями такого уравнения служат те и только те значения неизвестной, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, но ни один из остальных НЕ теряет числового смысла.}}
Это положение подчёркивает важность предварительного нахождения ОДЗ неизвестной.{{sfn|Абрамович, Стародубцев|Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства: §1. Уравнения|с=98—99}}
{{Теорема|Уравнение <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> равносильно совокупности двух систем <math>\begin{cases} f_{1}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{2}} \end{cases}</math> и <math>\begin{cases} f_{2}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{1}} \end{cases}</math>.}}Другими словами, множество решений уравнения <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> есть объединение множеств решений двух вышенаписанных систем.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Формы метода
!Способы реализации
!Примеры
|-
| rowspan="3" |Разложение на множители при помощи приёмов алгебры
|Вынесение общего множителя<ref>''Теоретическая основа'' приёма: '''распределительный закон умножения'''.</ref>
|<math>2\color{brown}\cos^2{x}\color{black}- \color{brown}{\cos x}\color{black} \cdot \sin x = 0</math>
|-
|Группировка слагаемых
|<math>\color{red}1\color{black}-{\sin{x}}\cdot \color{blue}{\cos{x}}\color{black} +\color{black}\color{red}\sin{x}\color{black} - \color{blue}{\cos{x}}\color{black}=0</math><ref>'''''Другой метод'''''. Применение подстановки, так как уравнение имеет вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных.</ref>
|-
|Формулы сокращённого умножения
|
|-
| rowspan="2" |Разложение на множители при помощи формул тригонометрии
|Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]]
|<math>2\sin{17x}+\sqrt{3}\cos{5x}+\sin{5x}=0</math>, т. к. <math>\sin{17x}+\sin{\left\{5x+\dfrac{\pi}{3}\right\}}=0</math>
|-
|Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]]
|<math>\sin{5x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-5x\right)}+\cos{x} = 0</math>
|-
|Комбинация алгебры и тригонометрии
|Формулы из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок В. Формулы двойного аргумента|Блока В]], [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]]
|<math>3\sin{2x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{x}\left(6\sin{x}+1\right)=0</math>
|}

{{Пример|Решите уравнение <math>\operatorname{tg}^3{2x}- \operatorname{tg}\,{2x}=0</math>.

{{Комментарий}}
В заданное уравнение переменная входит только в виде <math>\operatorname{tg}\,{2x}</math>. Необязательно вводить новую переменную, а достаточно разложить на множители левую часть методами алгебры: определение и вынесение общего множителя, формула разности квадратов.
Ответ записывается трёхточечным множеством.}}

{{Пример|Решите уравнение <math>\sin{7x} = \sin{5x}</math>.

{{Комментарий}}
Достаточно трудно все тригонометрические функции в этом уравнении привести к одному аргументу. В таком случае приходится ''переносить все члены уравнения в одну сторону и пробовать получить произведение, равное нулю''.
Для этого воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:
:<math>\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}.</math>
''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. В данном случае все данные и полученные выражения имеют смысл на всём множестве действительных чисел.
В конце учитываем, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений <math>\sin{x} = 0</math> или <math>\cos{6x} = 0</math>, и поэтому в ответе должны быть записаны все корни каждого из этих уравнений.}}


{{Пример|Решите уравнение <math>\sin{x} + \sin{3x}= \sin{4x}</math>.

{{Комментарий}}
Сразу ''переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю''.

Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоя́щей в левой части уравнения, в произведение:
:<math>\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>
:(учтём, что <math>\cos {\left(-x\right)} = \cos{x}</math>).
Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать <math>\sin{4x}</math> как синус двойного аргумента (тогда за скобки выносится <math>\sin{2x}</math>).
''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''.
Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. 
действительных чисел. В конце учитываем, что все данные и полученные выражения существуют на всём множестве действительных чисел.  Таким образом, данное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений: <math>\sin{2x} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{3x}{2}} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{x}{2}} = 0</math>, и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.<ref>'''Замечание'''. Запись ответа можно сократить. Так, если изобразить все найденные решения на единичной окружности, то можно увидеть, что решение <math>x=2\pi k</math> даёт те же точки, что и формула <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> при <math>n</math>, кратном <math>4</math> (<math>n=4k</math>), или формула <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math> при <math>m</math>, кратном <math>3</math> (<math>m = 3k</math>). Таким образом, формула <math>x=2\pi k</math> не даёт новых корней в сравнении с формулами <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> или <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math>, и поэтому ответ может быть записан в виде только двух последних формул. Но такое сокращение ответа не является обязательным.</ref>}}
Рассмотрим следующий мтеод.
==== Метод перехода ====
<u><code>Суть метода перехода</code></u>: ''переход от равенства, связывающему функции, к равенству, связывающему аргументы этих функций''.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Формы метода
!Способы реализации
!Примеры
|-
| rowspan="3" |Уравнение вида <math>\mathcal{F}\left(A\right)=\mathcal{F}\left(B\right)</math>
|Аркфункции
|<math>\sin{A}=\sin{B}</math>
|-
|ПТУ
|<math>\mathrm{tg}\,{x}=-\sqrt{3}</math>
|-
|По “готовой” формуле
|<math>\sin{A}=\sin{B}</math>
|}
Зачастую уравнение можно решать разложением на множители, а не методом перехода.

==== Функциональный метод ====
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Формы метода
!Способы реализации
!Примеры
|-
| rowspan="5" |Использование свойств функции
|Область определения функции
|
|-
|Множество значений функции
|
|-
|Ограниченность функции (метод мажорант<ref>{{Определение|<code>Мажорантой</code> данной функции <math>f\left ( x \right )</math> на множестве <math>\mathcal{P}</math> (или множества <math>\mathcal{A}</math> чисел) называется такое число <math>\mathcal{M}</math>, что либо <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math>, либо <math>f\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math> (соответственно, <math>x\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x</math> из <math>\mathcal{A}</math>, или <math>x\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in\mathcal{A}</math>).}}

Например, любое число, большее или равное <math>1</math>, будет мажорантой для функций <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> на любом множестве.

<code>Суть метода мажорант</code>: если для функций <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> уравнения <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> существует такое число <math>\mathcal{M}</math>, что для любого <math>x</math> из области определения <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> имеем <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> и <math>g\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math>, тогда уравнение <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> эквивалентно системе <math>\begin{cases} f\left ( x \right ) = \mathcal{M},\\ g\left ( x \right ) = \mathcal{M}.\end{cases}</math></ref>)
|<math>\cos{2x}+\cos{x}=2</math>, т. к. <math>\forall \theta \in \mathbb{R}:  \cos{\theta} \leqslant 1</math>

<math>\sin{x}\sin{5x}=1</math>
|-
|Монотонность функции
|
|-
|Отсутствие решений (вообще либо на промежутке)
|
|}

==== Графический метод ====
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+
!Формы метода
!Способы реализации
!Примеры
|-
|Слева и справа от знака равенства разные функции по природе
|Построение двух графиков функций на одной координатной плоскости
|<math>\mathrm{ctg}\,{x}=\log_2{x}</math>, т. к. можно рассмотреть графики функций <math>y=\mathrm{ctg}\,{x}</math> и <math>y=\log_2{x}</math>
|}

=== Методы решения тригонометрических неравенств ===
Данный тип задача частично содержит методы решения тригонометрических уравнений и пополняется новым списком методов. Например, геометрический метод.

== Задания ==
{{Задание|Проанализировать тригонометрические формулы выбранного учебника по схеме, представленной в таблице ниже.
}}
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%"
|+Пример оформления
!Тригонометрическая формула
!Наличие/отсутствие доказательства
!Метод доказательства
|-
|Косинус разности аргументов
|Имеется
|Векторный метод
|-
|Косинус суммы аргументов
|Да
|Метод тождественных преобразований
|-
|Сумма синусов двух аргументов
|Есть
|Метод тождественных преобразований
|-
|Формула введения вспомогательного аргумента через синус
|Доказывается, применяя лемму
|Лемма: координатный.
Формула: тождественные преобразования<ref>''Другой способ доказательства'' базируется на '''методе “цепочки треугольников”''' (в частности, <u>метод “ключевого” треугольника</u>) и '''методе тождественных преобразований''' выражений.

То есть рассматривается прямоугольный треугольник с заданными катетами. Далее легко получить длину гипотенузы, а затем вынести «общий» множитель в виде радикала суммы квадратов катетов из выражения <math>a\sin{x} + b\cos{x}</math>. Получим <math>a\sin{x} + b\cos{x} = \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)</math>.

Применяем определения синуса либо косинуса острого угла прямоугольного треугольника (введение угла). Наконец, по формула синуса суммы либо косинуса разности соответственно сворачиваем.</ref>{{sfn|Нелин_геометрия_10|Раздел 1. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии : §1. Логическое построение школьного курса планиметрии (1.2. Методы решения планиметрических задач)|с=17}}
|-
|Формула введения вспомогательного аргумента через косинус
| colspan="2" |{{По центру|Таковая не упоминается вовсе.}}
|-
|{{По центру|...}}
|{{По центру|...}}
|{{По центру|...}}
|}

== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга 
 | автор = [[w:Бескин, Николай Михайлович|Бескин Н. М.]]
 | место = М.
 | издательство  = Учпедгиз
 | год = 1950
 | страниц = 140
 | ref = Бескин
|заглавие=Вопросы тригонометрии и её преподавания
}}
* {{книга 
 | автор = [[w:Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[w:Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], [[w:Кадомцев, Сергей Борисович|Кадомцев С. Б.]]
 | место = М.
 | издательство  = Просвещение
 | год = 2008
 | страниц = 384
 | isbn = 978-5-7853-0953-1
 | ref = Атанасян
 |издание=18-е изд
|заглавие=Геометрия, 7—9:  учеб. для обшеобразоват. учреждений
|тираж=3 735 000
}}
* {{книга 
 | автор = [[w:Смирнов, Владимир Алексеевич|Смирнов В. А.]], [[w:Смирнова, Ирина Михайловна|Смирнова И. М.]]
 | место = М.
 | издательство  = Просвещение
 | год = 2022
 | страниц = 176
 | isbn = 978-5-09-093187-8
 | ref = Смирнов
 |издание=2-е изд., стер
|заглавие=Геометрия: 9-й класс :  учебник
|тираж=300
}}
* {{книга 
 | автор = [[w:Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]]
 | место = М.
 | издательство  = Просвещение
 | год = 1988
 | страниц = 303
 | isbn = 
 | ref = Погорелов
 |издание=7-е изд
|заглавие=Геометрия: Учеб. пособие для 6—10 кл. сред. шк.
|тираж=3 735 000
}}
* {{книга 
 | автор = [[w:Колягин, Юрий Михайлович|Колягин Ю. М.]], Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И.
 | место = М.
 | издательство  = Просвещение
 | год = 2011
 | страниц = 368
 | isbn = 978-5-09-025401-4
 | ref = Колягин и др.
 |издание=4-е изд
|заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс:  учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни
|тираж=40 000
|ссылка=https://file.11klasov.net/1388-algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-klass-bazovyy-i-prof-urovni-kolyagin-yum-i-dr.html}}
* {{книга 
 | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]], Лазарев В. А.
 | место = М.
 | издательство  = Илекса
 | год = 2011
 | страниц = 480
 | isbn = 978-5-89237-336-4
 | ref = Нелин
|заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс:  учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни
|тираж=5 000
}}
* {{книга 
 | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]]
 | место = Х.
 | издательство  = Гимназия
 | год = 2010
 | страниц = 240
 | isbn = 978-966-474-100-9
 | ref = Нелин_геометрия_10
 |заглавие= Геометрия : двухуров. учеб. для 10-го кл. общеобразоват. учеб. заведений : академ. и профил. уровни
|тираж=3 000
}}
* {{книга 
 | автор = {{nobr|Абрамович М. И.}}, {{nobr|Стародубцев М. Т.}}
 | место = М.
 | издательство  = Высшая школа
 | год = 1976
 | страниц = 304
 | ref = Абрамович, Стародубцев
 |заглавие= Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. пособие для подготовит. отделений втузов
|тираж=280 000
}}

[[Категория:Методика обучения математике]]