Тригонометрические функции в курсе математики средней школы

Шаблон:Готовность Ведущая методическая проблема, которая касается тригонометрии, выражается в формировании понятий тригонометрических функций („синус”, „косинус”, „тангенс” и „котангенс”) в соответствии с методикой обучения понятий либо методикой обучения действий.

Изучение тригонометрических функций, разумеется, должно начинаться с их определения. Это определение может быть дано многими способами. А именно: как решение некоторого дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию; при помощи степенных рядов; наконец, третье определение — геометрическое. Это — то определение, которое даётся в школьных учебниках. Оно может иметь различные модификации (например, можно определять тригонометрические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника или при помощи тригонометрического круга). Оставляя пока методические соображения, зададимся вопросом: являются ли приведённые выше способы определения тригонометрических функций равноценными с научной точки зрения? На этот вопрос следует ответить отрицательно: геометрическое определение хуже. Первый недостаток связан с тем, что свойства этих функций ставятся в зависимость от некоторых положений, имеющих место только в евклидовой геометрии; в действительности же свойства тригонометрических функций вовсе НЕ зависят от того, какой геометрией мы пользуемся. Второй недостаток геометрического определения заключается в том, что по этому определению тригонометрические функции являются обязательно функциями угла. Это обстоятельство в глазах школьника отличает тригонометрические функции от всех других функций. Школьник смотрит совсем по-разному на функции  $\lg x$  и  $\sin x$ ; он понимает, чтó значит логарифм числа, но не понимает, чтó значит синус числа. Даже если углы измеряются в так называемой отвлечённой мере и рассматривается  $\sin 2$ , то всё-таки под этим символом понимается синус угла, равного двум радианам.Шаблон:Sfn

Напомним, что любая методика состоит из этапов формирования понятий (либо действий). Будем нумеровать так: «Шаг I. ...; Шаг II. ... ».

Шаг I. Тригонометрические функции острого угла

Учебник	Определения	Подход к определениям	Природа образования аргумента	Область значений аргумента	Область применения тригонометрических функций	Функциональная природа
АтанасянаШаблон:Sfn	Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.	Через отношение сторон прямоугольного треугольника	Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла)	От $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$	Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов	Неявно
СмирновыхШаблон:Sfn	Отношение противолежащего углу $A$ катета к гипотенузе называется синусом угла $A$ , обозначается $\sin A$ . Отношение противолежащего углу $A$ катета к гипотенузе называется косинусом угла $A$ , обозначается $\cos A$ . Отношение противолежащего углу $A$ катета к прилежащему называется тангенсом угла $A$ , обозначается $t g A$ . Отношение прилежащего к углу $A$ катета к противолежащему называется котангенсом угла $A$ , обозначается $c t g A$ .	Через отношение сторон прямоугольного треугольника		От $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$	Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, сравнение величин углов, доказательство тождеств, вывод простейших формул приведения для аргументов вида $9 0^{\circ} - α^{\circ}$ .	Явно оформляется в теореме

Подготовительный этап

Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём.

Мотивационный этап

На мотивационном этапе следует внедрять задачи с практическим содержанием, соответствующие субъективному опыту ученику. К этим задачам необходимо вернуться по завершению темы: “Тригонометрические функции острого угла”. Объясняется тем, что учащиеся теперь смогут решить задачи, поставленные вначале указанной темы.

Ориентировочный этап

На этом этапе определения тригонометрических функций даются конструктивно (генетически). Следовательно, основное внимание уделяется формированию ведущих действий:

построение угла по заданным значениям тригонометрических функций;
вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений.

Шаблон:Важное

Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий

Под выведением следствий понимается доказательство теорем о свойствах тригонометрических функций.

Данный этап зависит во многом от учебника. Шаблон:Пример В учебнике А. В. Погорелова написано утверждение в виде теоремы-свойства котангенса, в котором функция (вернее, функциональная природа котангенса) «спрятана», то есть указаны компоненты определения термина “функция” (а именно: зависимость одной величины от другой). Аналогично для синуса, тангенса (и котангенса). Кроме того, в указанной формулировке теоремы «спрятано» свойство, характеризующее саму функцию — свойство монотонности функции. Такое свойство тригонометрической функции позволяет объяснить «устройство» таблиц (например, таблиц Брадиса).

Обучение применению тригонометрических понятий

Этот этап подразумевает:

Непосредственное применение понятий — выражение неизвестного элемента треугольника через известное;
Установление внутрипредметных связей — решение прямоугольных треугольников.

Шаблон:Совет Шаблон:Внимание

Шаг II. Тригонометрические функции угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Учебник	Определения	Подход к определениям	Природа образования аргумента	Область значений аргумента	Область применения тригонометрических функций	Функциональная природа
АтанасянаШаблон:Sfn	Для любого угла $α$ из промежутка $0^{\circ} ⩽ α ⩽ 18 0^{\circ}$ синусом угла $α$ называется ордината $y$ точки $M$ , а косинусом угла $α$ — абсцисса $x$ точки $M$ . Тангенсом угла $α$ ( $α \neq 9 0^{\circ}$ ) называется отношение $\frac{\sin α}{\cos α}$ .	С помощью координатной плоскости, в которую помещена полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат.	Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла)	От $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ для синуса и косинуса, а для тангенса исключается угол в $9 0^{\circ}$ .	Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, вывод простейших формул приведения для аргументов: $9 0^{\circ} - α^{\circ}$ , $18 0^{\circ} - α^{\circ}$ .	Неявно
СмирновыхШаблон:Sfn	Синусом тупого угла $A$ будем называть отношение $B C$ [длины перпендикуляра] к $A B$ [длине наклонной], т. е. $\sin A = \frac{B C}{A B}$ . Иначе говоря, синус тупого угла $A$ равен синусу угла, смежного с углом $A$ , т. е. $\sin A = \sin (18 0^{\circ} - A)$ . Косинусом тупого угла $A$ называют отношение $A C$ [длины проекции наклонной] к $A B$ [длине наклонной], взятое со знаком «минус», т. е. $\cos A = - \frac{A C}{A B}$ . Иначе говоря, косинус тупого угла $A$ равен косинусу угла, смежного с углом $A$ , взятым со знаком «минус», т. е. $\cos A = - \cos (18 0^{\circ} - A)$ . Тангенс и котангенс тупого угла $A$ определяются равенствами $t g A = \frac{\sin A}{\cos A}$ , $c t g A = \frac{\cos A}{\sin A}$ .	Отношение длины перпендикуляра либо длины проекции наклонной к длине самой наклонной. Также даётся эквивалентная формулировка через смежные углы.			Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, доказательство тождеств, упрощение выражений, вывод простейших формул приведения для аргументов: $9 0^{\circ} + α^{\circ}$ , $18 0^{\circ} - α^{\circ}$ . Доказательство теоремы синусов и теоремы косинусов. Введение скалярного произведения двух ненулевых векторов в векторной форме записи.	Неявно

Подготовительный этап

Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём.

Мотивационный этап

На мотивационном этапе предлагаются также практикоориентированные задачи либо исторические сведения. К последнему можно отнести такие факты из различных областей знания, где применяется тригонометрия (сферическая геометрия, биология и медицина, география, искусство и архитектура и пр.).

Ориентировочный этап

Аналогично тому, что здесь. Шаблон:Внимание

Этап выведения следствий (в виде формул)

В частности, доказываются «первые» формулы приведения. Грубо говоря, это тригонометрические функции, аргумент которых имеет вид^[1]:

$9 0^{\circ} + α^{\circ}$ ;
$18 0^{\circ} - α^{\circ}$ .

Также изучаются теоремы синусов, косинусов и их следствия. Ведущее действие: решение косоугольных треугольников.

Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла

Ранее эта тема изучалась также в 9-м классе. Найти можно только в учебниках по геометрии с углублённым изучением предмета. Однако потом тему внесли в тригонометрию 10-го класса.

На этом шаге выводятся все формулы тригонометрии.


Учебник	Определения	Подход к определениям	Природа образования аргумента	Область значений аргумента	Область применения тригонометрических функций	Функциональная природа
КолягинаШаблон:Sfn	Синусом угла $α$ называется ордината точки, полученной поворотом точки $(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $α$ (обозначается $\sin α$ ). Косинусом угла $α$ называется абсцисса точки, полученной поворотом точки $(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $α$ (обозначается $\cos α$ ). Тангенсом угла $α$ называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается $t g α$ ). В преобразованиях иногда используется котангенс угла $α$ (и обозначается $c t g α$ ), который определяется формулой $c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$ .	С помощью помещённой в координатную плоскость окружности единичного радиуса с центром в начале координат.	Под аргументом понимается угол поворота (мера поворота/вращения). Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол.	Для синуса и косинуса могут быть любые градусные меры угла поворота, для тангенса исключается величина угла поворота вида $9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} \cdot n ∣ n \in ℤ$ , а для котангенса величина угла поворота (в градусах) принимает все действительные значения, кроме $18 0^{\circ} \cdot t ∣ t \in ℤ$ .	Решение простейших тригонометрических уравнений, доказательство тождеств, вычисление значений тригонометрических функций, упрощение выражений, решение тригонометрических неравенств, вывод формул приведения	Явно, поскольку изучаются свойства функций.
НелинаШаблон:Sfn	Синусом угла $α$ называется отношение ординаты точки $P_{α} (x; y)$ окружности к её радиусу: $\sin α = \frac{y}{R}$ . Косинусом угла $α$ называется отношение абсциссы точки $P_{α} (x; y)$ окружности к её радиусу: $\cos α = \frac{x}{R}$ . Тангенсом угла $α$ называется отношение ординаты точки $P_{α} (x; y)$ окружности к её абсциссе: $t g α = \frac{y}{x}$ (конечно, при $x \neq 0$ ). Котангенсом угла $α$ называется отношение абсциссы точки $P_{α} (x; y)$ окружности к её ординате: $c t g α = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$ ).	С помощью помещённой в координатную плоскость окружности произвольного радиуса с центром в начале координат. В частности, рассматривается единичная окружность для упрощения приведённых определений тригонометрических функций.				Явно, поскольку изучаются свойства функций.

Шаблон:Задание

Подготовительный этап

Повторить и сформировать понятие “угол поворота”. Действия, необходимые для формирования этого понятия:

построение на окружности точек, соответствующие углу поворота;
запись угла поворота, соответствующее точкам на окружности.

Мотивационный этап

Данный этап вызван потребностями практики. Необходимо привести примеры из физики. Скажем, уравнения, задающие вращательное движение.

Ориентировочный этап

Аналогично тому, что здесь.

На этой стадии изучения основная область применения — тождественные преобразования, содержащие тригонометрические функции.

Ввести понятие “радиана”.

Этап формирования других свойств

Тут уже изучаются свойства функций:

знаки по четвертям;
чётность/нечётность;
периодичность (неявно, т. е. без введения определения периодичности функции).

Обосновываются основные действия над тригонометрическими функциями — так называемые формулы тригонометрии. Перечислим их.

Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента

Данный блок представляет собой взаимоотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, записанные в виде алгебраических соотношений, или формул.

Основное тригонометрическое тождество: «Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента постоянна и равна единице». Символьная формулировка: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ . Формула доказывается при помощи теоремы Пифагора. Из этой формулы выводятся следствия:
Квадрат синуса есть разность единицы и квадрата косинуса того же аргумента, т. е. $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ . Цель: применение в преобразованиях выражений.
Формула $\sin α = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} α}$ , справедливая для любого аргумента $α$ . Цель: для вычисления тригонометрической функции.
Зависимость тангенса и котангенса: «Произведение тангенса и котангенса одного аргумента постоянно и равно единице». Символьная формулировка: $t g α \cdot c t g α = 1$ , кроме аргументов $α = 9 0^{\circ} \cdot n ∣ n \in ℤ$ .

Зависимость тангенса и косинуса.

Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

*Дано*: выражение $1 + {t g}^{2} α$ , где $α \neq 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} \cdot n ∣ n \in ℤ$ .
Доказать, что $1 + {t g}^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ .
Шаг	Утверждение	Обоснование
1	Напишем $1 + {t g}^{2} α = 1 + {t g}^{2} α$ .	Условие, рефлексивность отношения равенства.
2	Далее $1 + {t g}^{2} α = 1 + {[\frac{\sin α}{\cos α}]}^{2}$ .	Пункт 1, определение тангенса произвольного угла.
3	Тогда $1 + {t g}^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α}$ .	Пункт 2, определение и свойство степени ^[2].
4	Теперь получим следующее: $1 + {t g}^{2} α = \frac{\cos^{2} α + \sin^{2} α}{\cos^{2} α}$ .	Пункт 3, определение дроби, приведение к общему знаменателю числа и дроби.
5	Или: $1 + {t g}^{2} α = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α}$ .	Пункт 4, коммутативный (переместительный) закон сложения.
6	Наконец, приходим к равенству: $1 + {t g}^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ , что и требовалось доказать.	Пункт 5, основное тригонометрическое тождество..

Зависимость котангенса и синуса.

Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

*Дано*: $α \in ℝ$ .
Доказать, что $1 + {c t g}^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .
Шаг	Утверждение	Обоснование
1	Напишем $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .	Условие, основное тригонометрическое тождество.
2	Далее $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \| : \sin^{2} α \neq 0$ .	Пункт 1, определение и свойство тождественного равенства, определения ОДЗ выражения и равносильного перехода на некоторой области.
3	Тогда $\frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .	Пункт 2, равносильный переход на области.
4	Теперь получим следующее: $\frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} α} + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .	Пункт 3, определение и свойство алгебраической дроби.
5	Или: $1 + {[\frac{\cos α}{\sin α}]}^{2} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .	Пункты 2 и 4, основное свойство дроби, определение и свойство степени.
6	Наконец, приходим к равенству: $1 + {c t g}^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ , которое выполняется при $α \neq 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} \cdot n ∣ n \in ℤ$ .	Пункт 5, определение котангенса произвольного угла.

Определения секанса и косеканса произвольного угла, следствия из определений.

Блок Б. Формулы сложения и вычитания

Шаблон:Смотрите также

Блок В. Формулы двойного аргумента

Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций

Блок Д. Произведение тригонометрических функций

Блок Е. Формулы приведения

Блок Ё. Введение вспомогательного аргумента

Методы доказательства тождеств и неравенств

Поскольку на этапе формирования других III-го шага речь идёт о выведении следствий, то формируются умения, входящие в метод тождественных преобразований.

Компоненты метода: перенос общих приёмов тождественных преобразований алгебраических выражений на тригонометрические.

Поэтому свойства введённых тригонометрических функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Так, необходимо прояснить, какие иШаблон:Ударениеменно преобразования дети могут выполнять, чтобы не случались ошибки вроде этой: $ctg x + c t g 4 x = ctg 5 x$ . Если введены новые понятия, то появляются и новые операции над ними. О правилах действий над понятиями «говорят» формулы, которые необходимо раз за разом отрабатывать!

Доказательство непосредственной проверкой

На основании определения равных числовых выражений

Метод нисходящего и восходящего анализа

Метод «от противного»

Суть: предполагаем, что требование неверно и после преобразований получаем противоречие с условием либо с истинным неравенством.

Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента

Подготовительный этап

Повторить предыдущие определения и все свойства функций.

Мотивационный этап

Тут обращаем внимание школьников на область определения аргумента. На предыдущих шагах область определения аргумента — это множества, обладающие размерностью [градусное исчисление угловых мер]. Также предлагаем задачи с практическим содержанием. Подводим детей к гармоническим колебаниям как к внутренней потребности математики.

Ориентировочный этап

На этом этапе ведущие действия:

построение точек, углов и графиков;
вычисление значений тригонометрических функций.

Формируем понятия: ордината и абсцисса точки.

Шаблон:Внимание

Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий

Исследование и построение графиков функций;
Решение уравнений, неравенств и их систем (предварительно введя арк-функции).

Методы решения тригонометрических уравнений

Метод появляется тогда, когда уравнение не сводится к простейшему (линейное, квадратное и сводящееся к ним).

Напомним некоторые методы решения уравнений в алгебре:

Разложение на множители
Замена переменной
Переход
Функциональный
Графический

Для каждого метода можно выделить его формы и способы реализации.

Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ)


Формы метода	Способы реализации	Примеры
ПТУ и сводящиеся к ним	По определению, используя тригонометрическую окружность (построение точек и применение определения тригонометрчиеской функции)
	Графический (построение графика функции)
	По формулам (общая формула корней соответствующего тригонометрического уравнения)
$k \cdot f (x) = m$	Решение линейного уравнения относительно $f (x)$ , а затем соответствующего тригонометрического
$f (a x + b) = m$ , $f (x^{2}) = m$	Решение соответствующего тригонометрического уравнения, а затем алгебраического	$\cos (3 x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$f^{2} (x) = m, m > 0$	Формулы понижения степени и решение уравнение, сводящееся к ПТУ относительно нового аргумента^[3]	$\sin^{2} x = \frac{1}{4}$ , т. к. $\frac{1 - \cos 2 x}{2} = \frac{1}{4}$
$f^{2} (x) = m, m > 0$	Решение квадратного уравнения относительно $f (x)$ , а далее решить ПТУ^[4]	$\sin^{2} x = \frac{1}{4}$ , т. к. $\sin^{2} x - \frac{1}{4} = 0$

Метод замены переменной

Суть метода замены: сведение к одноимённой тригонометрической функции одного аргумента.


Формы метода	Способы реализации	Примеры
Алгебраические уравнения относительно одноимённой тригонометрической функции одного аргумента. А также уравнения к ним сводящиеся	Решение соответствующего алгебраического уравнения, а затем решение ПТУ.	$\sin^{2} x - 5 \cos x + 1 = 0$
Однородные уравнения^[5] (I, II и III степени) относительно синуса и косинуса, а также к ним сводящиеся: $a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = c$ ; $a \cdot \sin^{2} x + b \cdot \sin x \cdot \cos x + c \cdot \cos^{2} x = d$	Сведение к тангенсу и котангенсу, а затем решение ПТУ
	Для уравнения $a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = c$ вводим вспомогательный аргумент (например, $φ = a r c t g \frac{b}{a}$ ) и используем формулу $a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sin {x + a r c t g \frac{b}{a}}$ . Получаем уравнение $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sin {x + a r c t g \frac{b}{a}} = c$ .Шаблон:Совет
Уравнения, содержащие одновременно сумму (разность) и произведение синуса и косинуса, т. е. они имеют вид $ℛ (\sin x \pm \cos x, \sin x \cdot \cos x) = 0$ , где $ℛ$ — рациональная функция двух переменных.	Заменой (подстановкой) $t = \sin x \pm \cos x$ сводится к рациональному уравнению $ℛ (t, \pm \frac{t^{2} - 1}{2}) = 0$ . Тем самым решается квадратное уравнение относительно $t$ , далее решается уравнение вида $\sin x \pm \cos x = t_{1, 2}$ , где $t_{1, 2}$ — корни квадратного уравнения.	$3 (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0$ $\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin x \cdot \cos x} = 4$
Уравнения, содержащие одновременно сумму синуса и косинуса и синус двойного аргумента, т. е. они имеют вид $ℛ (\sin x \pm \cos x, \sin 2 x) = 0$ , где $ℛ$ — рациональная функция двух переменных.	Заменой (подстановкой) $t = \sin x \pm \cos x$ сводится к рациональному уравнению $ℛ (t, \pm [t^{2} - 1]) = 0$ . Тем самым решается квадратное уравнение относительно $t$ , далее решается уравнение вида $\sin x \pm \cos x = t_{1, 2}$ , где $t_{1, 2}$ — корни квадратного уравнения.	$2 (1 - \sin 2 x) - 5 (\sin x - \cos x) + 3 = 0$ ^[6]
Уравнения, содержащие различные тригонометрические функции одного и того же аргумента	Применение формул из Блока А.	$2 (\cos^{4} x - \sin^{4} x) = 1$
	Использование универсальных тригонометрических подстановок (УТП).Шаблон:Внимание	$\cos x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1$
Уравнения, содержащие одноимённые тригонометрические функции от разных аргументов	Применение формул из Блока Г и Блока Д.	$\cos 3 x + \cos x = 0, 2$ $\sin x - \sin 2 x + \sin 3 x - \sin 4 x = 0$ $\cos x \cos 3 x = \cos 5 x \cos 7 x$
Уравнения, содержащие разноимённые тригонометрические функции от разных аргументов	Использование УТП. В общем случае, это применение формул тригонометрии.	$3 \sin 2 x - \cos 2 x - 2 t g x + 5 c t g x = 4$

Шаблон:Вопрос

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений. Шаблон:Важное Шаблон:Пример

Решим следующую задачу разными приёмами. Шаблон:Задача Шаблон:Задание Переходим ко второму довольно известному методу.

Метод разложения на множители

Суть метода разложения на множители: исходное уравнение привести к виду $f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) \cdot \dots \cdot f_{n} (x) = 0$ .

Решение таких уравнений основано на следующем теоретическом положении. Шаблон:Правило в рамке/Алгебра Это положение подчёркивает важность предварительного нахождения ОДЗ неизвестной.Шаблон:Sfn Шаблон:ТеоремаДругими словами, множество решений уравнения $f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = 0$ есть объединение множеств решений двух вышенаписанных систем.


Формы метода	Способы реализации	Примеры
Разложение на множители при помощи приёмов алгебры	Вынесение общего множителя^[7]	$2 \cos^{2} x - \cos x \cdot \sin x = 0$
	Группировка слагаемых	$1 - \sin x \cdot \cos x + \sin x - \cos x = 0$ ^[8]
	Формулы сокращённого умножения
Разложение на множители при помощи формул тригонометрии	Применение формул из Блока Г	$2 \sin 17 x + \sqrt{3} \cos 5 x + \sin 5 x = 0$ , т. к. $\sin 17 x + \sin {5 x + \frac{π}{3}} = 0$
Разложение на множители при помощи формул тригонометрии	Применение формул из Блока Е	$\sin 5 x + \cos x = 0$ , т. к. $\cos (\frac{π}{2} - 5 x) + \cos x = 0$
Комбинация алгебры и тригонометрии	Формулы из Блока В, Блока Г и Блока Е	$3 \sin 2 x + \cos x = 0$ , т. к. $\cos x (6 \sin x + 1) = 0$

Шаблон:Пример

Шаблон:Пример Рассмотрим следующий мтеод.

Метод перехода

Суть метода перехода: переход от равенства, связывающему функции, к равенству, связывающему аргументы этих функций.


Формы метода	Способы реализации	Примеры
Уравнение вида $ℱ (A) = ℱ (B)$	Аркфункции	$\sin A = \sin B$
	ПТУ	$t g x = - \sqrt{3}$
	По “готовой” формуле	$\sin A = \sin B$

Зачастую уравнение можно решать разложением на множители, а не методом перехода.

Функциональный метод


Формы метода	Способы реализации	Примеры
Использование свойств функции	Область определения функции
	Множество значений функции
	Ограниченность функции (метод мажорант^[9])	$\cos 2 x + \cos x = 2$ , т. к. $\forall θ \in ℝ : \cos θ ⩽ 1$ $\sin x \sin 5 x = 1$
	Монотонность функции
	Отсутствие решений (вообще либо на промежутке)

Графический метод


Формы метода	Способы реализации	Примеры
Слева и справа от знака равенства разные функции по природе	Построение двух графиков функций на одной координатной плоскости	$c t g x = \log_{2} x$ , т. к. можно рассмотреть графики функций $y = c t g x$ и $y = \log_{2} x$

Методы решения тригонометрических неравенств

Данный тип задача частично содержит методы решения тригонометрических уравнений и пополняется новым списком методов. Например, геометрический метод.

Задания

Шаблон:Задание

Пример оформления
Тригонометрическая формула	Наличие/отсутствие доказательства	Метод доказательства
Косинус разности аргументов	Имеется	Векторный метод
Косинус суммы аргументов	Да	Метод тождественных преобразований
Сумма синусов двух аргументов	Есть	Метод тождественных преобразований
Формула введения вспомогательного аргумента через синус	Доказывается, применяя лемму	Лемма: координатный. Формула: тождественные преобразования^[10]Шаблон:Sfn
Формула введения вспомогательного аргумента через косинус	Шаблон:По центру
Шаблон:По центру	Шаблон:По центру	Шаблон:По центру

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

↑ Формула, которая „приводит” тригонометрическую функцию, содержащую в качестве аргумента разность $9 0^{\circ} - α^{\circ}$ , к тригонометрической функции острого угла $α^{\circ}$ , верна для острых углов, а не тупых. Поэтому её рациональнее давать на I-м шаге.
↑ Квадрат частного двух выражений равен частному квадратов этих выражений
↑ Понижая степень, мы получаем одно тригонометрическое уравнение и сразу же объединённые корни.
↑ Если мы решаем уравнение как квадратное, то на выходе придётся решать два тригонометрических уравнения, объединённых квадратной скобкой. К тому же, будем иметь два семейства корней, которые дополнительно надо объединять. И не обязательно, что явятся нам табличные значения тригонометрических функций!!!
↑ Шаблон:Определение Шаблон:Определение
↑ Можно применить эвристическое соображение: «Если для объектов $A$ , $B$ и $C$ найдутся такие ненулевые числа $α$ и $β$ , что выполняется равенство $α A + β B = (α + β) C$ , тогда $A = B = C$ либо же $\frac{α}{β} = \frac{C - B}{A - C}$ ( $α \neq β$ )», в истинности которого несложно убедиться.
↑ Теоретическая основа приёма: распределительный закон умножения.
↑ Другой метод. Применение подстановки, так как уравнение имеет вид $ℛ (\sin x \pm \cos x, \sin x \cdot \cos x) = 0$ , где $ℛ$ — рациональная функция двух переменных.
↑ Шаблон:Определение Например, любое число, большее или равное $1$ , будет мажорантой для функций $\sin x$ и $\cos x$ на любом множестве. Суть метода мажорант: если для функций $f (x)$ и $g (x)$ уравнения $f (x) = g (x)$ существует такое число $ℳ$ , что для любого $x$ из области определения $f (x)$ и $g (x)$ имеем $f (x) ⩽ ℳ$ и $g (x) ⩾ ℳ$ , тогда уравнение $f (x) = g (x)$ эквивалентно системе ${\begin{matrix} f (x) = ℳ, \\ g (x) = ℳ . \end{matrix}$
↑ Другой способ доказательства базируется на методе “цепочки треугольников” (в частности, метод “ключевого” треугольника) и методе тождественных преобразований выражений. То есть рассматривается прямоугольный треугольник с заданными катетами. Далее легко получить длину гипотенузы, а затем вынести «общий» множитель в виде радикала суммы квадратов катетов из выражения $a \sin x + b \cos x$ . Получим $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x)$ . Применяем определения синуса либо косинуса острого угла прямоугольного треугольника (введение угла). Наконец, по формула синуса суммы либо косинуса разности соответственно сворачиваем.

[1] Формула, которая „приводит” тригонометрическую функцию, содержащую в качестве аргумента разность $9 0^{\circ} - α^{\circ}$ , к тригонометрической функции острого угла $α^{\circ}$ , верна для острых углов, а не тупых. Поэтому её рациональнее давать на I-м шаге.

[2] Квадрат частного двух выражений равен частному квадратов этих выражений

[3] Понижая степень, мы получаем одно тригонометрическое уравнение и сразу же объединённые корни.

[4] Если мы решаем уравнение как квадратное, то на выходе придётся решать два тригонометрических уравнения, объединённых квадратной скобкой. К тому же, будем иметь два семейства корней, которые дополнительно надо объединять. И не обязательно, что явятся нам табличные значения тригонометрических функций!!!

[5] Шаблон:Определение Шаблон:Определение

[6] Можно применить эвристическое соображение: «Если для объектов $A$ , $B$ и $C$ найдутся такие ненулевые числа $α$ и $β$ , что выполняется равенство $α A + β B = (α + β) C$ , тогда $A = B = C$ либо же $\frac{α}{β} = \frac{C - B}{A - C}$ ( $α \neq β$ )», в истинности которого несложно убедиться.

[7] Теоретическая основа приёма: распределительный закон умножения.

[8] Другой метод. Применение подстановки, так как уравнение имеет вид $ℛ (\sin x \pm \cos x, \sin x \cdot \cos x) = 0$ , где $ℛ$ — рациональная функция двух переменных.

[9] Шаблон:Определение Например, любое число, большее или равное $1$ , будет мажорантой для функций $\sin x$ и $\cos x$ на любом множестве. Суть метода мажорант: если для функций $f (x)$ и $g (x)$ уравнения $f (x) = g (x)$ существует такое число $ℳ$ , что для любого $x$ из области определения $f (x)$ и $g (x)$ имеем $f (x) ⩽ ℳ$ и $g (x) ⩾ ℳ$ , тогда уравнение $f (x) = g (x)$ эквивалентно системе ${\begin{matrix} f (x) = ℳ, \\ g (x) = ℳ . \end{matrix}$

[10] Другой способ доказательства базируется на методе “цепочки треугольников” (в частности, метод “ключевого” треугольника) и методе тождественных преобразований выражений. То есть рассматривается прямоугольный треугольник с заданными катетами. Далее легко получить длину гипотенузы, а затем вынести «общий» множитель в виде радикала суммы квадратов катетов из выражения $a \sin x + b \cos x$ . Получим $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x)$ . Применяем определения синуса либо косинуса острого угла прямоугольного треугольника (введение угла). Наконец, по формула синуса суммы либо косинуса разности соответственно сворачиваем.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Тригонометрические функции в курсе математики средней школы

Шаг I. Тригонометрические функции острого угла

Подготовительный этап

Мотивационный этап

Ориентировочный этап

Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий

Обучение применению тригонометрических понятий

Шаг II. Тригонометрические функции угла от 0∘ до 180∘

Подготовительный этап

Мотивационный этап

Ориентировочный этап

Этап выведения следствий (в виде формул)

Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла

Подготовительный этап

Мотивационный этап

Ориентировочный этап

Этап формирования других свойств

Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента

Блок Б. Формулы сложения и вычитания

Блок В. Формулы двойного аргумента

Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций

Блок Д. Произведение тригонометрических функций

Блок Е. Формулы приведения

Методы доказательства тождеств и неравенств

Доказательство непосредственной проверкой

На основании определения равных числовых выражений

Метод нисходящего и восходящего анализа

Метод «от противного»

Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента

Подготовительный этап

Мотивационный этап

Ориентировочный этап

Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий

Методы решения тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ)

Метод замены переменной

Метод разложения на множители

Метод перехода

Функциональный метод

Графический метод

Методы решения тригонометрических неравенств

Задания

Примечания

Литература

Навигация

Поиск

Шаг II. Тригонометрические функции угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$