Теория функций действительного переменного/Выпуклые множества и функционалы

Выпуклые множества и выпуклые тела

Пусть $L$ — некоторое действительное линейное пространство, а $x$ и $y$ — две точки этого пространства.

Совокупность всех точек вида

$ax+(1-a)y,0\le a\le 1$,

называется замкнутым отрезком в линейном пространстве $L$, соединяющим точки $x$ и $y$.

Отрезок без концевых точек, то есть совокупность точек вида

$ax+(1-a)y,0<a<1$

называется открытым отрезком в линейном пространстве $L$.

Множество $M\subset L$ называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества $x,y\in M$ и произвольного вещественного числа $0\le a\le 1$ точка

$ax+(1-a)y$

также принадлежит множеству $M$. Другими словами, выпуклое множество содержит отрезок, соединяющий две любые точки этого множества.

Ядром $J(M)$ произвольного множества $M\subset L$ называется совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y\in L$ найдётся такое число $ϵ=ϵ(y)>0$, что

$|t|<ϵ\Rightarrow x+ty\in M$.

Выпуклое тело — это выпуклое множество с непустым ядром.

Если $M$ — выпуклое множество, то его ядро $J(M)$ тоже является выпуклым. Действительно, пусть

$x,y\in J(M)\subset M$,

$0\le a\le 1$,

$z=ax+(1-a)y\in M$,

тогда, по определению ядра множества, для данного вектора $w\in L$ найдутся такие вещественные числа ${ϵ}_1>0$ и ${ϵ}_2>0$, что при

$|t_1|<{ϵ}_1,|t_2|<{ϵ}_2$

точки

$x+t_{1}w$,

$y+t_{2}w$.

будут принадлежать множеству $M$. Следовательно, при

$|t|<ϵ=\min ({ϵ}_1,{ϵ}_2)$,

точка

$a(x+tw)+(1-a)(y+tw)=(ax+(1-a)y)+(a+1-a)tw=z+tw$

тоже будет принадлежать множеству $M$, то есть точка $z$ принадлежит ядру $J(E)$. Таким образом, мы установили, что ядро множества вместе с концами отрезка содержит и отрезок целиком, а следовательно, ядро выпуклого множества является выпуклым множеством.

Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство.

Рассмотрим набор выпуклых множеств $\{M_n\}$ и их пересечение:

$M=\bigcap _n{M}_n$.

Рассмотрим также две произвольные точки $x,y\in M$. По определению пересечения множеств, точки $x$ и $y$ принадлежат каждому множеству из набора $\{M_n\}$. Так как каждое из этих множеств выпуклое, то отрезок, соединяющий точки $x$ и $y$, также принадлежит каждому множеству из $\{M_n\}$. Отсюда, по свойству пересечения множеств, следует, что этот отрезок принадлежит и множеству $M$, а значит пересечение выпуклых множеств действительно выпукло. Теорема доказана.

Следует отметить, что пересечение двух выпуклых тел не всегда является выпуклым телом.

Выпуклая оболочка множества $A\subset L$ — это наименьшее выпуклое множество, которое его содержит. Им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество $A$. Всё пространство $L$ является выпуклым множеством, поэтому существует по меньшей мере одно выпуклое множество, содержащее $A$, а пересечение всех таких множеств будет непусто.

Пусть $x_1,...,x_{n+1}$ — точки некоторого линейного пространства. Если вектора $x_2-x_1,x_3-x_2,...,x_{n+1}-x_n$ образуют линейно независимую систему, то говорят, что точки $x_1,...,x_{n+1}$ находятся в общем положении. Выпуклая оболочка $n+1$ точки, находящихся в общем положении, называется n-мерным симплексом, а сами точки — вершинами этого симплекса. Нульмерный симплекс — это точка, одномерный — отрезок, двумерный — треугольник, трёхмерный — тетраэдр.

Если точки $x_1,...,x_{n+1}$ находятся в общем положении, то любые $k+1$ из этих точек также находятся в общем положении, и, следовательно, образуют k-мерный симплекс, который называется k-мерной гранью данного n-мерного симплекса.

Теорема 2. Симплекс с вершинами $x_1,...,x_{n+1}$ есть совокупность всех точек $x$, которые можно представить в виде

$x=\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{x}_k$,

где $\{a_k\}$ — вещественные числа такие, что

$a_k\ge 0,\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k=1$.

Доказательство. Докажем, что указанная совокупность точек — обозначим её $M$ — содержит точки $x_1,...,x_{n+1}$. Если взять все числа $a_k$, кроме одного — например $a_i$ — равными нулю, то $a_i=1$, поэтому выражение, указанное в условии теоремы, будет равно $x_i$, утверждение доказано.

Теперь докажем, что $M$ — выпуклое множество. Рассмотрим две точки $y_1,y_2\in M$, тогда имеют место равенства

$y_1=\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k^{(1)}{x}_k$,

$y_2=\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k^{(2)}{x}_k$.

Пусть задано вещественно число $b\in [0;1]$, рассмотрим вектор

$y=b{y}_1+(1-b)y_2$.

Используя предыдущие равенства, получим:

$y=b{y}_1+(1-b)y_2=\sum _{k=1}^{n+1}{c}_k{x}_k$,

где

$c_k=b{a}_k^{(1)}+(1-b)a_k^{(2)}$.

Так как $b$, $1-b$, $a_k^{(1)}$ и $a_k^{(2)}$ — неотрицательные числа, то

$c_k\ge 0$.

Кроме того,

$\sum _{k=1}^{n+1}{c}_k=b\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k^{(1)}+(1-b)\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k^{(2)}=b+(1-b)=1$,

то есть вектор $y=b{y}_1+(1-b)y_2$ принадлежит множеству $M$, следовательно, оно является выпуклым.

Осталось доказать, что $M$ — наименьшее выпуклое множество, содержащее все точки $\{x_k\}$. По индукции можно доказать, что выпуклое множество, содержащее точки $x_1,...,x_{n+1}$, должно содержать и все точки вида

$x=\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{x}_k$,

а значит нельзя указать выпуклое множество, являющееся подмножеством $M$. Теорема доказана.

Выпуклые функционалы

Функционал $p$, определённый на линейном действительном пространстве $L$, называется выпуклым, если для двух любых точек $x,y\in L$ и всех вещественных чисел $0\le a\le 1$ имеет место соотношение

$p(ax+(1-a)y)\le ap(x)+(1-a)p(y)$.

Функционал $p$, определённый на линейном действительном пространстве $L$, называется положительно-однородным, если для любой точки $x\in L$ и всех $a>0$ имеет место равенство

$p(ax)=ap(x)$.

Однородно-выпуклый функционал — это функционал, одновременно являющийся положительно-однородным и выпуклым.

Установим некоторые свойства однородно-выпуклых функционалов.

Свойство 1. Пусть $p$ — однородно-выпуклый функционал, тогда

$p(x+y)\le p(x)+p(y)$.

Доказательство.

Во-первых, в силу того, что $p$ — положительно-однородный функционал, имеет место равенство

$p(x+y)=p\left(2\frac{x+y}{2}\right)=2p\left(\frac{x+y}{2}\right)=2p(\frac{x}{2}+\frac{y}{2})$.

Так как функционал является ещё и выпуклым, то

$p(\frac{x}{2}+\frac{y}{2})\le p\left(\frac{x}{2}\right)+p\left(\frac{y}{2}\right)=\frac{p(x)+p(y)}{2}$.

Следовательно:

$p(x+y)\le p(x)+p(y)$,

что и требовалось доказать.

Свойство 2.

$p(0)=0$.

Доказательство. Пусть $x=0$, тогда, по определению однородного функционала:

$p(0)=p(a\cdot 0)=0\cdot p(a)=0$.

Свойство 3.

$p(x)+p(-x)\ge 0$.

Доказательство.

$0=p(0)=p(x+(-x))\le p(x)+p(-x)$.

Данное свойство, в частности означает, что если $p(x)<0$, то обязательно $p(-x)>0$.

Свойство 4. Для любого (необязательно положительного) вещественного числа $a$

$p(ax)\ge ap(x)$.

Доказательство. Для случая $a>0$ свойство выполняется в силу определение однородно-выпуклого функционала. Если же $a=0$, то неравенство будет иметь место в силу свойства 2, так как

$0\cdot x=0$.

Рассмотрим случай, когда $a<0$. По свойству 3:

$0\le p(ax)+p(|a|x)=p(ax)+|a|p(x)$,

следовательно

$p(ax)\ge -|a|p(x)=ap(x)$.

Теорема Хана-Банаха

Пусть $L$ - действительное линейное пространство, $L_0$ - некоторое его подпространство, а $f_0$ - линейный функционал, заданный на $L_0$.

Функционал $f$ заданный на всём $L$ называется продолжением функционала $f_0$, если для всех элементов $x\in L_0$ имеет место равенство

$f(x)=f_0(x)$.

Говорят, что функционал $f$ подчинён на подпространстве $L_0$ функционалу $f_1$, если для любого элемента $x\in L_0$ выполняется неравенство

$f(x)\le f_1(x)$.

Теорема Хана-Банаха. Пусть $p$ - однородно-выпуклый функционал, заданный на действительном линейном пространстве $L$, а $L_0$ - подпространство $L$. Если $f_0$ - линейный функционал, заданный на $L_0$ и подчинённый на $L_0$ функционалу $p$, то существует продолжение $f$ функционал $f_0$ на всё пространство $L$, подчинённое $p$ на $L$.