Теория функций действительного переменного/Линейные пространства

Введение на некотором множестве метрики (то есть расстояния между элементами этого множества) позволяет ввести понятие сходимости — фундаментальное понятие математического анализа. В данном разделе мы рассмотрим такие множества, в которых можно ввести фундаментальные понятия алгебры: линейная комбинация, линейная зависимость, базис. Понятие линейной комбинации, в свою очередь, позволяет говорить о выпуклых множествах и телах — аналогах привычных понятий из геометрии.

Определение

Непустое множество $L$ называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

• Для любых двух элементов $x,y\in L$ однозначно определён элемент $z\in L$, который называется суммой этих элементов и обозначается $x+y$, причём
  1. Коммутативность: $x+y=y+x$,
  2. Ассоциативность: $(x+y)+z=x+(y+z)$,
  3. Существование нуля: существует такой элемент $0\in L$, что $\mathrm{\forall }x\in L:x+0=x$,
  4. Существование противоположного элемента: для каждого $x\in L$ существует такой $-x\in L$, что $x+(-x)=0$.

• Для любого числа $\alpha$ и любого элемента $x\in L$ определён элемент $\alpha x\in L$ (произведение элемента на число), причём
  1. $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$,
  2. $1\cdot x=x$,
  3. $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$,
  4. $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$.

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Два линейных пространства $L_1$ и $L_2$ называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если

$x_1,y_1\in L_1$,

$x_2,y_2\in L_2$,

и установлены следующие взаимные соответствия

$x_1\leftrightarrow x_2,y_1\leftrightarrow y_2$,

то для любого числа $\alpha$ должны выполняться соответствия

$x_1+y_1\leftrightarrow x_2+y_2$,

$\alpha x_1\leftrightarrow \alpha x_2$.

Примеры

Примером линейного пространства, является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R2 = { x = x1·i + x2· j}: x = x1·i + x2· j, y = y1·i + y2· j, x + y = (x1+ y1)·i + ( x2+ y2)· j, α·x = (αx1)·i + (αx2)· j, 0 = 0·i + 0· j, −x = (−x1)·i +(−x2)· j. Справедливость остальных аксиом линейного пространства следует из свойств операций сложения и умножения на число действительных чисел.

Линейная зависимость

Система элементов

$\{x_1,...,x_n\}$

линейного пространства $L$ называется линейно зависимой, если существуют такие числа

$a_1,...,a_n$,

не все равные нулю, что имеет место равенство

$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=0$.

Если же это равенство возможно только при

$a_1=a_2=...=a_n=0$,

то система векторов называется линейно независимой. Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема является линейно независимой.

Если в линейном пространстве $L$ можно найти $n$ линейно независимых элементов, а любые $n+1$ элементов являются линейно-зависимыми, то говорят, что пространство $L$ имеет размерность $n$. Если же в линейном пространстве можно выбрать любое конечное число линейно независимых элементов, то такое пространство называют бесконечномерным.

Базисом в n-мерном линейном пространстве называется любая система n линейно независимых элементов.

Конечномерные линейные пространства являются основным предметом изучения линейной алгебры, в анализе же, как правило, рассматриваются бесконечномерные линейные пространства.

Подпространства

Непустое подмножество $L^{\prime }$ линейного пространства $L$ называется подпространством, если оно является пространством по отношению к операциям сложения и умножения на число, определённых в исходном пространстве $L$. Другими словами, $L^{\prime }$ является подпространством $L$, если для любых чисел $\alpha$ и $\beta$:

$x,y\in L^{\prime }\Rightarrow \alpha x+\beta y\in L^{\prime }$.

Любое пространство можно считать своим подпространством. Кроме того, любое пространство содержит подпространство состоящее из одного — нулевого — элемента (так называемое нулевое подпространство). Подпространство, отличное от всего пространства и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Пересечение двух подпространств $L_1$ и $L_2$ линейного пространства $L$ также является подпространством этого пространства. Для доказательства, рассмотрим два произвольных вектора $x,y$, принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа $a,b$:

$x,y\in L_1\cap L_2$.

По определению пересечения множеств:

$x,y\in L_1$,

$x,y\in L_2$.

Следовательно, по определению подпространства линейного пространства:

$ax+by\in L_1$,

$ax+by\in L_2$.

Так как вектор $ax+by$ принадлежит и множеству $L_1$, и множеству $L_2$, то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

$x,y\in L_1\cap L_2\Rightarrow ax+by\in L_1\cap L_2$.

Утверждение доказано. По индукции можно доказать, что пересечение любого количества подпространств является подпространством.

Пусть $\{x_n\}$ — произвольное непустое множество элементов линейного пространства $L$. Наименьшее подпространство пространства $L$, содержащее $\{x_n\}$ называется линейной оболочкой множества $\{x_n\}$ и обозначается

$L(\{x_n\})$.

Покажем, что линейная оболочка множества существует. Рассмотрим систему всех подпространств, содержащих множество $\{x_n\}$, эта система содержит по меньшей мере один элемент — всё пространство $L$, и найдём пересечение всех таких подпространств. Так как пересечение любой системы подпространств снова есть подпространство, то полученное подпространство и будет наименьшим подпространством, содержащим $\{x_n\}$.

Линейно-независимая система $\{x_n\}$ элементов линейного пространства $L$ называется базисом Гамеля, если её линейная оболочка совпадает со всем $L$.

Фактор-пространства

Пусть $L$ — линейное пространство, а $L^{\prime }$ — некоторое его подпространство. Введём следующее отношение эквивалентности: два элемента $x,y\in L$ отнесём к одному классу эквивалентности, если их разность принадлежит подпространству $L^{\prime }$, то есть

$x\sim y\iff x-y\in L^{\prime }$.

Легко проверить, что это отношение действительно удовлетворяет аксиомам отношения эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рефлексивность:

$x-x=x+(-x)=0$,

так как любое подпространство содержит нулевой элемент, то любой элемент эквивалентен сам себе в указанном смысле.

Симметричность. Рассмотрим два вектора $x,y$. Пусть

$z=x-y$,

тогда:

$y-x=(-1)(x-y)=-z$,

так как $L^{\prime }$ — подпространство линейного пространства, то оно само является линейным пространством, а значит вместе с любым вектором содержит и обратный к нему.

Транзитивность. Рассмотрим три вектора $x,y,z$. Пусть

$x-y\in L^{\prime }$,

$y-z\in L^{\prime }$,

тогда, по определению подпространства линейного пространства:

$(x-y)+(y-z)\in L^{\prime }$,

с другой стороны

$(x-y)+(y-z)=x-y+y-z=x-z$,

а значит

$x-z\in L^{\prime }$.

Классы эквивалентности построенного отношения называются классами смежности(по подпространству $L^{\prime }$). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством пространства $L$ по $L^{\prime }$ и обозначается $L/L^{\prime }$.

В любом фактор-пространстве можно естественным образом ввести операции сложения и умножения на число. Рассмотрим два класса смежности : $\eta ,\xi \in L/L^{\prime }$. Выберем в каждом из этих классов по одному представителю

$x\in \eta ,y\in \xi$

и назовём суммой этих классов тот класс, которому принадлежит элемент $x+y$. Аналогичным образом определяется и произведение класса на число — класс, которому принадлежит произведение представителя на класса на то это число. Можно проверить, что определение сложения и умножения на число в фактор-пространстве не зависит от выбора представителей классов. Введённые таким образом операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства, а значит фактор-пространство линейного пространства само является линейным пространством, причём нулевым элементом фактор-пространства является подпространство $L^{\prime }$

Упражнение 1. Докажите, что введённые операции действительно удовлетворяют аксиомам линейного пространства и не зависят от выбора представителей классов смежности.

Размерность фактор-пространства $L/L^{\prime }$ называется коразмерностью подпространства $L^{\prime }$ в пространстве $L$.

Если коразмерность некоторого подпространства $L^{\prime }\subset L$ есть конечное число $n$, то в $L$ можно выбрать систему элементов $x_1,...,x_n$ таких, что всякий элемент $x\in L$ будет иметь единственное представление вида

$x=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i+y$,

где $a_1,...,a_n$ — некоторые числа и $y\in L^{\prime }$.

Упражнение 2. Докажите это утверждение.

Упражнение 3. Докажите, что если размерность пространства $L$ равна $n$, а размерность подпространства $L^{\prime }$ равна $k$, то размерность фактор-пространства равна $n-k$.

Решения для упражнений

Упражнение 1.

Пусть ${\eta }_1,{\eta }_2\in L/L^{\prime }$ — два класса смежности.

Докажем, что сумма классов не зависит от выбора представителей. Возьмём в каждом классе по два представителя:

$x_1,y_1\in {\eta }_1$,

$x_2,y_2\in {\eta }_2$.

Рассмотрим следующие вектора:

$x=x_1+x_2$,

$y=y_1+y_2$

и найдём разность между ними

$x-y=(x_1+x_2)-(y_1+y_2)=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)$.

По определению класса смежности

$x_1-y_1\in L^{\prime }$,

$x_2-y_2\in L^{\prime }$.

А так как $L^{\prime }$ — подпространство линейного пространства, то и

$x-y\in L^{\prime }$.

Таким образом, элементы $x_1+x_2$ и $y_1+y_2$ принадлежат одному классу смежности, а значит определение суммы для классов смежности действительно не зависит от выбора представителей.

Докажем, что определение умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя. Пусть дан класс смежности $\eta$ и число $a$. Выберем двух представителей класса

$x_1,x_2\in \eta$.

Нужно доказать, что вектора

$y_1=a{x}_1$

$y_2=a{x}_2$

принадлежат одному классу смежности. Вычислим их разность:

$y_2-y_1=a{x}_2-a{x}_1=a(x_2-x_1)$.

По определению класса смежности

$x_2-x_1\in L^{\prime }$,

но так как $L^{\prime }$ является линейным пространством, то

$y_2-y_1=a(x_2-x_1)\in L^{\prime }$.

Таким образом, определение операции умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя.

Докажем теперь, что для фактор-пространства с указанными операциями выполняются свойства линейного пространства.

Начнём с того, что укажем нулевой элемент фактор-пространства. Нулевым элементом фактор-пространства является подпространство $L^{\prime }$. Для доказательства этого факта нужно показать, что для любого класса смежности $\eta$ имеет место равенство

$\eta +L^{\prime }=\eta$.

Это равенство означает, что существуют такие вектора $x,y\in \eta$ и $z\in L^{\prime }$, что

$x+z=y$

или

$x-y=z$,

но так как $z\in L^{\prime }$, то и

$x-y\in L^{\prime }$,

а следоватльно они принадлежат одному классу смежности, а класс ${\eta }_0=L^{\prime }$ является нулевым элементом фактор пространства.

Для доказательства остальных свойств нужно использовать тот факт, что определение суммы классов смежности и умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя, а представители классов смежности являются элементами линейного пространства.

Упражнение 2.

Пусть фактор пространство $L/L^{\prime }$ имеет размерность $n$, выберем в этом фактор-пространстве базис

${\eta }_1,...,{\eta }_n$

тогда произвольный класс можно представить в виде линейной комбинации

$\eta =\sum _{j=1}^n{a}_j{\eta }_j$.

Рассмотрим вектор $x\in \eta$, выберем в каждом из базисных классов ${\eta }_j$ по одному представителю $x_j$, тогда, по определению класса смежности фактор-пространства

$y=x-\sum _{j=1}^n{a}_j{x}_j\in L^{\prime }$,

то есть любой вектор $x\in L$ действительно представим в виде

$x=\sum _{j=1}^n{a}_j{x}_j+y$,

причём

$y\in L^{\prime }$.

Упражнение 3.

Если $k=n$, то $L=L^{\prime }$ и теорема утверждение становится тривиальным. Будем далее считать, что $k<n$.

Пусть $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_k$ — базис в пространстве $L^{\prime }$. Так как размерность пространства $L$ равна $n$, то можно так выбрать вектора $x_1,...x_{n-k}$, чтобы система

$e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_k,x_1,...,x_{n-k}$

была линейно независимой. Вектора $x_1,...x_{n-k}$ принадлежат разным классам смежности, причём ни один из этих векторов не лежит в $L^{\prime }$. Действительно, если $x_j$ и $x_i$ принадлежат одному классу смежности, то

$x_j-x_i=y\in L^{\prime }$,

или

$x_j=x_i+\sum _{t=1}^k{a}_{t}e{\text{'}}_t$,

где $a_1,...a_k$ — некоторые числа, то есть система окажется линейно-зависимой. Аналогично доказывается, что $x_j\notin L^{\prime }$. Так как мы указали $n-k$ линейно-независимых векторов, принадлежащих разным классам смежности, то можно найти $n-k$ линейно-независимых классов смежности ${\eta }_1,...,{\eta }_{n-k}$.

Рассмотрим теперь произвольный класс смежности $\eta$ и выберем в нём представителя $x$. Так как система

$e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_k,x_1,...,x_{n-k}$

является линейно-независимой, то вектор $x$ можно представить в виде

$x=b_1{x}_1+...+b_{n-k}{x}_{n-k}+c_{1}e{\text{'}}_1+...+c_{k}e{\text{'}}_k$.

Так как

$z=c_{1}e{\text{'}}_1+...+c_{k}e{\text{'}}_k\in L^{\prime }$,

то вектор $x$ принадлежит классу смежности

$b_1{\eta }_1+...+b_{n-k}{\eta }_{n-k}$,

а так как класс смежности вполне определяется одним своим представителем, то

$\eta =b_1{\eta }_1+...+b_{n-k}{\eta }_{n-k}$.

Утверждение доказано.