Основы теоретической физики/Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

1.4.2. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

На практике, полную энергию и период колебаний одномерной системы, можно определить экспериментально. Рассмотрим, как можно получить вид потенциальной энергии U(x), если известна зависимость T(E). Математически, сформулированная задача сводится к решению интегрального уравнения  Шаблон:ОТФ , в котором известна левая часть.

Будем решать поставленную задачу для потенциальной ямы с одним минимумом. Выберем систему координат так, чтобы минимум был в нуле.

Рис. 1.6

Решать интегральное уравнение  Шаблон:ОТФ  будем в несколько этапов. Вначале нужно преобразовать интеграл  Шаблон:ОТФ  так, чтобы координата «x» была функцией от потенциальной энергии x(U): Шаблон:ОТФ

То есть мы будем искать не U(x), а обратную к этой зависимости функцию x(U). При таком преобразовании нужно заметить, что функция x(U) – двузначная. То есть при каждом значении $U\ne 0$, величина x(U) – принимает два значения. Поэтому нужно рассматривать два интеграла по областям, где функция x(U) непрерывна и однозначна. Найдем интеграл  Шаблон:ОТФ  как сумму площадей области A0x1 и области B0x2. Это области под кривыми $x_1(U)$ и $x_2(U)$. Шаблон:ОТФ

В интегралах  Шаблон:ОТФ  нас будут интересовать пределы не координат, а энергии: Шаблон:ОТФ

Умножим обе части выражения  Шаблон:ОТФ  на $\frac{dE}{\sqrt{\alpha -E}}$ и проинтегрируем все по энергии: Шаблон:ОТФ

Правая часть выражения  Шаблон:ОТФ  может быть вычислена если поменять порядок интегрирования (пределы интегрирования при этом тоже поменяются): Шаблон:ОТФ

Подставляя  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ , получим: Шаблон:ОТФ

Если теперь переобозначить $\alpha \to U$, то из  Шаблон:ОТФ  получим формулу для вычисления разности $x_2(U)-x_1(U)$: Шаблон:ОТФ

То есть по известной функции для периода T(E), можно определить разность $x_2(U)-x_1(U)$. Однако эта разность не позволяет узнать однозначный вид функции x(U). Другими словами, из полученного решения следует, что существует не одна, а бесконечное множество кривых потенциальных энергий U(x), приводящих к заданной функции периода T(E). Неоднозначность в решении  Шаблон:ОТФ  исчезает, если потребовать симметричности функции U(x) относительно оси «y». В этом частном случае получается: Шаблон:ОТФ

Как видно, формула  Шаблон:ОТФ  дает однозначную функцию зависимости траектории от потенциальной энергии если известна зависимость периода от энергии. Зависимость потенциальной энергии от координаты также будет определяться однозначно как функция, обратная к x(U).

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление