Основы теоретической физики/Одномерное движение

1.4.1. Одномерное движение

По определению, одномерным называют движение с одной степенью свободы. Функцию Лагранжа системы с одной степенью свободы, запишем пользуясь общей формулой  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Или для декартовых координат можно записать: Шаблон:ОТФ

Подставим функцию  Шаблон:ОТФ  в уравнения движения  Шаблон:ОТФ . Для одной степени свободы получаем: Шаблон:ОТФ

Чтобы найти теперь траекторию, нужно решить уравнение  Шаблон:ОТФ . Для решения нужно знать конкретный вид потенциальной энергии U(x). Если эта функция не известна, то в общем виде траекторию и время движения удобней искать с помощью закона сохранения энергии: Шаблон:ОТФ

Найдем теперь из  Шаблон:ОТФ  в общем виде траекторию и время движения: Шаблон:ОТФ

В формуле  Шаблон:ОТФ  подкоренное выражение должно быть больше нуля. Физически это означает, что движение возможно только если кинетическая энергия больше нуля: Шаблон:ОТФ

Области энергий, при которых возможно или невозможно движение, можно изобразить на графике зависимости U(x).

Рис.1.5

Движение системы с полной энергией E, может происходить только в области $x_{{}_A}<x<x_{{}_B}$ или в области $x>x_{{}_C}$, на графике. В точках, где кинетической энергии нет, а значит скорость равна нулю, потенциальная энергия равна полной $U(x)=E$, такие точки называются «границами движения» или «точками остановки».

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит в ограниченной области пространства. Такое движение называют «финитным».

Если область движения не ограничена или ограничена с одной стороны, то движение называется «инфинитным». При таком движении траектория частицы уходит в бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным: частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами. Область, в которой совершается такое движение (на рисунке это область $x_{{}_A}<x<x_{{}_B}$), называется «потенциальной ямой». Поскольку время изотропно, то время движения от $x_{{}_A}$ до $x_{{}_B}$, должно быть равно времени движения от $x_{{}_B}$ до $x_{{}_A}$. Поэтому, в общем случае, период колебаний можно найти как удвоенное время прохождения отрезка, равного «ширине» потенциальной ямы: Шаблон:ОТФ

Формула  Шаблон:ОТФ , определяет период финитного движения в зависимости от полной энергии. Пределы интегрирования $x_1(E)$;$x_2(E)$ – это корни уравнения $U(x)=E$.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление