Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания при наличии трения

1.5.5. Свободные одномерные колебания при наличии трения

Сила трения  Шаблон:ОТФ  входит как дополнительное слагаемое в уравнение движения  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

В уравнении  Шаблон:ОТФ , величина ${\omega }_{{}_0}$ — это частота, которая входит в решение уравнения  Шаблон:ОТФ , то есть имеет смысл частоты колебаний в отсутствии трения. Величина $\lambda$ - называется «коэффициентом затухания».

Найдем решение уравнения  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Теперь нужно рассмотреть три случая:

1. Пусть $\lambda <{\omega }_{{}_0}$. Получим в  Шаблон:ОТФ  два комплексно-сопряженных значения $\gamma$. Траектория должна быть вещественной величиной: Шаблон:ОТФ

Движение, описываемое формулой  Шаблон:ОТФ  называется «затухающим колебанием». Это гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем экспоненты $\lambda$.

Если $\lambda \ll {\omega }_{{}_0}$, то за время одного периода $T=\frac{2\pi }{\omega }$, амплитуда почти не изменится. Тогда, используя формулу  Шаблон:ОТФ , можно приближенно можно найти энергию системы: Шаблон:ОТФ

где $E_0$ — это начальное значение энергии.

2. Пусть $\lambda >{\omega }_{{}_0}$, тогда в  Шаблон:ОТФ  оба значения $\gamma$ будут вещественны и отрицательны. Траектория будет определяться по формуле: Шаблон:ОТФ

Это случай большого трения, движение состоит в убывании координаты по модулю. Такое движение называется «апериодическим затуханием».

3. Пусть $\lambda ={\omega }_{{}_0}$, тогда в  Шаблон:ОТФ  будет два одинаковых корня: $\gamma =-\lambda$ и траектория будет определяться формулой: Шаблон:ОТФ

Эта траектория тоже соответствует апериодическому затуханию.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление