Основы теоретической физики/Четырёхмерный потенциал поля

2.4.2. Четырёхмерный потенциал поля

Экспериментально установлено, что энергия частицы в электромагнитном поле, пропорциональна электрическому заряду этой частицы q, а также пропорциональна некоторой функции координат и времени, которую называют «потенциалом». Также известно, что любой электрический заряд пропорционален элементарному заряду, равному заряду электрона e. Поэтому энергию заряженной частицы в бесконечно малом электромагнитном поле можно записать следующим образом: Шаблон:ОТФ

В правой части Шаблон:ОТФ стоит функция координат и времени, поэтому для потенциала удобно использовать запись через скалярное произведение двух 4-векторов: Шаблон:ОТФ

Четырехмерный вектор A_i – называется «4-потенциал поля». Этот вектор можно расписать по компонентам: Шаблон:ОТФ

При такой записи 4-потенциал разделяется на «скалярный потенциал» $\phi$ и «векторный потенциал» поля $\overrightarrow{A}$. Заметим из Шаблон:ОТФ , что скалярный и векторный потенциалы могут быть функциями от трехмерных координат и от времени.

Заметим также, что входящая в Шаблон:ОТФ функция $f(\overrightarrow{r},t)$ - не определена однозначно, то есть на компоненты 4-потенциала Шаблон:ОТФ можно накладывать некоторые дополнительные условия. Например, к функции $f(\overrightarrow{r},t)$ можно прибавить произвольную функцию от координат $k(\overrightarrow{r})$, это будет эквивалентно прибавлению к векторному потенциалу градиента $▽k(\overrightarrow{r})$.

Найдем действие для свободной заряженной частицы в электромагнитном поле. Вклад поля в действие должен быть пропорционален энергии, значит получаем: Шаблон:ОТФ

В формуле Шаблон:ОТФ действие S_mf – это действие, обусловленное наличием энергии взаимодействия электромагнитного поля с зарядом частицы. Поскольку 4-потенциал поля можно определить с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности, то определим этот коэффициент так, как его принято определять по историческим причинам: $-\frac{1}{c}$. В таком случае полное действие запишется формулой: Шаблон:ОТФ

Через скалярный и векторный потенциалы формула Шаблон:ОТФ может быть записана в трехмерном виде: Шаблон:ОТФ

Поскольку действие определено как интеграл от функции Лагранжа, то переходя в Шаблон:ОТФ к интегрированию по времени, получим: Шаблон:ОТФ

Формула Шаблон:ОТФ определяет функцию Лагранжа свободной заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление