Основы теоретической физики/Уравнение движения заряда в поле
2.4.3. Уравнение движения заряда в поле
Зная функцию Лагранжа Шаблон:ОТФ, можно записать уравнения движения для одной или нескольких заряженных частиц в электромагнитном поле. Шаблон:ОТФ
В левой части Шаблон:ОТФ стоит обобщенная сила, которая находится как производная по времени от обобщенного импульса. Найдем этот импульс: Шаблон:ОТФ
В правой части Шаблон:ОТФ стоит градиент функции Лагранжа: Шаблон:ОТФ
Воспользуемся общими математическими свойствами градиента и ротора: Шаблон:ОТФ
Объединяя Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ, получим: Шаблон:ОТФ
Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, окончательно для градиента получаем: Шаблон:ОТФ
Подставим Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ в уравнение движения Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ
Полную производную от векторного потенциала по времени в левой части Шаблон:ОТФ можно расписать через сумму частных производных: Шаблон:ОТФ
Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, получим окончательное уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле: Шаблон:ОТФ
В левой части Шаблон:ОТФ стоит производная импульса по времени, значит правая часть представляет собой силу, действующую на заряд в электромагнитном поле. Как видно, эта сила состоит из двух частей: одна часть зависит от скорости, а другая не зависит. По определению, независящая от скорости сила, действующая на элементарный заряд, называется «напряженностью электрического поля». Из определения понятно, что напряженность электрического поля находится по формуле: Шаблон:ОТФ
Пропорциональное скорости слагаемое в Шаблон:ОТФ это сила, вектор которой перпендикулярен скорости. По определению, «напряженностью магнитного поля» называется ротор от векторного потенциала: Шаблон:ОТФ
Для электромагнитных полей различают два частных случая:
1. Поле называется электрическим если для напряженностей выполняется:.
2. Поле называется магнитным если
В общем случае электромагнитное поле является суперпозицией (наложением) электрической и магнитной составляющей.
Используя обозначения Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ, уравнение движения заряда (2.4.16) можно переписать в виде: Шаблон:ОТФ
Или для малых скоростей: Шаблон:ОТФ
Стоящая справа в Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ сила называется «силой Лоренца». Эта сила состоит из двух частей, одна из которых не зависит от скорости и со-направлена с напряженностью электрического поля, вторая часть зависит от скорости и перпендикулярна напряженности магнитного поля.
Найдем работу, производимую полем над свободной частицей за единицу времени (мощность электромагнитного поля): Шаблон:ОТФ