Аналитическая геометрия/Векторное произведение

Шаблон:Содержание «Аналитическая геометрия» Векторное произведение - вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой.

Определение

Векторное произведение двух векторов $a,b$ - вектор $c$:

1. $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=|a|*|b|*sin\phi =\overrightarrow{c}$, где $\phi$ — угол между векторами.
2. $\overrightarrow{c}$ ортогонален $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$;
3. Тройка векторов: $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ - правая.

Свойства

1. $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}]$
2. $[\lambda *\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\lambda [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$
3. $[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}]+[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$
4. $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}]=0$

Тождества

Тождество Якоби: $[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}],\overrightarrow{c}]+[[\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}],\overrightarrow{b}]+[[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}],\overrightarrow{a}]=0$.

Тождество Лагранжа: $[\overrightarrow{a},[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]]=\overrightarrow{b}*(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}*(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$.

$|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]{|}^2+(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}{)}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2*|\overrightarrow{b}{|}^2$.