Внутрипредметные связи

Применение геометрии в курсе алгебры

Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.Шаблон:ОпределениеПроникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «Геометрия помогает арифметике» (Островский А. И., Кордемский Б. А.).

Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.Шаблон:ОпределениеШаблон:Важное

Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет повторить и систематизировать знания обоих предметных областей.

Повторение приёмов работы с задачей

Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.Шаблон:Кстати

Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии.

Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией

Темы по алгебре и началам анализа	Теория по геометрии
Шаблон:По центру	Шаблон:По центру
Шаблон:По центру 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство)	1) векторный метод 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников
Шаблон:По центру 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений	1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников”
Шаблон:По центру	Шаблон:По центру

Образцы оформления задач

Пример 1. Решение уравнения

Шаблон:По центру Дано: $\sqrt{9+x^2-3x\sqrt{3}}+\sqrt{x^2+y^2-xy\sqrt{3}}+\sqrt{16+y^2-4y\sqrt{3}}=5$, где $(x,y)\in {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$.

Найти: $x$, $y$. Шаблон:По центру Особенности уравнения: оно иррациональное, а также содержит две переменные ($x$ и $y$).

Решить уравнение сложно, попробуем подойти с геометрической точки зрения. Шаблон:По центру

Признаки выбора теории по геометрии: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов.

1. Рассмотрим выражение $9+x^2-3x\sqrt{3}$. Оно равно $3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, или, что то же самое, $3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x\cdot \cos \mathrm{𝟑}{\mathrm{𝟎}}^{\mathbf{\circ }}$.
   Итак, имеет место равенство $9+x^2-3x\sqrt{3}=3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x\cdot \cos 30^{\circ }$.



Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.

2. Рассмотрим выражение $x^2+y^2-xy\sqrt{3}$. Оно равно $x^2+y^2-2\cdot x\cdot y\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, или, что то же самое, $x^2+y^2-2\cdot x\cdot y\cdot \cos \mathrm{𝟑}{\mathrm{𝟎}}^{\mathbf{\circ }}$.
   Итак, имеет место равенство $x^2+y^2-xy\sqrt{3}=x^2+y^2-2\cdot x\cdot y\cdot \cos 30^{\circ }$.



Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.

3. Рассмотрим выражение $16+y^2-4y\sqrt{3}$. Оно равно $4^2+y^2-2\cdot 4\cdot y\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, или, что то же самое, $4^2+y^2-2\cdot 4\cdot y\cdot \cos \mathrm{𝟑}{\mathrm{𝟎}}^{\mathbf{\circ }}$.
   Итак, имеет место равенство $16+y^2-4y\sqrt{3}=4^2+y^2-2\cdot 4\cdot y\cdot \cos 30^{\circ }$.



Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов

Теоретическая основа метода:

• метод „цепочки треугольников”
• тема: «Решение треугольников»

м

Чертёж 1. Пятиугольник

а