Высшая математика. Первый семестр/Вещественные числа

Множество рациональных чисел

Предварительные замечания

Определение. Рациональным числом будем называть дробь вида $\frac{p}{q}$, где p — целое число, q — натуральное число, причём p и q взаимно просты.

Множество всех рациональных чисел будем обозначать Q.

Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например $\sqrt{2}$, то есть нет такой рациональной дроби $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — натуральные числа), квадрат которого был бы равен $2$. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь $\frac{p}{q}$, что ${\left(\frac{p}{q}\right)}^2=2$. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть $p$ и $q$ лишёнными общих множителей. Так как $p^2=2q^2$, то $p$ есть число чётное: $p=2r$ ($r$ — целое)и, следовательно, $q$ — нечётное. Подставляя вместо $p$ его выражение, найдём: $q^2=2r$, откуда следует, что $q$ — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не может иметь рациональной длины $\frac{p}{q}$, ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен $2$, что, как мы видели, невозможно.

Свойства множества рациональных чисел

1. Замкнутость. Для любых двух рациональных чисел a и b их сумма $a+b$, разность $a-b$, произведение $a\cdot b$, а при $b\ne 0$ также и частное $a/b$ также будет рациональным числом.
2. Плотность. Между любыми двумя различными рациональными числами a и b существует хотя бы одно рациональное число c, например, $\frac{a+b}{2}$. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между a и c, а также между c и b тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами a и b существует бесконечно много рациональных чисел.
3. Упорядоченность. Для любых двух рациональных чисел a и b выполняется одно и только одно из трёх соотношений: $a<b,a=b,a>b$.
4. Неограниченность. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа r найдутся (даже целые) числа m и n такие, что $m<r<n$.