Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики

Основные определения

Функция

Пусть $A$ и $B$ — два произвольных множества. Функцией $f$ из $A$ в $B$ называется соответствие между элементами множества $A$ и множества $B$, при котором каждому элементу $x\in A$ сопоставляется какой-либо один элемент $y\in B$. При этом $y$ называется значением функции $f$ на элементе $x$, что записывается как $y=f(x)$ или $f:x\mapsto y$. Тот факт, что функция $f$ переводит элементы $x\in A$ в элементы $y\in B$, записывается так: $f:A\to B$. Множество $A$ называется областью определения функции (ООФ) $f$ и обозначается $𝒟(f)$ или ${𝒟}_f$.

Множество $A$ отображается функцией $f$ в множество $B$

Пример: Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров $A=\{1;2;\dots ;20\}$ и множество $B$ — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие $f$, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция $f:n\mapsto F$, где $n$ — номер студента в группе (от 1 до 20) и $F$ — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение $f(n)$ определено для всех $n\in A$. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества $B$ — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов $\in B$ не будет значением $f(n)$ ни при каком $n\in A$. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах $n_1\in A$ и $n_2\in A$ элемент Петров $\in B$ будет значением функции $f$, то есть $f(n_1)=Petrov$ и $f(n_2)=Petrov$.

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

$ℰ(f)=\{y\in B:y=f(x),x\in A\}$

не обязано совпадать со всем множеством $B$, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие $x_1,x_2\in 𝒟(f)$, что $x_1\ne x_2$, но $f(x_1)=f(x_2)$. В таком случае часто говорят, что элементы $x_1$ и $x_2$ склеиваются при отображении $f$.

Отображение функции

Если $ℰ(f)=B$, то есть для любого элемента $y\in B$ найдётся элемент $x\in A$ такой, что $f(x)=y$, то функция $f$ называется отображением $A$ на $B$ (напомним, что в общем случае $f$ — это отображение из $A$ в $B$). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией.

Если для любых двух разных элементов $x_1,x_2\in A$ ($x_1\ne x_2$) значения $f(x_1),f(x_2)\in B$ тоже разные ($f(x_1)\ne f(x_2)$), то отображение $f$ называется вложением множества $A$ в множество $B$, или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1: Пусть $A=ℝ,B=[-1;1]$ и отображение $f$ для $x\in A$ задано формулой $f(x)=\sin x$. Тогда $f$ — сюръекция, так как любое число $y$ из отрезка $[-1;1]$ равно значению $\sin x$ при некотором $x$.

Файл:Sinx.png

Все числа $y\in [-1;1]$ — это значения функции $\sin x$

Пример 2: Пусть $A=ℝ,B=ℝ$ и отображение $f:ℝ\to ℝ$ задано при $x\in ℝ$ формулой $f(x)=x^3$. Тогда отображение $f$ одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение $y\in ℝ$ есть значение $x^3$ при некотором $x$ (а именно, при $x=\sqrt[3]{y}$); 2) никакие два разных значения $x_1,x_2\in ℝ$ не могут дать одинаковых значений $x_1^3=x_2^3$, так как из неравенства $x_1<x_2$ следует неравенство $x_1^3<x_2^3$. 3) Танечка пописала мне в рот, я впервые в жизни ощутил вкус мочи.

Файл:Cubediff.png

Кубы разных чисел не совпадают

Взаимно-однозначное соответствие

Отображение $f:A\to B$, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между $A$ и $B$, или биекцией. Это означает, что каждому элементу $x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $y\in B$, причём для каждого элемента $y\in B$ имеется такой элемент $x\in A$, который сопоставлен этому $y$.

Замечание: Если отображение $f:A\to B$ — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества $A$ и множеством значений функции $ℰ(f)$, то есть частью множества $B$. Пусть $ℰ(f)=B^{\prime }$. Тогда функция $f$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами $A$ и $B^{\prime }$. (Более формально: функция $f_1:A\to B^{\prime }$, совпадающая с $f$ при всех $x\in A$, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции $f$ и $f_1$ имеют одну и ту же область определения $A$ и их значения совпадают при всех $x\in A$, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой $f$.)

Множество $𝒟(f)$ взаимно-однозначно отображается на множество $ℰ(f)$

Пример 1: При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто $p$ соответствует ровно один выданный номерок $n$. Таким образом, между множеством $P$ сданных пальто и множеством выданных номерков $N^{\prime }$ ($N^{\prime }$ — это подмножество множества $N$ всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f:p\mapsto n$ ($p\in P$, $n\in N^{\prime }$).

Обратная функция

Если $f:A\to B$ — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$, который переходит в этот самый $y$ при отображении $f$, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению $f$ и обозначается $f^{-1}$. Таким образом, $f^{-1}:B\to A$, и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$ ($x\in A$, $y\in B$).

Пример 1: В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N^{\prime }$ — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N^{\prime }$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$. Соответствие $g:N^{\prime }\to P$, $n\mapsto p$ ($n\in N^{\prime }$, $p\in P$) — это обратная функция к функции $f:P\to N^{\prime }$, $p\mapsto n$, то есть $g=f^{-1}$.

Очевидно, что в случае, если $f:A\to B$ — биекция и $f^{-1}$ — обратная к $f$ функция, то $f^{-1}(f(x))=x$ для всех $x\in A$ и $f(f^{-1}(y))=y$ для всех $y\in B$. Последнее равенство показывает, что $(f^{-1}{)}^{-1}=f$ и что функции $f$ и $f^{-1}$ взаимно обратны. (То есть если $g$ — функция, обратная к $f$, то $f$ — функция, обратная к $g$.)

Файл:F-1.png

Функции $f$ и $f^{-1}$ взаимно обратны

Итак, для того чтобы функция $f:A\to B$ имела обратную функцию $f^{-1}:B\to A$, функция $f$ должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между $A$ и $B$. Тогда обратная функция $f^{-1}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между $B$ и $A$.

Пример 2: Функция $f:[0;+\mathrm{\infty })\to [0;+\mathrm{\infty })$, заданная формулой $y=f(x)=x^2$, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: $x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Файл:Sqrtx.png

Функции $y=x^2$ и $x=\sqrt{y}$ — взаимно обратны

В математическом анализе основную роль играют такие функции $f$, у которых значениями служат вещественные числа, то есть $ℰ(f)\subset ℝ$. Такие функции $f$ называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 3: Пусть $A$ — множество всевозможных отрезков $CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $C$ и $D$) не совпадают. Пусть соответствие $f$ сопоставляет каждому такому отрезку $CD$ его длину $f(CD)=|CD|$. Так как длина отрезка — число, то $f$ — числовая функция, $f:A\to ℝ$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $ℰ(f)=\{y\in ℝ:y>0\}$.

Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями $f$, область определения которых $𝒟(f)$ также является подмножеством числовой прямой $ℝ$, то есть такими функциями $f:A\to B$, где $A\subset ℝ$ и $B\subset ℝ$. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве ${ℝ}^n$, равном прямому произведению $n$ экземпляров множества $ℝ$ (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

График функции

Графиком функции $f:A\to B$ называется множество пар $(x;y)$ элементов $x\in A$ и $y\in B$, такое, что в каждой паре $(x;y)$ второй элемент $y$ — это значение функции $f(x)$, соответствующее первому элементу пары, то есть $x$.

Рассмотрим множество всевозможных пар $(x;y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества $A$ на множество $B$ и обозначается $A\times B$.

Ясно, что график ${\mathrm{\Gamma }}_f$ функции $f$ — это подмножество прямого произведения $A\times B$ :

${\mathrm{\Gamma }}_f=\{(x;y)\in A\times B:y=f(x)\}\subset A\times B.$

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в $ℝ\times [-1;1]$ ; график примера 1.3 — подмножество в $ℝ\times ℝ={ℝ}^2$ ; оба графика примера 1.6 — подмножества в ${ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}={ℝ}_{+}^2$ (здесь мы ввели обозначение ${ℝ}_{+}=[0;+\mathrm{\infty })$, которого будем придерживаться и далее).

Пример 1: Пусть $A$ — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости ${ℝ}^2$ с координатами $x_1$ и $x_2$, с центром в точке $O(0;0)$. Функцию $f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $(x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2$.

Графиком ${\mathrm{\Gamma }}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $A\times ℝ$. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве ${ℝ}^2\times ℝ={ℝ}^3$. Обозначим координаты точек в ${ℝ}^3$ через $x_1,x_2,y$. Тогда графику ${\mathrm{\Gamma }}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $x_1^2+x_2^2⩽1$.

Множество $G_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $(0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.

Файл:Konus.png

График расстояния до точки $O$ — это конус

Как мы видим, в случае, когда $A$ — подмножество плоскости ${ℝ}^2$, график числовой функции $f:A\to ℝ$ — это подмножество точек пространства ${ℝ}^3$. Если же $A$ — подмножество точек пространства ${ℝ}^3$, то графиком числовой функции $f:A\to ℝ$ будет подмножество ${\mathrm{\Gamma }}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $A\times ℝ\subset {ℝ}^3\times ℝ={ℝ}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график ${\mathrm{\Gamma }}_f$ описать каким-то иным способом.

Пример 2: Пусть $A={ℝ}^3$ и для каждой точки $x=(x_1;x_2;x_3)\in {ℝ}^3$ значение функции $f$ в этой точке — это квадрат расстояния от $x$ до точки $O(0;0;0)$, то есть $f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=|x{|}^2$. Тогда график ${\mathrm{\Gamma }}_f$ — это подмножество в ${ℝ}^4$ :

${\mathrm{\Gamma }}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in {ℝ}^4:y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.$

Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула $y=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью $\{(x_1,x_2,x_3,y)\in {ℝ}^4:x_2=0,x_3=0\}$ — это парабола $y=x_1^2$ в плоскости $x_{1}Oy$, а сечение трёхмерным пространством $\{(x_1,x_2,x_3,y)\in {ℝ}^4:y=0\}$ — это одна точка $(0;0;0;0)$.

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида $y=f(x)$. Способ задания функции $f:A\to B$ зависит от того, какова природа множеств $A$ и $B$ и как по заданному $x\in A$ определяется $y=f(x)\in B$. Выделим основные из этих способов.

Способы описания функций

Табличный

Если множество $A=𝒟(f)$ конечно и состоит из $N$ элементов $x_1,x_2,\dots ,x_N$, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе $x\in A$. Часто это делают в виде таблицы:

$x$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_N$
$y$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_N$

В верхней строке таблицы перечисляются все $N$ элементов конечного множества $A$, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

С помощью формулы (аналитически)

Если множество $A=𝒟(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $x$ найти соответствующее ему значение $y$, например:

• $f(x)=\arcsin x,$ при $𝒟(f)=[-1;1];$
• $f(x)=\sqrt[4]{x},$ при $𝒟(f)=[0;+\mathrm{\infty });$
• $f(x)=\ln (1-x),$ при $𝒟(f)=(-\mathrm{\infty };1);$
• $f(x)=\ln x_1{x}_2,$ при $𝒟(f)=\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:x_1{x}_2>0\}\subset {ℝ}^2.$

Замечание: Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $A$, считаются различными. Так, функция $f(x)=\arcsin x$ при $x\in [0;1]$ и функция $g(x)=\arcsin x$ при $x\in [-1;1]$ — это две разные функции, так как функция $f$ устанавливает соответствие между точками множества $[0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $g$ — между точками другого множества $[-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как $f(x)=g(x)$ при всех $x\in [0;1]$.

Ограничение функции

Если дана функция $f:A\to B$, и $A\subset A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $f$ только на элементах $x\in A$. Эта функция $f:A\to B$ определена равенством $f(x)=f(x)$ при $x\in A$. Функция $f$ называется ограничением функции $f$ на подмножество $A\subset A$ её области определения $A=𝒟(f)$ и обозначается $f{|}_A$, то есть $f=f{|}_A$.

Пример 1: Пусть $A={ℝ}^2=\{(x;y):x\in ℝ,y\in ℝ\}$ — числовая плоскость и функция $f$ задана формулой

$f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Рассмотрим на плоскости $A$ подмножество — прямую линию $L$, заданную уравнением $x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $f{|}_L$ точки только прямой $L$. Ограничение $f{|}_L(x;y)$ определено только при $x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы

$f{|}_L(x;y)=x^2+2xy-y^2,x+y=1,$

можно задать такими формулами:

$f{|}_L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x{)}^2=-2x^2+4x-1,x+y=1$ (1.1)

(так как $y=1-x$ на прямой $L$), или

$f{|}_L(x;y)=(1-y{)}^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,x+y=1$ (1.2)

(так как $x=1-y$ на прямой $L$). Во всех точках $(x;y)$ прямой $L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $f{|}_L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $f{|}_L$ те же значения, что функция одного переменного $x$ : $f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного $y$ : $f_2(y)=-2y^2+1$.

Две последние функции называются параметризациями ограничения $f{|}_L$.

Пример 2: Пусть $f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ — функция, заданная во всех точках плоскости ${ℝ}^2=𝒟(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$. Пусть $A=l$ — прямая $x_2=1$ на плоскости ${ℝ}^2$. Тогда функция $f(x)=f{|}_l(x)$ равна $x_1^2+2x_1^{+}3\cdot 1-1^2=x_1^2+2x_1+2$. Формально ограничение зависит от точек $(x_1,x_2)$ плоскости ${ℝ}^2$, но только таких, что $x_2=1$. Поэтому задание этого ограничения $f(x_1,x_2)$ эквивалентно заданию числовой функции одного переменного $g(x_1)=x_1^2+2x_1+2$. Функция $g$ — это одна из возможных параметризаций функции $f{|}_l$.

Замечание: Во многих учебных примерах при задании функции $f$ при помощи формулы не указывают область определения $𝒟(f)$. При этом по умолчанию предполагается, что область определения $𝒟(f)$ — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента $x$, для которых задающее функцию $f$ выражение $f(x)$ имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область $𝒟(f)$, если в этом возникнет необходимость.

Пример 3: Пусть функция $f$ задана формулой

$f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},𝒟(f)\subset ℝ.$

По умолчанию считается, что области $𝒟(f)$ принадлежат все те точки $x\in ℝ$, что $x^6+2x^3-5x^2+3x+7⩾0$. Разумеется, для каждой заданной точки $x_0$ проверить это условие несложно, однако описать множество $𝒟(f)$ в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.

Если $𝒟(f)$ — это множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, то функция $f:\mathbb{N}\to B$ называется последовательностью. Так как $\mathbb{N}$ содержит бесконечное множество чисел $1,2,3,\dots$, то задать $f$ в виде таблицы значений $y_n=f(n)$, где $n\in \mathbb{N}$, вообще говоря, нельзя. Однако если функция $f(n)$ легко угадывается по своим значениям $y_n$ при небольших $n$, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

Пример 4: Пусть $y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $f(n)=n^2$ при любом $n\in \mathbb{N}$. Эта формула не противоречит выписанным значениям $f_1,f_2,f_3$ и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $f_1,f_2,f_3$, но, быть может, другие значения $f_4=f(4),f_5=f(5),\dots$.

Пример 5: Последовательность чисел Фибоначчи $f_n$ задаётся так: два первых члена полагают равными единице ($f_1=1,f_2=1$), а при $n⩾3$ вычисляют $f_n$ по формуле $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$. Таким образом, $f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8$ и т. д.

Указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.

Пример: Пусть $a\in ℝ$ и $f(a)$ — это наибольший корень $x_{\max }$ уравнения $a{x}^4+2x^2-3ax+a^2=0$. Этим условием задаётся некоторая функция $f:a\mapsto x_{\max }$. Её область определения $𝒟(f)$ не пуста, так как, например, при $a=0$ получается уравнение $2x^2=0$, у которого имеется единственный корень $x_{\max }=0$, так что $f(0)=0$ и, следовательно, $0\in 𝒟(f)$. Однако ни выразить значение $f(a)$ формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения $𝒟(f)$ функции $f$ не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции $f$ возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений $f(a)$, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению $a=a_0$ определять значение $x_{\max }=f(a_0)$ либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что $a_0$ не принадлежит $𝒟(f)$.

Изменяя число $a$ в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения $f(a)$ с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график $y=f(a)$ по точкам.

Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.

Если числовая функция $f(x)$, где $x\in A\subset ℝ$, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки $x_k\in A$, $k=1,\dots ,N$, и нанося на координатную плоскость $xOy$ точки вида $(x_k;f(x_k))$ и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения $f(x)$ через $x$.

Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции $f(x)$ по заданным $x$, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента $x$ часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении $f$, вызванной тремя причинами:

1. приближённостью задания переменного $x$ (погрешностью аргумента);
2. приближённостью способа получения значения $f(x)$ (погрешностью метода);
3. приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).

Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления $f(x)$. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график $y=f(x)$, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией $f$, и по другим косвенным признакам.