Дифференциальные уравнения/Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение и способ решения

Пусть $y(x)$ — некоторая функция, $y^{\prime }(x)$ — ее производная. Для удобства будем записывать производную в виде $\frac{dy}{dx}=y^{\prime }(x)$, имеющим смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал $dx$ — приращение значения переменной в окрестности $x$, стремящееся к нулю. Дифференциал функции $dy$ — малое приращение функции, $dy=f(x+dx)-f(x)=y^{\prime }(x)dx$. Пусть $f(x)$ и $g(y)$ — некоторые функции от $x$ и $y$. Рассмотрим уравнение

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на $\frac{dx}{g(y)}$:

$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при $x=x_0$ $y=y_0$ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от $y_0$ до $y$ для левой части и от $x_0$ для $x$ для правой части уравнения:

$\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}\frac{dy}{g(y)}=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(x)dx$.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить $y(x)$.

Значения $x_0$ и $y_0$ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — $\int f(x)dx=F(x)+C$, где $F(x)$ — первообразная $f(x)$, $C$ — произвольная постоянная, запишем это в виде

$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные $y$, удовлетворяющие уравнению $g(y)=0$. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение $\frac{dy}{dx}=(x+1){\cos }^{2}y$.

Разделим переменные:

$\frac{dy}{({\cos }^{2}y)}=(x+1)dx$.

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

$\int \frac{dy}{\left({\cos }^{2}y\right)}=\int (x+1)dx$,

$\mathrm{tg}y=\frac{x^2}{2}+x+C$.

Осталось лишь выразить $y$ через $x$:

$y=\mathrm{arctg}(\frac{x^2}{2}+x+C)$.

Найдем также нулевые решения:

${\cos }^{2}y=0\iff y=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y(x)=\mathrm{arctg}(\frac{x^2}{2}+x+C),C=\mathrm{const},y(x)=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Пример 2

Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна $m$, с топливом — $m_0$. Скорость выброса топлива относительно ракеты равна $u$. Ракета движется вдали от звезд и планет.

Файл:УравнениеЦиолковского.png

Рис. 1

Пусть ракета движется вдоль оси $Ox$ (Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива $(-dm)$. При этом скорость ракеты увеличивается на $dv$. Запишем закон сохранения импульса в проекции на $Ox$:

$mv=(-dm)(v-u)+(v+dv)(m+dm)$.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

$mdv=-udm-dvdm$.

Величина $dvdm$ — произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:

$mdv=-udm$.

Интегрируем:

$\underset{0}{\overset{v}{\int }}\frac{1}{u}dv=\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}-\frac{1}{m}dm$,

${\frac{v}{u}|}_0^v={-u\ln m|}_{m_0}^m$,

$\frac{v}{u}=-\ln m+\ln m_0$,

$v=u\ln \frac{m_0}{m}$.

Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским.

Ответ: $v=u\ln \frac{m_0}{m}$.

Пример 3

Пружина жесткостью $k$ с прикрепленным к ней грузом массой $m$ находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси $Ox$. В начальный момент времени грузу сообщают скорость $v_0$ вдоль $Ox$. Найти зависимость координаты груза от времени.

Файл:ГармоническиеКолебания.png

Рис. 2

В произвольный момент времени координата груза равна $x$, скорость — $v$ (Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:

$\frac{m{v}^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}=\frac{m{v}_0^2}{2}$.

Выполним следующие преобразования:

$m{v}^2=m{v}_0^2-k{x}^2$,

$v^2=v_0^2-\frac{k}{m}{x}^2$,

$v=v_0\sqrt{1-\frac{k}{m}\frac{x^2}{v_0^2}}$.

Введя обозначение ${\omega }^2=\frac{k}{m}$ и записав скорость в виде $v=\frac{dx}{dt}$, получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

$\frac{dx}{dt}=v_0\sqrt{1-{\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)}^2}$.

Разделим переменные:

$\frac{dx}{\sqrt{1-{\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)}^2}}=v_{0}dt$,

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-{\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)}^2}}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{v}_{0}dt$.

Найдем $\int \frac{dx}{\sqrt{1-{\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)}^2}}$. Для этого выполним замену $\frac{\omega x}{v_0}=\sin z$. Тогда $\sqrt{1-{\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)}^2}=\sqrt{1-{\sin }^{2}z}=\cos z$. Выразим дифференциал $dx$: $x=\frac{v_0}{\omega }\sin z$, $dx=\frac{dx}{dz}dz=(\frac{v_0}{\omega }\sin z)dz=\frac{v_0}{\omega }\cos zdz$. Теперь интегрируем:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-{\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)}^2}}=\int \frac{v_0\cos zdz}{\omega \cos z}=\frac{v_0}{\omega }\int dz=\frac{v_0}{\omega }z+C=\frac{v_0}{\omega }\arcsin \frac{\omega x}{v_0}+C$.

Подставляя в уравнение, имеем:

${\frac{v_0}{\omega }\arcsin \frac{\omega x}{v_0}|}_0^x={v_{0}t|}_0^t$,

$\arcsin \frac{\omega x}{v_0}=\omega t$,

$x=\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t$.

Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен $\frac{v_0}{\omega }$. Он часто обозначается буковой $A$ и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.

Ответ: $x=A\sin \omega t,A=\frac{v_0}{\omega },\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Задачи

Решить дифференциальные уравнения:

1. $\frac{dy}{dx}=2y^{\frac{1}{2}}.$ Шаблон:Hider
2. $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^2}.$ Шаблон:Hider
3. $\frac{dy}{dx}+xy=0.$ Шаблон:Hider
4. $\frac{dy}{dx}=x+y.$ Шаблон:Hider Шаблон:Hider
5. $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1-x}\sin y},y(0)=0.$ Шаблон:Hider
6. $\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{x},y(1)=\sqrt{3}.$ Шаблон:Hider Шаблон:Hider
7. Конденсатор емкостью $C$, заряженный до напряжения $U$, подключили к резистору с сопротивлением $R$. Через какое время заряд $q$ конденсатора достигнет 1% первоначального значения? Шаблон:Hider Шаблон:Hider
8. Шарик массой $m=0,5$ кг подбросили вертикально вверх со скоростью $v_0=20$ м/с. Чему равна максимальная высота $h_{\text{max}}$ подъема шарика? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, коэффициент сопротивления равен $k=0,5$ Н$\cdot$с/м. Шаблон:Hider Шаблон:Hider

---