Интегральное исчисление/Понятие о неопределённом интеграле

← Введение | Понятие о неопределённом интеграле | Таблица интегралов →

---

Рассмотрим некоторую функцию $f(x)$, непрерывную на конечном или бесконечном отрезке $𝒳$ (при этом предполагается, что функция непрерывна на интервале $(a,b)$ и имеет правую производную в точке $a$ и левую производную — в точке $b$).

Шаблон:ЯкорьШаблон:Определение В силу теоремы 2.1 можно написать: Шаблон:Формула где $C$ — произвольная постоянная.

Непосредственно из определения неопределённого интеграла следуют следующие утверждения:

1. Дифференциал (производная) интеграла равен подынтегральному выражению: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула 2. Интеграл от дифференциала первообразной равен сумме этой первообразной и произвольной константы: Шаблон:Формула Последнее утверждение явно доказывается, если его переписать в виде: Шаблон:Формула и учесть, что по определению первообразной $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Из этих двух утверждений следует, что математические операции «дифференцирование» и «интегрирование» взаимно уничтожают друг друга, главное необходимо учесть появление произвольной постоянной $C$.

Геометрическая интерпретация

Рисунок 2.1. Интегральные кривые для $y^{\prime }=x^2-x-1$.

Рассмотрим геометрическое толкование интегрирования. Шаблон:Определение Иными словами, это кривая, касательная к которой при любом значении $x$ имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентом Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула то есть при любом значении независимой переменной $x$ интегральная кривая задаёт направление касательной к кривой $y=f(x)$.

Если построена одна такая интегральная кривая, то по теореме 2.1 можно построить всё семейство интегральных кривых (рисунок 2.1), для этого нужно передвигать её на любой отрезок параллельно оси $OY$. Таким образом семейство описывается уравнением: Шаблон:Формула Для того чтобы определить положение конкретной интегральной кривой, то есть получить выражение искомой первообразной функции, нужно задать какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, например, через точку с координатами $(x_0;y_0)$. Подставляя эти начальные значения в уравнение (2.13), мы получим уравнение для определения произвольной постоянной $C$: Шаблон:Формула тогда окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид: Шаблон:Формула

Пример

Пример 4.1. Найти неопределённый интеграл от функции $f(x)=|x|$.

Решение. Согласно (2.1) можно записать, что $F^{\prime }(x)=f(x)$. Распишем определение $|x|$: Шаблон:Формула Значит, Шаблон:Формула Так как Шаблон:Формула то можно записать, что Шаблон:Формула По определению 2.2 неопределённый интеграл от функции $f(x)=|x|$ будет иметь вид Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула где $C_1,C_2$ — произвольные константы.

Выражение (2.21) можно записать проще, если потребовать непрерывность интеграла в точке $x=0$, то есть нужно найти такие постоянные $C_1$ и $C_2$, чтобы удовлетворялось равенство: Шаблон:Формула Очевидно, что последнее равенство выполняется при $C_1=C_2=C$, тогда (2.21) можно переписать как Шаблон:Формула где $\mathrm{sgn}x$ — знак числа $x$.