Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат $Oxyz$, находят направляющие вектора двух прямых $\overrightarrow{s_1}(a,b,c)$ и $\overrightarrow{s_2}(d,e,f)$ (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой $\overrightarrow{m}(g,h,l)$, где $a,b,c,d,e,f,g,h,l\in ℝ$. Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:

$d=\frac{\left|(\overrightarrow{m},\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2})\right|}{\left|[\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2}]\right|}$, где $\left|(\overrightarrow{m},\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2})\right|$ — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно

$\left|\begin{array}{ccc}g& h& l\\ a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right|=gbf+chd+ale-dbl-ahf-gec$,

а $\left|[\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2}]\right|$ — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно

$\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right|=bf\overrightarrow{i}+cd\overrightarrow{j}+ae\overrightarrow{k}-db\overrightarrow{k}-af\overrightarrow{j}-ce\overrightarrow{i}=(bf-ce,cd-af,ae-db)$, а сам модуль равен $\left|[\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2}]\right|=\sqrt{(bf-ce{)}^2+(cd-af{)}^2+(ae-db{)}^2}$

Пример

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ найти расстояние между прямыми $A_{1}D$ и $C{C}_1$, если ребро куба равно 1.

Решение с использованием обычной геометрии

Найдём плоскость, перпендикулярную прямой $C{C}_1$. Это будет плоскость $(ABC)$. Проекцией прямой $A_{1}D$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $AD$. Из точки С, как точки пересечения прямой $C{C}_1$ и плоскости $ABC$ опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая $CD$, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.

Ответ: 1.

Решение с помощью аналитической геометрии

Введём в точке A декартовую систему координат так, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{j},\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{k}$, тогда координаты интересующих нас точек равны $A_1(0;0;1),D(0;1;0),C(1;1;0),C_1(1,1,1)$, а нужные нам вектора имеют координаты $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{DC}(1;0;0),\overrightarrow{s_1}=\overrightarrow{C{C}_1}(0;0;1),\overrightarrow{s_2}=\overrightarrow{A_{1}D}(0;1;-1)$.

Смешанное произведение трёх векторов равно $(\overrightarrow{m},\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2})=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=-1$, а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно $[\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2}]=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=-\overrightarrow{i}=(-1;0;0)$, а его модуль тогда равен $\sqrt{(-1{)}^2+0^2+0^2}=1$, и расстояние между прямыми равно $d=\frac{1}{1}=1$.

Ответ: 1.

Угол между двумя плоскостями

Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат $Oxyz$, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек $A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r)$ находят уравнение плоскости согласно уравнению

$\left|\begin{array}{ccc}x-s& y-t& z-u\\ m-s& n-t& o-u\\ p-s& q-t& r-u\end{array}\right|=0$ и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле $\cos \phi =\frac{(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}$, где в числителе стоит скалярное произведение векторов.

Пример

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ найти угол между плоскостями $AC{C}_1$ и $B{B}_1{D}_1$, если ребро куба равно $a$.

Решение методом обычной геометрии

1. $B{B}_1{D}_1\cap AC{C}_1=O{O}_1$, где $O=B_1{D}_1\cap A_1{C}_1,O_1=BD\cap AC$

2. $O{O}_1\perp ABC,ABC\cap AC{C}_1=AC,ABC\cap B{B}_1{D}_1=BD$

3. $\mathrm{\angle }(AC,BD)=90^{\circ }$ (как угол между диагоналями квадрата, $ABCD$ — квадрат, как одно из оснований куба.

Ответ: $90^{\circ }$

Решение методом аналитической геометрии

Введём декартовую систему координат Oxyz так, что $\overrightarrow{AB}(a;0;0),\overrightarrow{AD}(0;a;0),\overrightarrow{A{A}_1}(0;0;a)$, тогда координаты интересующих нас точек равны $A(0;0;0),A_1(0;0;a),C(a;a;0),B(a;0;0),B_1(a;0;a),D(0;a;0)$. Уравнение плоскости $A{A}_{1}C$:

$\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ 0& 0& a\\ a& a& 0\end{array}\right|=0\iff a^{2}y-a^{2}x=0\Rightarrow \overrightarrow{n_1}(-a^2;a^2;0)$

Уравнение плоскости $B{B}_{1}D$:

$\left|\begin{array}{ccc}x-a& y& z\\ 0& 0& a\\ -a& a& 0\end{array}\right|=0\iff -a^{2}y-a^2(x-a)=0\iff -a^{2}x-a^{2}y+a^3=0\Rightarrow \overrightarrow{n_2}(-a^2;-a^2;0)$

$(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})=-a^2\cdot (-a^2)-a^2\cdot a^2=0$. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен $90^{\circ }$

Ответ: $90^{\circ }$