Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Задачи

Векторы

Упорядоченные наборы чисел

вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 )

Системы линейных уравнений

Метод Гаусса

Задачи

1. Дана система уравнений:
   
   $\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccccccc}ax& +& y& +& z& =& 4\\ x& +& by& +& z& =& 3\\ x& +& 2by& +& z& =& 4\end{array}\end{array}$
   
   Для каких значений $a,b$ существует:
   1. единственное решение?
   2. бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.
2. Дана система уравнений:
   
   $\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}ax& +& by& =& 0\\ cx& +& dy& =& 0\end{array}\end{array}(*)$
   
   
   1. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является $ad-bc\ne 0$.
   2. Предположем, что $A\ne 0$ и $ad-bc=0$.
      1. Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.
      2. Предположим, $(x_0,y_0)$ какое-то нетривиальное решение системы $(*)$. Докажите, что $S=\{(\lambda x_0,\lambda y_0)|\lambda \in ℝ\}$ является множеством решений системы.
3. Предположим $u,v,w$ линейно-независимые векторы в ${ℝ}^n$. В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми:
   1. $u-v-w,u+v-2w,u+w$
   2. $u+3v-w,u+v-3w,v+w$.

Пространство ${ℝ}^n$

Задачи

1. Покажите, что линейная оболочка векторов $u_1=(1,1,1),u_2=(1,2,3),u_3=(1,5,8)$ совпадает с пространством ${ℝ}^3$.
   • Мы должны показать, что произвольный вектор $v=(a,b,c)$ в ${ℝ}^3$ — линейная комбинация векторов $u_1,u_2,u_3$, то есть
     
     $v=x{u}_1+y{u}_2+z{u}_3$
     
     или, другими словами,
     
     $(a,b,c)=x(1,1,1)+y(1,2,3)+z(1,5,8)=(x+y+z,x+2y+5z,x+3y+8z)$
     
     Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:
     
     $\{\begin{array}{c}x+y+z=a\\ x+2y+5z=b\\ x+3y+8z=c\end{array}⟶\{\begin{array}{c}x+y+z=a\\ y+4z=b-a\\ 2y+7z=c-a\end{array}⟶\{\begin{array}{c}x+y+z=a\\ y+4z=b-a\\ z=-c+2b-a=\end{array}$
     
     Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение: $x=-a+5b-3c,y=3a-7b+4c,z=-a+2b-c$.
     
     Следовательно, произвольный вектор из ${ℝ}^3$ является линейной комбинацией векторов $u_1,u_2,u_3$, т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством.

Поле комплексных чисел

↑====Задачи====

1. Найти тригонометрическое представление комплексного числа $i-1$.

   • Для начала запишем $i-1$ в стандартном виде ($z=a+bi$).

     Используем формулу $r(\cos \mathrm{\Theta }+i\sin \mathrm{\Theta })$ для тригонометрического представление комплексного числа.

     Используем формулу $r=\sqrt{a^2+b^2}$ и найдём $r$. $r=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$. $\cos \mathrm{\Theta }r=a$.
     $\cos \mathrm{\Theta }*\sqrt{2}=-1$
     $\cos \mathrm{\Theta }=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. Доказать $\left|\begin{array}{c}\frac{a+ib}{b+ia}\end{array}\right|=1$.
3. Доказать $\left|\begin{array}{c}\frac{a+ib}{a-ib}\end{array}\right|=1$.
   • $\left|\begin{array}{c}\frac{a+ib}{a-ib}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{(a+ib)(a+ib)}{(a+ib)(a-ib)}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{a^2+2abi-b^2}{a^2+b^2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}i\end{array}\right|=$
     
     $=\sqrt{\frac{(a^2-b^2{)}^2}{(a^2+b^2{)}^2}+\frac{4a^2{b}^2}{(a^2+b^2{)}^2}i}=\sqrt{\frac{a^4-2a^2{b}^2+b^4+4a^2{b}^2}{(a^2+b^2{)}^2}}=\sqrt{\frac{a^4-2a^2{b}^2+b^4}{a^4-2a^2{b}^2+b^4}}=$
     
     $=\sqrt{1}=1$.

Линейные (векторные) пространства

Задачи

1. Докажите или опровергните: ${ℝ}_4\left[x\right]=Sp\{x^2-x^3,x-x^3\}\oplus Sp\{x^2+1,x+2\}$.
   • Во-первых,

Базис и размерность

Базис линейного пространства

Задачи

1. Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:
   
   $\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccccccccc}{x}_1& +& x_2& +& x_3& -& x_4& =& 0\\ x_1& +& 2x_2& +& x_3& -& 2x_4& =& 0\\ 3x_1& +& 4x_2& +& 3x_3& -& 4x_4& =& 0\\ 2x_1& +& 3x_2& +& 2x_3& -& 3x_4& =& 0\end{array}\end{array}$

Координаты

Задачи

1. Пусть U и W следующие подпространства ${ℝ}_4[x]$:
   
   $U=Sp\{x^3+4x^2-x+3,x^3+5x^2+5,3x^3+10x^2+5\}$
   
   $W=Sp\{x^3+4x^2+6,x^3+2x^2-x+5,2x^3+2x^2-3x+9\}$
   
   
   1. Найдите базис и размерность для $U,W,U+W$
      .
   2. Найдите $\dim (U\cap W)$. Найдите базис $U\cap W$.
      
2. Докажите, что множество $\mathrm{B}=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}\right\}$ является базисом для $M_{(2\times 2)}^{ℝ}$.
   
   • Во-первых, докажем, что данное множество матриц $\mathrm{B}$ линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:
     
     ${\lambda }_1\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]+{\lambda }_2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right]+{\lambda }_3\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]+{\lambda }_4\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ (*)
     
     или
     
     $\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1+{\lambda }_2& 2{\lambda }_1+{\lambda }_3\\ 2{\lambda }_2+{\lambda }_3& {\lambda }_2+{\lambda }_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$.
     
     Полученное равенство равнозначно системе уравнений:
     
     $\{\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2=0\\ 2{\lambda }_1+{\lambda }_3=0\\ 2{\lambda }_2+{\lambda }_3=0\\ {\lambda }_2+{\lambda }_4=0\end{array}$
     
     У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество В, состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 ($\dim (M_{(2\times 2)}^{ℝ})=4$). То есть, В является базисом $M_{(2\times 2)}^{ℝ}$.
3. Найдите координаты матриц ${\mathrm{M}}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 7\\ 1& -1\end{array}\right]$ и ${\mathrm{M}}_2=\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& -1\end{array}\right]$ относительно упорядоченного базиса $\mathrm{B}=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}\right\}$.
   
   • a) Найдем коэффициенты ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$, для которых
     
     ${\mathrm{M}}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 7\\ 1& -1\end{array}\right]={\lambda }_1\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]+{\lambda }_2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right]+{\lambda }_3\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]+{\lambda }_4\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1+{\lambda }_2& 2{\lambda }_1+{\lambda }_3\\ 2{\lambda }_2+{\lambda }_3& {\lambda }_2+{\lambda }_4\end{array}\right]$
     
     Это равенство выполняется при условии, что:
     
     $\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& +& {\lambda }_2& =& 1\\ 2{\lambda }_1& +& {\lambda }_3& =& 7\\ 2{\lambda }_2& +& {\lambda }_3& =& 1\\ {\lambda }_2& +& {\lambda }_4& =& -1\end{array}\end{array}$
     
     Единственным решением данной системы будет $(2,-1,3,0)$. Следовательно, ${\left[{\mathrm{M}}_1\right]}_{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\\ 0\end{array}\right]$
     
     b) Подобным способом представим матрицу ${\mathrm{M}}_2$ как линейную комбинацию матриц-членов базиса В:
     
     ${\mathrm{M}}_2=\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& -1\end{array}\right]={\lambda }_1\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]+{\lambda }_2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right]+{\lambda }_3\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]+{\lambda }_4\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1+{\lambda }_2& 2{\lambda }_1+{\lambda }_3\\ 2{\lambda }_2+{\lambda }_3& {\lambda }_2+{\lambda }_4\end{array}\right]$
     
     Запишем систему:
     
     $\{\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2=3\\ 2{\lambda }_1+{\lambda }_3=3\\ 2{\lambda }_2+{\lambda }_3=1\\ {\lambda }_2+{\lambda }_4=-1\end{array}$
     
     Единственным решением данной системы будет $(2,1,-1,-2)$. Следовательно, ${\left[{\mathrm{M}}_2\right]}_{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\\ -2\end{array}\right]$ .
     

Линейные трансформации

Задачи

1. Определим отображение $T:R^n\to R_n[x]$ из пространства $R^n$ в $R_n[x]$ :

   для любого вектора $\underset{\_}{a}=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\in R^n$,

   $T(\underset{\_}{a})={\alpha }_1+{\alpha }_{2}x+\cdots +{\alpha }_n{x}^{n-1}$.

   Докажите, что отображение $T:R^n\to R_n[x]$

   1. $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b}\in R^n$