Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Линейно-зависимые системы векторов

Шаблон:Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» В курсе школьной геометрии-10 доказывается, что 1)если вектор $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$, то такие векторы коллинеарны 2)если вектор можно разложить по двум другим векторам, то такие векторы компланарны. Настоящий § является обобщением этих теорем для любого векторного пространства.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={${\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,{\overrightarrow{a}}_3,...{\overrightarrow{a}}_k$} (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор $\overrightarrow{p}={\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\alpha }_2{\overrightarrow{a}}_2+{\alpha }_3{\overrightarrow{a}}_3...+{\alpha }_k{\overrightarrow{a}}_k$ называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3...={\alpha }_k=0$, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}$). Если хотя бы один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

• Определение 1: система векторов A называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна $\overrightarrow{0}$, (т.е. $\overrightarrow{p}={\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\alpha }_2{\overrightarrow{a}}_2+{\alpha }_3{\overrightarrow{a}}_3...+{\alpha }_k{\overrightarrow{a}}_k=\overrightarrow{0}\iff {\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3...={\alpha }_k=0$ )
• Определение 2: система векторов A называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная $\overrightarrow{0}$.

Упражнения и примеры

На практике, чтобы установить линейную зависимость системы векторов, нужно, зачастую установить истинность высказывания$\mathrm{\forall }{\alpha }_i,\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{\overrightarrow{a}}_i=\overrightarrow{0}\Rightarrow \mathrm{\forall }i{\alpha }_i=0$

1. Покажем, что A={$\overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow{b}=(0,1)$}-линейно независимая система.

Решение: α(1,0)+β(0,1)=(0,0) ↔ (α,0)+(0,β)=(0,0) ↔ α=0, β=0, следовательно, A линейно независимая система.

1. Покажем, что A={$\overrightarrow{a},-\overrightarrow{a}$} - линейно зависимая система.

Решение. Найдём нетривиальную комбинацию, равную $\overrightarrow{0}$.

$1\cdot \overrightarrow{a}+1\cdot (-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$, т.е. ${\alpha }_1=1\ne 0,{\alpha }_2=1\ne 0$

1. Элементами векторного пространства V являются линейные функции (т.е. вида y=kx+b). Установите, являются ли линейно зависимыми (независимыми) следующие системы: 1) A=(y=2x+3, y=x-√2)   2) B=( y=2x+12, y=x-√3, y=x+6)

Свойства

1. Cистема векторов A линейно зависима ↔ один из её векторов равен $\overrightarrow{0}$ или один из векторов есть линейная комбинация прочих векторов системы.Доказательство

(→): если A линейно зависима, то, по определению, не все коэффициенты в ${\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\alpha }_2{\overrightarrow{a}}_2+{\alpha }_3{\overrightarrow{a}}_3...+{\alpha }_k{\overrightarrow{a}}_k=\overrightarrow{0}$  (1) комбинации равны 0. (Для определённости запишем комбинацию так, чтобы сначала шли ненулевые коэффициенты, а потом нулевые). Возможны два случая: 1)только первый коэффициент не нулевой, 2)два и более коэффициента не нулевые. В первом случае получаем ${\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1=\overrightarrow{0}$, откуда ${\overrightarrow{a}}_1=\overrightarrow{0}$. Во втором случае равенство (1) принимает вид ${\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\alpha }_2{\overrightarrow{a}}_2...+{\alpha }_j{\overrightarrow{a}}_j=\overrightarrow{0}(j\le k)$  (2). Т.к. все коэффициенты от ${\alpha }_1$ до ${\alpha }_j$в (2) не равны 0, то (2) можно переписать так ${\overrightarrow{a}}_j=(-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_k}){\overrightarrow{a}}_1+...=(-\frac{{\alpha }_{k-1}}{{\alpha }_k})$, т.е. один из векторов линейно выражен через другие векторы.
Обратное (←) докажите самостоятельно.

2.  Если система A содержит линейно зависимую подсистему, то и вся система A линейно зависима. В частности, система векторов линейно зависима, если она содержит нулевой вектор, или равные векторы, или пропорциональные (коллинеарные) векторы.(докажите самостоятельно)

3.  Если A - линейно независимая система векторов, а система $A\cup (\overrightarrow{x})$ линейно зависима, то $\overrightarrow{x}$ есть линейная комбинация системы векторов A.(докажите самостоятельно).

4.  Пусть даны две системы A={

${\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,...{\overrightarrow{a}}_k$

} (3), B={

${\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2,...{\overrightarrow{b}}_l$

} (4) при этом: 1) A - линейно независимая система векторов  2) каждый вектор системы A линейно выражается через B. Тогда число векторов системы A не превосходит числа векторов системы B, т.е. k≤i.

Доказательство

Прежде отметим, что 1) всякий вектор данной системы может быть линейно выражен через векторы этой же системы. Например, для системы A (3)

${\overrightarrow{a}}_i=0{\overrightarrow{a}}_1+...0{\overrightarrow{a}}_{i-1}+{\overrightarrow{a}}_i+0{\overrightarrow{a}}_{i+1}+...+0{\overrightarrow{a}}_{k}i=1,2...k$

2)Если некий

$\overrightarrow{x}$

линейно выражается через систему A, а A выражается через B, то

$\overrightarrow{x}$

можно выразить и через B, т.е. отношение "линейно выражаться через"для системы векторов является транзитивным (переходящим).

Перейдём теперь непосредственно к доказательству. Припишем к системе B слева вектор ${\overrightarrow{a}}_k$:

${\overrightarrow{a}}_k,{\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2,...{\overrightarrow{b}}_l$   (4)

.Т.к.

${\overrightarrow{a}}_k$

линейно выражается через B, то B - линейно зависимая система. Поскольку

${\overrightarrow{a}}_k\ne 0$

(иначе A линейно зависима), то один из векторов системы B, согласно свойству 1, линейная комбинация прочих векторов системы (4). Пусть для определённости это будет

${\overrightarrow{b}}_l$

. Выбросим

${\overrightarrow{b}}_l$

из (4):

${\overrightarrow{a}}_k,{\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2,...{\overrightarrow{b}}_{l-1}$  (5)

. Вектор

${\overrightarrow{b}}_l$

линейно выражается через (5)— он по этой причине выброшен из (4), остальные векторы из B входят в (5), а значит, согласно первому замечанию, тоже линейно выражаются через (4). Значит вся система B линейно выражается через (5), а по транзитивности через (5) линейно выражается и система векторов A. Следовательно, если к (5) приписать слева вектор

${\overrightarrow{a}}_{k-1}$

, то получим линейно зависимую систему векторов:

${\overrightarrow{a}}_{k-1},\overrightarrow{a}-k,{\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2,...{\overrightarrow{b}}_{l-1}$  (6)

. Т.к.

${\overrightarrow{a}}_{k-1}\ne 0$

, то по свойству 1, один из векторов системы (6) линейная комбинация прочих векторов системы (6). Пусть для определённости это будет

${\overrightarrow{b}}_l$

. Выбросим

${\overrightarrow{b}}_l$

из (6). Будем продолжать описанный выше процесс замещения векторов системы B векторами из A. Допустим, что k>l. Тогда после l-шага векторы системы B исчерпаются и мы получим систему векторов

${\overrightarrow{a}}_{k-l+1}...{\overrightarrow{a}}_k$

, приписывая к которой вектор

${\overrightarrow{a}}_{k-l}$

, мы получим линейно зависимую систему векторов, являющейся подсистемой системы A. Но тогда, по свойству 2, A-линейно зависима. Значит , неверно, что k>l, остаётся, что k ≤ l, ч.т.д.