Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Подпространства векторного пространства

Подпространство векторного пространства

Пусть задано векторное пространство V над полем P и $W\subset V$, причём $W\ne \varnothing$.
Определение:  W называется подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством над полем P.

Теорема 1: Критерий подпространства. Непустое множество $W\subset V$ является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in W\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in W$
2. $(\mathrm{\forall }\alpha \in P)(\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in W)\alpha \overrightarrow{x}\in W$

Доказательство

Если W является подпространством V, то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры.

Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2)  $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in W(-1)\overrightarrow{x}=-\overrightarrow{x}\in W$, а значит $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{x}+(-\overrightarrow{x})\in W$. Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на W, то W- абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на W задана операция умножения векторов на скаляры из P. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для W выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства V.

Замечание: Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием: $(\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in P)(\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in W)\alpha \overrightarrow{x}+\beta \overrightarrow{y}\in W$

Примеры подпространств:

• Множество $\{\overrightarrow{0}\}$ является подпространством в любом пространстве V.
• Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов.
• Докажите, применив критерий подпространства, что $S=\{(a_1,a_2,...a_n)\in P^n|\sum _{k=1}^n{a}_i=0\}$- подпространство арифметического пространства Pⁿ.

Теорема 2:  Пересечение любого семейства подпространств данного пространства V вновь является подпространством постранства V.

Доказательство

Пусть $\{V_i{\}}_{i\in I}$- произвольное семейство подпространств пространства V. Т.к. $\overrightarrow{0}$ принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. $\bigcap _i{V}_i\ne \varnothing$). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля P и произвольные векторы $\overrightarrow{x}$ и $\overrightarrow{y}$ из $\bigcap _i{V}_i$. Тогда, по критерию, $\mathrm{\forall }i\alpha \overrightarrow{x}+\beta \overrightarrow{y}\in V_i$, а значит $\alpha \overrightarrow{x}+\beta \overrightarrow{y}\in \bigcap _i{V}_i$, следовательно, $\bigcap _i{V}_i$- подпространство пространства V.

Линейная оболочка системы векторов

Пусть $A=\{{\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,...{\overrightarrow{a}}_k\}$ - система векторов из векторного пространства V над полем P.

Определение 2:  Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

1. A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда $L(A)\subset L(B)$.   (1)
2. A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B).   (2)
   

Доказательство следует из предыдущего свойства

3   Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.

Доказательство

Возьмём любые два вектора $\overrightarrow{x}$ и $\overrightarrow{y}$ из L(A), имеющие следующие разложения по векторам из A: $\overrightarrow{x}={\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\alpha }_2{\overrightarrow{a}}_2+...{\alpha }_k{\overrightarrow{a}}_k,\overrightarrow{y}={\beta }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\beta }_2{\overrightarrow{a}}_2+...{\beta }_k{\overrightarrow{a}}_k$. Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

1. $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=({\alpha }_1+{\beta }_1){\overrightarrow{a}}_1+({\alpha }_2+{\beta }_2){\overrightarrow{a}}_2+...({\alpha }_k+{\beta }_k){\overrightarrow{a}}_k\in L$, так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
2. $(\mathrm{\forall }\alpha \in P)(\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in L)\alpha \overrightarrow{x}=\alpha {\alpha }_1{\overrightarrow{a}}_1+\alpha {\alpha }_2{\overrightarrow{a}}_2+...\alpha {\alpha }_k{\overrightarrow{a}}_k\in L$, так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу $A\in M^{m,n}$. Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается L_r(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается L_c(A). Обратите внимание, что при $m\ne n$ строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств Pⁿ и P^m соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

Теорема 3:  Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.