Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Предварительные понятия

Шаблон:Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Содержание данного параграфа не относится напрямую к линейной алгебре, но в дальнейшем изложении рассмотренные здесь понятия будут часто использоваться .

Бинарные операции

Любому школьнику известны понятия операции (действия) сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции осуществляются над двумя числами, в результате чего получается какое-то третье число. Разные арифметические выражения являются сочетаниями этих операций (например: 3+2*3=9 — сочетание умножения (3*2) и сложения (3 складывается с результатом умножения 6). Обобщим теперь представление об операциях, осуществляемых над элементами какого-либо множества.

Рассмотрим произвольное множество M и зададим на этом множестве некую операцию (действие), которой для своего совершения нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент (возможно, иногда и равный одному из исходных элементов). Если данная операция осуществима над любыми двумя элементами $x$ и $y$ множества M и в результате получается элемент z из того же самого множества, то такую операцию (действие) назовём бинарной, при этом x и y называют операндами, а z — результатом. Строгое матопределение смотри здесь.

Примеры:

• операция сложения или вычитания на множестве действительных или комплексных чисел — бинарные операции (любые два числа из этого множества можно сложить/вычесть, в результате чего получится число из того же самого множества)
• операция вычитания на множестве натуральных чисел не является бинарной (на множестве натуральных чисел из меньшего числа нельзя вычесть большее)
• операция умножения на множестве и натуральных, и целых, и действительных чисел — бинарная операция.
• операция деления на множестве действительных чисел не является бинарной (на 0 делить нельзя), но на множестве действительных чисел, из которого исключён 0, это бинарная операция.

Существуют операции, которым для своего осуществления требуется один элемент, например $sinx$. Такие операции называются унарными (от лат. uno — один).

Группы

Пусть на некоем множестве G задана какая-то операция $\bullet$. Обозначение $(G,\bullet )$, где G — само множество, а $\bullet$ — некая заданная на нём операция.

$(G,\bullet )$ называется группой, если:

1. $\bullet$ — бинарная операция;
2. $(\mathrm{\forall }x,y,z\in G)(x\bullet y)\bullet z=x\bullet (y\bullet z)$, или, как говорят, операция ассоциативна (подчиняется сочетательному закону). Знак $\mathrm{\forall }$ обозначает «для любого», «для всех», «для каждого»;
3. $(\mathrm{\exists }e\in G)(\mathrm{\forall }x\in G)x\bullet e=e\bullet x=x$ — в G существует нейтральный элемент;
4. $(\mathrm{\forall }x\in G)(\mathrm{\exists }{x}^{\prime }\in G)x\bullet x^{\prime }=e$ — для каждого элемента можно найти элемент, ему обратный. Знак $\mathrm{\exists }$ обозначает «существует, можно найти»;

Если от перестановки операндов результат не меняется, то такую группу называют коммутативной, или абелевой, т.е.:

5. $(\mathrm{\forall }x,y\in G)x\bullet y=y\bullet x$

Отметим некоторые свойства групп:

1. Нейтральный элемент в группе всегда единственный.
2. Если $x=y$, то $x\bullet a=y\bullet a$ для любого $a$. Верно и обратное. (То есть в группах можно сокращать.)
3. Уравнение $a\bullet x=b$ всегда имеет единственный корень $x=a^{\prime }\bullet b$

Поля

Пусть на некотором множестве P заданы какие-то две двуместные(т.е. для своего совершения каждой операции нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент) операции. Обозначение:$(P,\oplus ,\bullet )$. Одну из них (пусть $\oplus$) назовём аддитивной, а другую($\bullet$)- мультипликативной. Если:

1. P относительно $\oplus$-коммутативная группа,
2. Операция $\bullet$ ассоциативна и коммутативна, имеет для себя нейтральный элемент.
3. Все элементы множества P, кроме нейтрального элемента по аддитивной операции, обратимы по мультипликативной операции.
4. Операция $\oplus$ относительно $\bullet$ подчиняется распределительному закону (дистрибутивна):$(\mathrm{\forall }x,y,z\in P)(x\oplus y)\bullet z=(x\bullet z)\oplus (y\bullet z)$,

то такое множество с заданными на нём операциями называют полем. Строгое матопределение смотри здесь.

Отметим некоторые дополнительные свойства полей:

1. Нейтральные элементы по двум заданным операциям ни в каком поле никогда не совпадают.

Нейтральный элемент по аддитивной операции обозначают 0_P или просто 0, а по мультипликативной операции 1_P ( 1 ). Отметим, что "0" и "1" в общей теории полей -символы (можно придумать такое поле, где под 0 и 1 понимается совсем не числа 0 и 1).

Примеры групп и полей

• Множество целых чисел относительно операции сложения - группа
• Множество векторов плоскости относительно операции векторного сложения - группа.
• Множество действительных чисел относительно операции сложения (аддитивная) и умножения (мультипликативная)-поле. Действительно, нетрудно проверить, что $(ℝ,+)$-группа (усл.№1), умножение подчиняется сочетательному и переместительному закону, а число 1-нейтрально по умножению (усл.№2), на 0 делить нельзя (это и есть усл. №3), сложение относительно умножения подчиняется распределительному закону: (x+y)z=xz+yz.