Основы алгебры/Дискриминант

Определение дискриминанта

Дискримина́нт многочлена $p(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n$, есть произведение

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$, где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• $D(p)=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p^{\prime })$, где $R(p,p^{\prime })$ — результант многочлена $p(x)$ и его производной $p^{\prime }(x)$.
  • В частности, дискриминант многочлена

$p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

равен, с точностью до знака, определителю следующей $(2n-1)\times (2n-1)$-матрицы:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$

Примеры

• Дискриминант D квадратного трёхчлена $a{x}^2+bx+c$ равен $b^2-4ac$. При $D>0$ корней — два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};$ (1)

• при $D=0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x=\frac{-b}{2a};$

• при $D<0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.$

• Дискриминант многочлена $a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ равен

$-4a_1^3{a}_3+a_1^2{a}_2^2-4a_0{a}_2^3+18a_0{a}_1{a}_2{a}_3-27a_0^2{a}_3^2.$

• В частности, дискриминант многочлена $x^3+px+q$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен $-27q^2-4p^3$.