Основы алгебры/Квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение, содержащее $x^2$, то есть $a{x}^2+bx+c=0,a=0$ (так как если $a=0$, то это [[../Линейные уравнения|линейное уравнение]])

Примеры квадратных уравнений

$x^2=0$ ,

$x^2-1=0$ ,

$x^2-2x+1=0$ ,

$4x^2+9x+25.5=0$ ,

$-3x+\sqrt{2}x-32=0$.

Иногда квадратными называются уравнения, элементарно приводимые к виду $a{x}^2+bx+c=0$. Например,

$x^2=1$ приводится к $x^2-1=0$,

$(x-1{)}^2=0$ приводится к $x^2-2x+1=0$,

$(x-1{)}^2=4$ приводится к $x^2-2x+1=4$, что приводится к $x^2-2x-3=0$.

Решение квадратных уравнений

1. Приведём уравнение к виду $a{x}^2+bx+c=0$, воспользовавшись правилом переноса слагаемого
2. Находим дискриминант $D=b^2-4ac$
3. В зависимости от знака дискриминанта:
   • $D<0$ — вещественных корней нет; существуют два сопряжённых комплексных корня: $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a};$
   • $D=0$ — один вещественный корень (два совпадающих корня): $x=-\frac{b}{2a};$
   • $D>0$ — два различных вещественных корня: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Примеры

Пример 1

Решить уравнение: $x^2-4x=5$.

Решение

Для начала приведём уравнение к виду $a{x}^2+bx+c=0$, воспользовавшись правилом переноса слагаемого:

$x^2-4x-5=0$.

Вычислим дискриминант:

$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$

Применим формулу, получим:

$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm 6}{2}=5;-1$

Ответ

$x_1=-1;x_2=5$.

Пример 2

Решить уравнение: $-2x^2+5x-7.5=0$.

Решение

Вычисляем дискриминант:

$D=5^2-4\cdot (-2)\cdot (-7.5)=25-60=-35$.

Значение дискриминанта получилось отрицательным, и вещественных корней уравнение иметь не будет.

Ответ

Нет вещественных корней.

Пример 3

Решить уравнение: $9x^2-42x+49=0$.

Решение

Вычисляем дискриминант:

$D=42^2-4\cdot 9\cdot 49=1764-1764=0$.

Значение дискриминанта равно 0, значит у данного уравнения будет ровно один действительный корень (так как два действительных значения совпадают). По формуле получаем:

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-42)}{2\cdot 9}=\frac{7}{3}$.

Ответ

$x=\frac{7}{3}$.

Пример 4

Решить уравнение: $x^2-5x+6=0$.

Решение

Попробуем не вычислять дискриминант, а воспользоваться готовой формулой:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 1}{2}=3;2$

Ответ

$x_{1,2}=3;2$.

Пример 5

Решить квадратное уравнение с параметрами: $\frac{a^2+b^2+1}{ab}=3$, относительно a.

Решение

Делить на 0 нельзя, поэтому устанавливаем ограничение: $ab$≠$0$

$a^2+b^2+1=3ab$

$a^2+b^2+1-3ab=0$

$a^2-3ab+b^2+1=0$

Вычисляем дискриминант:

$D=(-3b{)}^2-4\cdot 1\cdot (b^2+1)=9b^2-4b^2-4=5b^2-4$.

Далее варианты в зависимости от b: 1) b= 0. Срабатывает ограничение $ab$≠$0$ 2) b> 0 и b<0 . Тогда решение продолжается.

Решим уравнение относительно b, $5b^2-4=0$

$(\sqrt{5}b+2)(\sqrt{5}b-2)=0$

$b_{1,2}=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Далее варианты в зависимости от D:

1) При $5b^2-4<0$, решений нет

2) При $5b^2-4=0$, единственный корень

$a=-\frac{\sqrt{5b^2-4}}{2};$

3) При $5b^2-4>0$, 2 корня

$a=\frac{3b\pm \sqrt{5b^2-4}}{2};$